惠州学院：《近世代数 Abstract Algebra》课程教学课件（PPT讲稿）3.10 商域

S10.商域现在让我们看一看，由一个环来得到一个域的第二种方法。我们知道普通整数的集合作成一个子环，有理数的集合作成一个域，而整数环是有理数的一个子域的一个子环现在我们问，给了一个环R，是不是可以找到一个除环或包含这个R。一个环R要能被一个除环或域包含，有一个必要条件，就是R不能有零因子，因为除环或域没有零因子。当R是非交换环时，这个条件还不充分，因为有例子告诉我们，一个无零因子的非交换环不一定能被一个环包含（参看：A.Malcev,On the Immersion of anAlgebraicRingintoaField,Math.Ann.P.113.1936）.我们这一节里要证明，当R是交换环时，以上条件也是充分的。我们所用的方法完全是由整数和有理数的关系到来的

§ 10.商域 现在让我们看一看，由一个环来得到一个域的第二种 方法。 我们知道普通整数的集合作成一个子环，有理数的集 合作成一个域，而整数环是有理数的一个子域的一个子环。 现在我们问，给了一个环R，是不是可以找到一个除环或 包含这个R。一个环R要能被一个除环或域包含，有一个 必要条件，就是R不能有零因子，因为除环或域没有零因 子。当R是非交换环时，这个条件还不充分，因为有例子 告诉我们，一个无零因子的非交换环不一定能被一个环包 含（参看：A.Malcev,On the Immersion of an Algebraic Ring into a Field,Math. Ann. P.113. 1936）.我们这一节里 要证明，当R是交换环时，以上条件也是充分的。我们所 用的方法完全是由整数和有理数的关系到来的

定理1没一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环。证明当R只包含零元的时候，定理显然是对的。我们看至少有两个元R。用a,b,c,来表示R的元。我们作一个集合aA=所以符号(a, be R, b± 0)b在A的元间我们规定一个关系°～%，当而且只当ab'=α'b的时候b b'很明显

定理 1 没一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的 子环。 在A的元间我们规定一个关系 ： ，当而且只当 的时候 很明显， 证明 当R只包含零元的时候 ，定理显然是对的。 我们看至少有两个元R。用 来表示R的元。我 们作一个集合 abc , , , ( , , 0) a A a b R b b   =       所以符号 a a b b   ab a b   =

aa(i)bba'a'aa(ii)b'bb'b我们也有a"a"a'aaa(ili)bbb"b'"b'b"因为：由a'α"a'ab"'b"bb'可得ab'=a'b,a'b"=a"b'(ab")b'= (ab')b"=(a'b)b"=(a'b")b=(a"b")b=(a"b)b

a a b b a a a a b b b b      , a a a a a a b b b b b b          , a a a a b b b b       ab a b a b a b       = = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab b ab b a b b a b b a b b a b b       = = ===       （ⅰ） （ⅱ） 我们也有 因为：由 可得 （ⅲ）

但b'0，R没有零因子，所以可得ab"= α"baa"bb"这样，一是一个等价关系。a。我们作一这个等价关系把集合A分成若干类b个集合[]9。=^所有类对于的元我们规定ad +bca]+[a]bbdaca]-[Lba-6JL

但 ，R没有零因子，所以可得 这样， 是一个等价关系。 这个等价关系把集合A分成若干类 。我们作一 个集合 对于的元我们规定 b  0 ab a b   = a a b b   a b       0 a Q b     =         所有类 a c ad bc b d bd       + + =             a c ac b d bd       =            

这样规定的是。的加法和乘法。因为：第一，由于R没有零因子b±0 d ±0=bd±0ad +bcac和都是.的元。Lbdbd第二，假定[][] [][岁]

这样规定的是 的加法和乘法。因为： 第一，由于R没有零因子， 都是 的元。 第二，假定 Q0 b d bd     0, 0 0 ad bc ac bd bd     +         和 Q0 , a a c c b b d d           + +                  

ab'= a'b,cd' = c'd那么ab'dd' = a'bddcd'bb' = c'dbb'(ad +bc) b'd'= (a'd'+b'c') bdad +bcTa'd' +b'c'b'd'bd另一方面，ab'cd'=a'bc'd(ac)(b'd') =(ac)(bd)["] [岁]

那么 另一方面， ab a b cd c d     = = , ab dd a bdd     = cd bb c dbb     = (ad bc b d a d b c bd + = + )       ( ) ad bc a d b c bd b d     + +     =           ab cd a bc d     = (ac b d ac bd )(  ) = ( )( ) ac a c bd b d       =          

两类加法相乘的结果与类的代表无关9.对于加法来说作成一个加群：[][a][a][](1)[([[](2)adf+bcf+bdebdf(:1-[D-[,]-[]-[;]adf +bcf +bdebdf

两类加法相乘的结果与类的代表无关。 Q0 对于加法来说作成一个加群： a c c a b d d b         + = +                 a c e a cf de b d f b df             +       + + = +                   adf bcf bde bdf   + + =     （1） （2） a c e ad bc e b d f bd f adf bcf bde bdf   +           + + = +                           + + =    

0.[.][,]-[,第]-[,](3)[][] [](4)Q.的不等于零的元对于乘法来说作成一个交换群aa-b的是单位元；乘法适合交换律与结合律，显然二ab逆元是我们很容易验算，分配律也成立。a

（3） （4） 0 c bc c b d bd d         + = =                 a a 0 b b b       − + =             的不等于零的元对于乘法来说作成一个交换群： 乘法适合交换律与结合律，显然； 是单位元； 的 逆元是 。我们很容易验算，分配律也成立。 Q0 a a       a b       b a      

这样，9.作成一个域，我们把9.的所有的元qaq是一个固定的元，α任意).q放在一起，作成一个集合R，那么qaa→C是一个R与 R,间的一一映射。由于[q2 (a+b)]_[q (a+b)a+qbMab969qa.a

放在一起，作成一个集合 ，那么 是一个R与 间的一一映射。由于 这样， 作成一个域。 我们把 的所有的元 Q0 Q0 ( , ) qa q a q       是一个固定的元 任意 R0 qa a q   →     R0 ( ) ( ) ( ) 2 2 qa qb q a b q a b q q q q qa qb q ab q q q       + +       + = =                       =        

以上映射是同构映射：R=Ro这样，由iii，5，定理4，有一个包含R的域QO存在证完

以上映射是同构映射： R R  0 这样，由ⅲ，5，定理4，有一个包含R的域Q存在。 证完