惠州学院：《近世代数 Abstract Algebra》课程教学课件（PPT讲稿）2.6 置换群

S6.置换群6.1置换群6.2置换的表示方法：2-行法6.3循环6.4补充结论

§6.置换群 • 6.1 置换群 • 6.2 置换的表示方法:2-行法 • 6.3 循环 • 6.4 补充结论

变换群的一种特例,叫做置换群,在代数单占一个很重要的地位.比方说.在解决方程能不能用根号解这个问题时就要用到这种群．这种群还有一个特点，就是它们的元可以用一种很具体的符号来表示，使得这种群里的计算比较简单．现在我们把这种群讨论一下

变换群的一种特例,叫做置换群,在代数 里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程 能不能用根号解这个问题时就要用到这种 群．这种群还有一个特点，就是它们的元 可以用一种很具体的符号来表示，使得这 种群里的计算比较简单．现在我们把这种 群讨论一下．

6.1置换群定义1一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换，一个有限集合的若于个置换作成的一个群叫做一个置换群

6.1 置换群 定义1 一个有限集合的一个一一变 换叫做一个置换． 一个有限集合的若干个置换作成的一 个群叫做一个置换群．

我们看一个有限集合A，A有n个元α,α2..an：由Ⅱ，5，A的全体置换作成一个群G.定义2一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群这个群用S来表示，定理1n次对称群 S，的阶是 n!

我们看一个有限集合 ， 有 个元 ．由 Ⅱ，５， 的全体置换作成一个群 ． A A n 1 2 , ,. n a a a A G 定义2 一个包含 个元的集合的全体置换 作成的群叫做 次对称群． n n 这个群用 Sn 来表示． 定理１ n 次对称群 Sn 的阶是 n ！．

6.2置换的表示方法:2-行法现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个置换π:a, →aki=1,2,..n!这样一个置换所发生的作用完全可以由(1,k），(2,k2），，(n,k,)这n对整数来决定.表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成21n元=kkik2

6.2 置换的表示方法:2-行法 现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换 : 1,2,. ! i i k  a a i n → = 这样一个置换所发生的作用完全可以 由 (1, ) k1 ， (2, ) k2 ， .， ( , ) n kn 这 n 对整数来决定． 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成 1 2 1 2 n n k k k    =    

形式不唯一.在这种表示方法单，第一行的n个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的元我们也可用213..:nk2ki.·kn

形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的 我们也可用 n  2 1 213 n n k k k      

例 1n=3． 假如:→a,a→a,aa那么123)(132)(213)(231)(312)(321元三231(312)(123)(132213(321)123)不过我们普通用来表示这个元。231

例１ n = 3 ．假如 1 2 2 3 3 1  : , , a a a a a a → → → 那么 123 132 213 231 312 321 231 213 321 312 123 132              = = = = = =                         不过我们普通用 来表示这个 ． 123 231       

例 2S,有6个元．这6个元可以写成(123)(123)(123)(123)(123)(123123）（132J（213），（213），（312），（321如何计算乘法？（注意我们规定的顺序）（123)（123)= ??(从右向左)（132八213123)(123=?213八132

例２ S3 有６个元．这６个元可以写成 ， ， ， ， ， 123 123       123 132       123 213       123 213       123 312       123 321       ● 如何计算乘法? (注意我们规定的顺序) 123 123 ?? 132 213       =    (从右向左) 123 123 ? 213 132         =    

如何求逆？(123)-1(132/=??所以S，不是交换群无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第一个有限非交换群的例子．S,可以说是一个最小的有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非交换群至少要有六个元

● 如何求逆? 1 123 132 −       =?? 无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第 一个有限非交换群的例子． 可以说是一个最小的 有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非 交换群至少要有六个元． 3 S ● 所以 S3 不是交换群．

6.3 循环为了说明置换的第二种表示方法，我们先证明一个公式．看两个特殊的置换元，元2：ji.. JkJk... jnijkJkn元，=元(j .. .)(i. a j.那么以下公式成立：ji... Jk Jk.. Jn元，元，二元，元(..

6.3 循环 为了说明置换的第二种表示方法，我们先证 明一个公式．看两个特殊的置换  1 2 , ： 1 1 1 (1) (1) 1 1 k k n k k n j j j j j j j j  + +   =     1 1 2 (2) (2) 1 1 k k n k k n j j j j j j j j  + +   =     , 那么以下公式成立： 1 1 2 1 1 2 (1) (1) (2) (2) 1 1 k k n k k n j j j j j j j j     + +   = =    