惠州学院：《近世代数 Abstract Algebra》课程教学课件（PPT讲稿）代数运算

S3.代数运算本节目录3.1定义3.2例子3.3乘法表3.4A上的二元运算

本节目录 3.1 定义 3.2 例子 3.3 乘法表 3.4 A上的二元运算 §3.代数运算

3.1定义·回忆普通的运算涉及三个集合一个法则.现在我们利用映射的概念来定义代数运算这一个概念.我们看两个集合A，B和另一个集合D.·定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算

• 回忆普通的运算,涉及三个集合,一个法则.现 在我们利用映射的概念,来定义代数运算这 一个概念.我们看两个集合 , 和另一个集 合 . • 定义 一个 到 的映射叫做一个 到 的代数运算. A B D A B D A B D 3.1 定义

一个代数运算是一种特殊的映射,给了一个A的任意元α和一个B的任意元b,可以通过这个代数运算,得到一个D的元d.我们也可以说,所给代数运算能够对α和b进行运算,而得到一个结果d.这正是普通的计算法的特征，比方说，普通加法也不过是能够把任意两个数加起来,而得到另一个数.代数运算既是一种特殊的映射，描写它的符号，也可以特殊一点：

一个代数运算是一种特殊的映射.给了一个 的任意元 和一个 的任意元 ,可以通过这 个代数运算,得到一个 的元 .我们也可以 说,所给代数运算能够对 和 进行运算,而 得到一个结果 .这正是普通的计算法的特 征,比方说,普通加法也不过是能够把任意两 个数加起来,而得到另一个数. 代数运算既是一种特殊的映射,描写它 的符号,也可以特殊一点. A a B b D d a b d

一般映射的描述AxB→Df(a,b)= d作为运算的记号：aob=d或 ab=dab =d简记：●什么是两个运算的相等？

一般映射的描述: f A B D  ⎯⎯→ f a b d ( , ) = a b d = a b d  = ab d = 作为运算的记号: , 或 . ⚫什么是两个运算的相等? 简记:

3.2 例子·例1A=（所有整数}，B=（所有不等于零的整数}，D=（所有有理数}·a(a, b)→aob=6是一个A×B 到D的代数运算，也就是普通的除法

• 例１ A＝｛所有整数｝， B＝｛所有不 等于零的整数｝，D＝｛所有有理数｝． ( ) a a b a b b ， → = 是一个 A B 到 D 的代数运算，也就是普通的除法． 3.2 例子

例2令V是数域F上一个向量空间．那么F的数与的向量间的乘法是一个F×V到V的代数运算.例3=（1，2},=（1，2},=奇,偶}规定(1,1)奇，（2，2）奇（2，1）偶（1,2）奇，是一个到的代数运算。同学举正反两方面的例子

例3＝｛１，２｝,＝｛１，２｝,＝｛奇,偶｝规定: (１,１)奇， （２，２）奇 （１,2）奇， （２，１）偶 是一个到的代数运算． 同学举正反两方面的例子 例２ 令 是数域 上一个向量空间．那么 的数与的向量间的乘法是一个 到 的 代数运算． V F F F V V

3.3乘法表在A 和B都是有限集合的时候，一个A×D的代数运算，我们常用一个表，叫做运算表来说明．假定A有n个元α，...,an，B有m个元,b...，bm,a,b, = dij

在 和 都是有限集合的时候，一个 到 的代数运算，我们常用一个表，叫做运算 表来说明．假定 有n个元 ，.， ， 有 个元， .， ， A B A B D A A 1 a n a B m 1 b m b a b d i j ij = 3.3 乘法表

是所给的代数运算．我们先画一垂线，在这垂线上端画一向右的横线．把A的元α,a,.,a,依次写在横线的左边，把B的元b，b，..，bm依次写在横线的上边，然后把对a和b进行运算都所得结果d写在从a右行的横线和从b下行的垂线的交点上：

是所给的代数运算．我们先画一垂线，在 这垂线上端画一向右的横线．把 的 元 , ,.，依次写在横线的左边，把 的 元 ，.，依次写在横线的上边，然后把 对 和 进行运算都所得结果 写在从 右行 的横线和从 下行的垂线的交点上： A 1 a 2 a n a B 1 b 2 b m b i a j b ij d i a j b

bb, b2mdimd.1d/2ad21d2md22an··.2aaxxxm例4的代数运算的运算表是

例４的代数运算的运算表 是. x x x xm m m m a d d d a d d d a d d d b b b          1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2

3.4 A上的二元运算定义、一个到 A×A的代数运算。称为A的代数运算或二元运算，集合A上代数运算。必须是闭的，即：αobeA,)对于VabEA

定义 一个到 的代数运算 称为 的代数 运算或二元运算． 集合 上代数运算 必须是闭的，即: A A  A A a b A    , a,b A 对于 3.4 A上的二元运算