长沙理工大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第八章 拉普拉斯变换

数学与统计学院第八章拉普拉斯变换主要内容第一节拉普拉斯变换简介复变函数与和分变换第二节拉普拉斯变换的性质第三节拉普拉斯反变换第四节用拉普拉斯变换解线性微分方程page1

page 复 变 函 数 与 积 分 变 换 数学与统计学院 第八章 拉普拉斯变换 1 主要内容 第一节 拉普拉斯变换简介 第二节 拉普拉斯变换的性质 第三节 拉普拉斯反变换 第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程

数学与统计学院第八章拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换(LaplaceTransform）（简称拉氏变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法爱变函数与积分变换page2

page 复 变 函 数 与 积 分 变 换 数学与统计学院 第八章 拉普拉斯变换 2 拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏变 换）是一种解线性微分方程的简便运算方法。 第一节 拉普拉斯变换简介

数学与统计学院第八章拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的定义设时间函数f(t),则≥ 0 的拉拉斯变换定义为L[f(t)]= F(s)= ( f(t)·e-stdt复变函数与积分变换象函数（ImageFunction）原函数（OriginalFunction）page3

page 复 变 函 数 与 积 分 变 换 数学与统计学院 第八章 拉普拉斯变换 3 L f t F s f t e dt −s t  = =  0 [ ( )] ( ) ( ) 原函数(Original Function ) 象函数(Image Function) 一、拉普拉斯变换的定义 设时间函数 f (t)， ,则 t  0 的拉普拉斯变换定义为 f (t)

数学与统计学院第八章拉普拉斯变换一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：(1)在t<0时，f(t)=0(2)在t≥0的任一有限区间内，f(t是分段连续的复变函数与和分变换(3)当t→+时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即[(t)≤ Me(M和k为实常数)page4

page 复 变 函 数 与 积 分 变 换 数学与统计学院 第八章 拉普拉斯变换 4 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： (1)在t<0时， f (t) = 0 (2)在t≥0的任一有限区间内， f (t 是分段连续的； ) (3)当t→﹢∞时， f (t) 的增长速度不超过某一指数函数， 即 f (t) M e (M和k为实常数) kt 

数学与统计学院第八章拉普拉斯变换的拉氏变换，则如果复变函数F（是时间函数f(t)记为：称为F（的拉氏逆变换，或拉氏反变换。f(t) = L-"[F(s)]复变函数与和分变换page5

page 复 变 函 数 与 积 分 变 换 数学与统计学院 第八章 拉普拉斯变换 5 如果复变函数 是时间函数 的拉氏变换，则 称为 F (s 的 ) 拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为 ： F (s) f (t) f (t) ( ) [ ( )] 1 f t L F s − =

数学与统计学院第八章拉普拉斯变换典型时间函数的拉氏变换二、常用的时间函数有：单位加单位脉冲函数单位阶跃函数单位斜坡函数、复变函数与和分变换速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。page6

page 复 变 函 数 与 积 分 变 换 数学与统计学院 第八章 拉普拉斯变换 6 二、典型时间函数的拉氏变换 单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加 速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。 常用的时间函数有：

数学与统计学院第八章拉普拉斯变换s(t)（一）单位脉冲函数单位脉冲函数(UnitImpulse1Function)也称为s函数或称狄拉克函数(DiracFunction），其爱变函数与积分变换变化曲线如图2-1-10数学表达式为：图2-1-1单位脉冲函数t =08s(t) =0t±0page7

page 复 变 函 数 与 积 分 变 换 数学与统计学院 第八章 拉普拉斯变换 7 （一）单位脉冲函数  (t) 1 0 t 图2-1-1 单位脉冲函数 单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄 拉克函数(Dirac Function)，其 变化曲线如图2-1-1，       = = 0 0 0 ( ) t t  t 数学表达式为：

数学与统计学院第八章拉普拉斯变换函数具有如下重要性质0S(t)dt = S(t)dt = l复变函数与积分变换s(t)f(t)dt = f(O)任意连续函数其拉氏变换为S(t)·e-stdt = lL[S(t)] = 1page8

page 复 变 函 数 与 积 分 变 换 数学与统计学院 第八章 拉普拉斯变换 8 ( ) ( ) 1 0 0 = =   + − +  t d t −  t d t  + −  (t) f (t)dt = f (0) 0 [ ( )] ( ) 1 st L t t e dt    − =  =  其拉氏变换为  函数具有如下重要性质 任意连续函数

数学与统计学院第八章拉普拉斯变换u(t)（二）单位阶跃函数1单位阶跃函数(UnitStepFunction）又称位置函数通常用0u或1(t)来表示。其变化曲线如图2-1-2所示。爱变函教与和分变换图2-1-2单位阶跃函数0t<0数学表达式为u(t) :t≥0门?无法显示该图片。+00u(t）的拉氏变换为e-"tdtu(t) ·e-s dt =L[u(t)] =-Spageg

page 复 变 函 数 与 积 分 变 换 数学与统计学院 第八章 拉普拉斯变换 9 （二）单位阶跃函数 图2-1-2 单位阶跃函数 u(t) 1 0 t 单位阶跃函数(Unit Step Function )又称位置函数通常用 或1(t)来表示。 其变化曲线 如图2-1-2所示。 u(t) 数学表达式为      = 1 0 0 0 ( ) t t u t u t( ) 的拉氏变换为   + − + − =  = 0 0 L[u(t)] u(t) e dt e dt s t s t s 1 =

数学与统计学院第八章拉普拉斯变换r(t)（三）单位斜坡函数单位斜坡函数(UnitRampFunction)又称速度函数，其变化曲线如图2-1-3所示。复变函数与和分变换0t<0r(t) :数学表达式为0t≥0图2-1-3单位斜坡函数其拉氏变换为+00te-stdtr(t)·e-stdtL[r(t)] = /。1=(te-st)-T-stdtsSpagero

page 复 变 函 数 与 积 分 变 换 数学与统计学院 第八章 拉普拉斯变换 10 （三）单位斜坡函数 其拉氏变换为 单位斜坡函数(Unit Ramp Function)又称速度函数，其变 化曲线如图2-1-3所示。  + − = 0 te dt st 图2-1-3 单位斜坡函数 r(t) t o t      = 0 0 0 ( ) t t t 数学表达式为 r t  + − =  0 L[r(t)] r(t) e dt s t  + − + − = − + 0 0 1 ( ) 1 e dt s t e s s t s t 2 1 s =