中国科学技术大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲义）第一章 事件与概率 1.1 事件及其运算、概率及其性质

第一章事件与概率 1.1概率论发展简史. 2 1.2 概率论的几个基本概念.. 9 1.2.1随机试验和随机事件 9 1.2.2 事件的关系及其运算 14 1.2.3概率的定义及性质.·········· 18 Previous Next First Last Back Forward 1

第一章事件与概率 1.1 概率论发展简史 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 概率论的几个基本概念 . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 随机试验和随机事件 . . . . . . . . . . 9 1.2.2 事件的关系及其运算 . . . . . . . . . . 14 1.2.3 概率的定义及性质 . . . . . . . . . . . 18 Previous Next First Last Back Forward 1

1.1 概率论发展简史 French Society in the 1650's ·赌博是一种流行时尚 ·法律没有禁止 ·当游戏越来越复杂，利益 越来越大时，需要数学方 法来计算获胜可能性 Previous Next First Last Back Forward 2

1.1 概率论发展简史 ♠ French Society in the 1650’s • 赌博是一种流行时尚 • 法律没有禁止 • 当游戏越来越复杂, 利益 越来越大时, 需要数学方 法来计算获胜可能性 Previous Next First Last Back Forward 2

The origin of the mathematical study of probability 。贵族De Mere在与一名 宫廷卫士一次赌博时关 于如何分赌本的问题发 生了争执，于是请教他 的好友数学家Blaise Pascal. ·Pascal与他的另一名 好友数学家Pierre Fer. mat通信讨论了该问题， 形成概率论中一个重要 的基本概念一数学期望 Previous Next First Last Back Forward 3

♠ The origin of the mathematical study of probability • 贵族De Mere在与一名 宫廷卫士一次赌博时关 于如何分赌本的问题发 生了争执, 于是请教他 的好友数学家 Blaise Pascal. • Pascal 与他的另一名 好友数学家Pierre Fer￾mat通信讨论了该问题, 形成概率论中一个重要 的基本概念—数学期望 Previous Next First Last Back Forward 3

The first book on probability ·Christiaan Huygens在l657 年写了世界上第一本关于概率论 的著作De ratiociniis in ludo aleae ("On Reasoning in Games of Chance),中文译 名“论赌博中的计算” Previous Next First Last Back Forward 4

♠ The first book on probability • Christiaan Huygens 在 1657 年写了世界上第一本关于概率论 的著作 De ratiociniis in ludo aleae (“ On Reasoning in Games of Chance”), 中文译 名 “论赌博中的计算” Previous Next First Last Back Forward 4

From Games to Science 。Pierre-Simon Laplace在他 1812年的著作Theorie Analy. tique des Probabilities中介 绍了概率的数学理论及其科学应 用 ·Laplace只考虑了古典概型，对 一般的概率及其应用没有介绍。 ·到1850年，许多数学家发现古典 概型对一般场合不合理，开始尝 试重新定义概率 Previous Next First Last Back Forward 5

♠ From Games to Science • Pierre-Simon Laplace 在他 1812 年的著作 Theorie Analy￾tique des Probabilities中介 绍了概率的数学理论及其科学应 用. • Laplace只考虑了古典概型, 对 一般的概率及其应用没有介绍. • 到 1850 年, 许多数学家发现古典 概型对一般场合不合理, 开始尝 试重新定义概率 Previous Next First Last Back Forward 5

Axiomatic Development 。Andrey Kolmogorov 第一个在他 1933年的著 作 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit- srechnun中严密的定义了 概率。 ·类似于Euclid基于公理体系 建立几何，他从基本公理建立 了概率理论，从而使概率论称 为一门严谨的数学分支 ·概率理论的现代研究和测度 论非常紧密的结合在一起 Previous Next First Last Back Forward 6

♠ Axiomatic Development • Andrey Kolmogorov 第一个在他 1933 年的著 作 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit￾srechnun中严密的定义了 概率. • 类似于Euclid基于公理体系 建立几何, 他从基本公理建立 了概率理论, 从而使概率论称 为一门严谨的数学分支 • 概率理论的现代研究和测度 论非常紧密的结合在一起 Previous Next First Last Back Forward 6

概率论与数理统计的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.例如 ·气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密相 关 ·产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到 《假设检验》； ·寻求最佳生产方案要进行《实验设计》和《数据处理》； ·电子系统的设计，火箭卫星的研制及其发射都离不开《可靠性 估计》 ·处理通信问题，需要研究《信息论》； ·研究经济数据等依时间观测数据时，《时间序列分析》方法非常 有用 ·研究化学反应的时变率，要以《马尔可夫过程》来描述： Previous Next First Last Back Forward

概率论与数理统计的应用 概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如 • 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密相 关 • 产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到 《假设检验》； • 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》和 《数据处理》； • 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其发射都离不开《可靠性 估计》 • 处理通信问题, 需要研究《信息论》； • 研究经济数据等依时间观测数据时,《时间序列分析》方法非常 有用 • 研究化学反应的时变率，要以《马尔可夫过程》 来描述; Previous Next First Last Back Forward 7

·生物学中研究群体的增长问题时，提出了生灭型《随机模型》， 传染病流行问题要用到多变量非线性《生灭过程》 ·许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、 存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类 概率模型来描述，其涉及到的知识就是《排队论》 ·研究收入如何受个体教育程度，行业，性别等因素影响，要用到 《回归分析》 ·研究多变量之间关系，分类，聚类等，要用到《多元分析》 ·研究寿命数据要用到《生存分析》 Previous Next First Last Back Forward f

• 生物学中研究群体的增长问题时，提出了生灭型 《随机模型》， 传染病流行问题要用到多变量非线性《生灭过程》 • 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、 存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类 概率模型来描述，其涉及到的知识就是 《排队论》 • 研究收入如何受个体教育程度, 行业, 性别等因素影响, 要用到 《回归分析》 • 研究多变量之间关系, 分类, 聚类等, 要用到《多元分析》 • 研究寿命数据要用到《生存分析》 • ... Previous Next First Last Back Forward 8

1.2 概率论的几个基本概念 1.2.1随机试验和随机事件 随机现象：自然界中的一种客观现象，当人们观测它时，不能预先 确定会出现哪种结果，而仅仅知道是多种可能结果之一， 随机试验：随机现象的实现和对它某个特征的观测！ ·随机试验中要求试验的结果至少2个 每次试验或观测得到其中的一个结果，在试验或观测之前 不能预知是哪个结果发生 一般还要求试验在相同条件下能够重复 如观测把硬币抛4次后正面向上的次数；观测某地的温度变化： 某电话总机单位时间内转接的电话次数 Previous Next First Last Back Forward 9

1.2 概率论的几个基本概念 1.2.1 随机试验和随机事件 随机现象: 自然界中的一种客观现象, 当人们观测它时, 不能预先 确定会出现哪种结果, 而仅仅知道是多种可能结果之一. 随机试验: 随机现象的实现和对它某个特征的观测. • 随机试验中要求试验的结果至少 2 个 • 每次试验或观测得到其中的一个结果，在试验或观测之前 不能预知是哪个结果发生 • 一般还要求试验在相同条件下能够重复 如观测把硬币抛 4 次后正面向上的次数; 观测某地的温度变化; 某电话总机单位时间内转接的电话次数. Previous Next First Last Back Forward 9

基本事件：随机试验中的每个单一结果，它犹如分子中的原 Definition 子，在化学反应中不能再分，所以有基本两字. 如把硬币抛3次后有8种可能结果：正正正、正正反、正反正、 反正正、正反反、反正反、反反正、反反反.这8种可能结果的每一 个都是基本事件 Previous Next First Last Back Forward 10

基本事件: 随机试验中的每个单一结果, 它犹如分子中的原 子, 在化学反应中不能再分, 所以有基本两字. Definition 如把硬币抛 3 次后有 8 种可能结果: 正正正、正正反、正反正、 反正正、正反反、反正反、反反正、反反反. 这 8 种可能结果的每一 个都是基本事件. Previous Next First Last Back Forward 10