中国科学技术大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲义）第五章 数理统计的基本概念与抽样分布 5.2 抽样分布

第五章：数理统计的基本概念与抽样分布 4.1 三大分布 1 4.1.1X2分布 1 4.1.2t分布 7 4.1.3 F分布 12 4.1.4 正态总体样本均值和样本方差的分布· 16 4.1.5 几个重要推论... 18 4.2总结.·. 23 Previous Next First Last Back Forward 1

第五章: 数理统计的基本概念与抽样分布 4.1 三大分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.1.1 χ 2 分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.1.2 t 分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.1.3 F 分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.1.4 正态总体样本均值和样本方差的分布 . 16 4.1.5 几个重要推论 . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Previous Next First Last Back Forward 1

4.1三大分布 能求出抽样分布的确切而且具有简单表达式的情形并不多，一般 都较难.所幸的是，在总体分布为正态情形，许多重要统计量的抽样分 布可以求得，这些多与下面讨论的三种分布有密切关系.这三个分布 在后面几章中有重要应用. 4.1.1 X2分布 设X,X2,…,Xmi.1.d.心N(0,1),令X=∑X经，则称 X是自由度为n的X2交量，其分布称为自由度为n的X2 Definition 分布，记为X心X后 Previous Next First Last Back Forward

4.1 三大分布 能求出抽样分布的确切而且具有简单表达式的情形并不多, 一般 都较难. 所幸的是, 在总体分布为正态情形, 许多重要统计量的抽样分 布可以求得, 这些多与下面讨论的三种分布有密切关系. 这三个分布 在后面几章中有重要应用. 4.1.1 χ 2 分布 设 X1, X2, · · · , Xn i.i.d. ∼ N(0, 1), 令 X = ∑n i=1 X 2 i , 则称 X 是自由度为 n 的 χ 2 变量, 其分布称为自由度为 n 的χ 2 分布, 记为 X ∼ χ 2 n. Definition Previous Next First Last Back Forward 1

设随机变量X是自由度为n的X2随机变量，则其概率密度函 数为 Im-e-,x>0. 2登r(号) (4.1) 0. x≤0. X的密度函数g(x)形状如下图 Previous Next First Last Back Forward 2

设随机变量 X 是自由度为 n 的 χ 2 随机变量, 则其概率密度函 数为 gn(x) =    1 2 n 2 Γ( n 2 ) x n 2 −1 e − x 2 , x > 0, 0, x ≤ 0. (4.1) χ 2 n 的密度函数 gn(x) 形状如下图 Previous Next First Last Back Forward 2

9n(x) n=1 n=4 n=10 n=20 510152025303540 X?密度函数的支撑集（即使密度函数为正的自变量的集合）为 (0,+o∞)，从上图可见当自由度n越大，X的密度曲线越趋于对称，n 越小，曲线越不对称.当n=1,2时曲线是单调下降趋于0.当n≥3 Previous Next First Last Back Forward 3

5 10 15 20 25 30 35 40 0.05 0.1 0.15 0.2 gn(x) x n = 1 n = 4 n = 10 n = 20 χ 2 n 密度函数的支撑集 (即使密度函数为正的自变量的集合) 为 (0, +∞), 从上图可见当自由度 n 越大, χ 2 n 的密度曲线越趋于对称, n 越小, 曲线越不对称. 当 n = 1, 2 时曲线是单调下降趋于 0. 当 n ≥ 3 Previous Next First Last Back Forward 3

时曲线有单峰，从0开始先单调上升，在一定位置达到峰值，然后单下 降趋向于0. 若X~X品，记P(X>c)=a,则c=X(a)称为X品分布的上 侧a分位数，如下图所示.当a和n给定时可查表求出X品(a)之值， 如X1(0.01)=23.209,x(0.05)=12.592等. 个9n(x) x(a) Previous Next First Last Back Forward 4

时曲线有单峰, 从 0 开始先单调上升, 在一定位置达到峰值, 然后单下 降趋向于 0. 若 X ∼ χ 2 n, 记 P(X > c) = α, 则 c = χ 2 n(α) 称为 χ 2 n 分布的上 侧 α 分位数, 如下图所示. 当 α 和 n 给定时可查表求出 χ 2 n(α) 之值, 如 χ 2 10(0.01) = 23.209, χ2 5(0.05) = 12.592 等. α χn 2 (α) x gn(x) Previous Next First Last Back Forward 4

X2变量具有下列性质： (1)设随机变量X~X品则有E(X)=m,Var(X)= 2m. (2)设Z1~X品1，Z2~X品2，且Z和Z2独立，则 Z1+Z2~X21+2 我们从X2分布的定义出发给出一个简单证明：由定义Z1= X院+…+X异，此处 Xi,X2,·,Xn1i.i.d.~N(0,1) 同理Z2=X,+1+…+X分1+n2,此处 Xn1+1,Xm1+2,…,Xn1+n2ii.d.~N(0,1), Previous Next First Last Back Forward 5

χ 2 变量具有下列性质: (1) 设随机变量 X ∼ χ 2 n 则有 E(X) = n, V ar(X) = 2n. (2) 设 Z1 ∼ χ 2 n1 , Z2 ∼ χ 2 n2 , 且 Z1 和 Z2 独立, 则 Z1 + Z2 ∼ χ 2 n1+n2 . 我们从 X 2 分布的定义出发给出一个简单证明: 由定义 Z1 = X 2 1 + · · · + X 2 n1 , 此处 X1, X2, · · · , Xn1 i.i.d. ∼ N(0, 1), 同理 Z2 = X 2 n1+1 + · · · + X 2 n1+n2 , 此处 Xn1+1, Xn1+2, · · · , Xn1+n2 i.i.d. ∼ N(0, 1), Previous Next First Last Back Forward 5

再由Z1和Z2的独立性可知 X1,X2,·,Xn1Xn1+1,…,Xn1+n2ii.d.~N(0,1) 因此 Z+Z2=X好+…+X元+X品+1+…+X品+m2 按定义即有Z1+Z2~X品1+n2 Previous Next First Last Back Forward 6

再由 Z1 和 Z2 的独立性可知 X1, X2, · · · , Xn1 Xn1+1, · · · , Xn1+n2 i.i.d. ∼ N(0, 1). 因此 Z1 + Z2 = X 2 1 + · · · + X 2 n1 + X 2 n1+1 + · · · + X 2 n1+n2 . 按定义即有 Z1 + Z2 ∼ χ 2 n1+n2 . Previous Next First Last Back Forward 6

4.1.2t分布 设随机变量XN(O,1),Y~X品，且X和Y独立，则称 T= X VYI元 Definition 为自由为n的t变量，其分布称为由为n的t分布，记为 T心tn. 设随机变量T~tn,则其密度函数为 1 tn(x)= () T(货)vm示 -00<x<00 (4.2) 该密度函数的图形如下 Previous Next First Last Back Forward

4.1.2 t 分布 设随机变量 X ∼ N(0, 1), Y ∼ χ 2 n, 且 X 和 Y 独立, 则称 T = X √ Y /n 为自由为 n 的 t 变量, 其分布称为由为 n 的t 分布, 记为 T ∼ tn. Definition 设随机变量 T ∼ tn, 则其密度函数为 tn(x) = Γ( n+1 2 ) Γ( n 2 ) √ nπ ( 1 + x 2 n )− n+1 2 , − ∞ < x < ∞ (4.2) 该密度函数的图形如下 Previous Next First Last Back Forward 7

小n(x) N(0,1)(t-(x) tho(x) ts(x) 启 t(x) 5 -4-3-2 -1 0 12 3 4 Previous Next First Last Back Forward 8

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0.1 0.2 0.3 0.4 x tn(x) N(0, 1)(t∞(x)) t10(x) t5(x) t1(x) Previous Next First Last Back Forward 8

tm的密度函数与标准正态分布N(0,1)密度很相似，它们都是关 于原点对称，单峰偶函数，在x=0处达到极大.但tm的峰值低于 N(0,1)的峰值，tn的密度函数尾部都要比N(0,1)的两侧尾部粗一 些.容易证明： lim tn(x)=p(x) n-oo 此处p(x)是N(0,1)变量的密度函数. Previous Next First Last Back Forward 9

tn 的密度函数与标准正态分布 N(0, 1) 密度很相似, 它们都是关 于原点对称, 单峰偶函数, 在 x = 0 处达到极大. 但 tn 的峰值低于 N(0, 1) 的峰值, tn 的密度函数尾部都要比 N(0, 1) 的两侧尾部粗一 些. 容易证明: limn→∞ tn(x) = φ(x) 此处 φ(x) 是 N(0, 1) 变量的密度函数. Previous Next First Last Back Forward 9