《概率论与数理统计》课程教学资源（阅读材料）平均数和数学期望

应用研究 关于平均数和数学期望的应用 苏均和 在统计学中常用平均数来表述数据（或数列）集 定现象.如抛掷一枚硬币，出现正面还是反面，在地 中趋势的测度。平均数有：算术平均数、调和平均 掷以前是无法知道的这类现象称为随机现象。在 数、几何平均数、中位数及众数。各种平均数有各自 客观世界六随机现象是普遍存在的。 的定义和它们应用的范围。 随机现象和随机试验是密不可分的，所谓随机 算术平约数是爱常历的一种它有简单算术平 试验就是一个试验满足下述条件： 均数与加权算术平均数之分。简单算术平均数是将 (1)试验可以在相同的情形下重复进行： 总体的各个单位标志值简单相加，然后除以单位个 (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不 数，求出平均标志值；加权算术平均数是用各组标志 止一个； 值乘以相应的总体单位数来计算的，由此，它的大小 (3)每次试验恰好出现这些可能结果的一个，但 不仅取决于总体各单位的变量值，而且受单位变量 试验前不能肯定会出现那一个结果。 重复出现的次数影响，各组出现的次数在这里面起 随机试验每一个可能结果，称为基本事件。由 了权衡轻重的作用。 多个基本事件所组成的事件称为随机事件。比如一 调和平均数是各个变量值倒数的算术平均数， 个盒子中有十个完全相同的球，分别标以号码1,2， 又称倒数平均数。在统计工作中应用机会很少，往 …,10,令i={取得球的标号为i,则从盒子中任取 往是作为算术平均数的变形来使用的。 一球标号为i为一基本事件，而从盒中任取一球标 几何平均数是计算平均比率和平均速度时适用 号为偶数为一随机事件。 的一种方法。几何平均数也有简单几何平均数和加 度量一个随机事件出现可能性大小的量常用概 权几何平均数之分。只有当变量值总量表现为各变 率来刻画，而一个随机事件总是和它的概率紧密相 量值的连乘积时，才适用几何平均数方法来计算平 联的。 均值。一般说来，计算社会经济现象在各个时期的 随机事件虽然与实数之间没有直接自然关系， 平均发展速度时，则采用几何平均数。 但我们常可以人为地给它们建立起一个对应关系， 中位数是一种按其在数据中的特殊位置而决定 比如抛掷一枚硬币，约定0 1 出现正面 的平均数。它将总体中某数量标志的各个数值按大 出现反面 小顺序排列，形成一个数列，处在数列中点位次的数 是一个变量，它取什么值在每次试验以前是不能确 值即为中位数。中位数的最大特点是：它是数据序 定的，也就是说，它的取值是随机的，我们一般把这 列中间一项或两项的平均数，不受极端值影响，所以 种变量称为随机变量。随机变量就它们的取值可分 当一个数据序列中含有特大值或特小值的情况下， 为离散型和连续型。我们把下表称为是离散型随机 采用中位数较为适宜。 变量的分布列。 众数也是一种位置平均数，是指在总体中出现 表4 次数最多的那个变量值。众数的计算只适用于单位 卡a1,a2,, 其中P=P(E=a) 数较多，且有明显的集中趋势。否则计算众数是没 PP1,P2,P3,…P。… 有意义的。 而把随机变量：的数学期望定义为： 为了使得平均值更精确、更科学化，还可以用 E=三aP,从它的定义我们可以看出，它是以 另一种语言来进行描述，即数学期望。 概率为权数的平均数，因此它较前面的平均数而言 在自然界和社会生活中，一般有两种现象：一种 就更为精确而科学。设：和刀为两个随机变量，则 是确定性的，如太阳从东方升起等等；另一种是不确 有(：、)的联合分布列及条件期望等等一些问题。 95·5上海统计 17 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://ww.cnki.net

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应用研究 现在我们已经知道数学期望的含义，但对于它 (E(R:I C=2) 18 的作用，尤其是关于它在各方面的应用，迄今未能引 E(R21C=2) 起人们重视。当前，在社会主义市场经济条件下，如 E(R3 I C=2) 10 -1 何利用数学期望来解决一些经济问题是很有必要 -0.81 的。由于篇幅关系下面仅举一例，说明数学期望的 =2.29 应用。 3.71 例，（抽样信息的价值）某公司拟扩展其生产线， maxE(RIIC=1),E(R2!C=1).(R2IC=1) 有三项备选方案。方案I,建造大型厂房；方案Ⅱ，建 -E(R1|C=1)=8.9 造中型厂房；方案Ⅲ，租赁合适的设备。产品的需求 mxR:IC=2),E(R,:C=2),E(R2|C=2) 情况分为高、低两档，以S=1表示需求悬高，$=2 =上(R3|C=2)=3.71 表示需求量低。以R、R:,R分别表示方案I、K、四 于是按后验期望收益最大原则的决策规则为： 的收益，它依龄干箭求情况S其在各情识下的收益 当预测需求量C=1时，执行方案1，当预测需求量C 值如表所示： =2时，执行方案Ⅲ，不论C值如何均不执行方案Ⅱ 单位：万元 此时决策的收益是S和C的函数，记为R·(S,C), 方案 收 I 0 即 益 蓝求 R R2 R3 18, 当C=1,S=1 S=1 18 12 10 -15, 、当C=1,S=2 S=2 -15 -5 -1 R'(S,C)= 10, 当C=2,S=1 今考虑聘请市场顾问对市场需求情况进行预 -1. 当C=2,S=2 测。在此之前我们已知需求随机变量S的概率分布 由(S,C)的联合分布，可得 为 E[R'(S,C)]=18×0.42+(-15)×0.16+10 P(S=1)=0.6,P(S=2)=0.4 ×0.18+(-1)×0.24=6.72 这一概率分布常称为事前分布（或先验分布）。以C 聘请顾问得到的预测信息是不完全信息或称抽 =1和C=2 样信息，它的价值为 PS=21C=1)=8 E[R(S,C)]-E(R3)=6.72-5.6=1.12 即聘请顾问比不聘请顾问平均说来可净增收益 P(s=11C=2)=PS=1.C=2 P(C.=2) 1.12万元，而聘请费用仅需5000元，因而聘请该顺 问是值得的。 0.18 3 =0.18+0.14= 在信息市场中信息是有售价的，仅当该抽样倍 4 息的价值大于其售价时，该信息才值得购买。一般 P(S=21C=2)=7 说来计算抽样信息的价值，其步骤如下： 这两个条件分布是在已知预测信息后得到 (1)利用市场需求随机变量S的先验分布求出 的称为事后分布（或后验分布），关于该后验分布求 各个方案的期望收益，期望收益最大的方案即为在 条件期望称为后验期望。分别求出三个方案在C= 没有咨询信息情况下的决策方案，该方案的期望收 1和C=2下的后验期望为 益记为E(R)。 E(R IC=1) 18 -15 1 (2)由咨询信息C计算S的后验分布，它依赖于 29 C。 E(R21C=1) = -5 o (3)由后验分布计算各方案的后验期望收益，它 E(RIC=1) -1 是C的函数。 8.9 (4)对于C的每一个值，选出后验期望收益最 7.3 大的方案，这就是利用咨询信息C的情况下的决策 {7.0 规则，此时收益是S和C的函数，记为R·(S,C)。 (5)计算信息的价值：E[R·(S,C)]-E(R) (作者单位：上海财经大学统计亲) 18 95·5上海统计 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All righis reserved.http://www.cnki.net

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