西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第五章求矩阵特征根和特征向量的数值方法

点击下载完整版文档（PDF）

文档信息

资源类别：文库
文档格式：PDF
文档页数：11
文件大小：202.49KB
团购合买：点击进入团购

内容简介

5-1幂法 5-2原点平移法 5-3逆幂法 5-4求实对称矩阵特征根的对分法

刷新页面文档预览

第五章求矩阵特征根和特征向量的数值方法 5-1幂法 5-2原点平移法 5-3逆幂法 5-4求实对称矩阵特征根的对分法

§5-1幂法、幂法分析幂法是用来计算实方阵的按模最大的特征值及相应特征向量的一种迭代法设n阶实方阵A有n个线性无关的特征向量,u2…,un 相应的特征值分别为4λ2…,并按其绝对值的大小排列任给初始向量x≠0由迭代公式 Axk(k=012…) 得到向量序列{x} 所以 x0=01l1+212+…+ann

!"# $%& '()*+,- . /012 345 678- 9:

于是 x1 a14+a221.n x(a1+a2(")2+…+a()n,) 由假设/4<=23…m所以只要a1≠0就有 Im C 这说明序列水收敛于A的与相对应的特征向量, 当k充分大时即x为λ的特征向量的近似值令(x)表示x的第个分量,则

; 3 ? @AB8- CD; E *F G H$I

…+a x1 x(a1+a2(2)2+…+an()n) 所以 k+1 m k→ x 即两相邻迭代向量分量的比值收敛于4 这种由已知非零向量x及矩阵A的乘幂A构造向量序列 {x}以计算A的按模最大特征值及相应特征向量的方法称为乘幂法,简称为幂法. 通常把迭代向量归一化,即把x的最大分量化为1 因此通常采用的幂法迭代公式为:

9: .JK$LCD; @3MNOP Q R ST8- : U& RFVU& WXYZ[F.Y $[& \]WX^45&_

m,=max(x) =4y(k=0 其中,m3=max(x)表示x中绝对值最大的分量由此可得: Ay Afy yk mmim k-1 mmk-''", m.mmo 而 max(A xo)=max(A yo)mo =max(A Ayo)m=max(A x)mo max(a" y)mm =max(4yk1)m1…m1m =max(x)m21…mm

3]`6_ a

所以 a,u, +a. l2+…+a, max(A“x0) max(x(+a2(")n2+…+a(),) 11+a +…+. max(a,u +a +∴+a 从而 lime k→ max(u 上式说明归一化向量序列{yk收敛于按模最大的特征值所对应的特征向量因此,当k充分大时,y就是特征向量 l1的近似值

9: ba c5ABZ[8- CD; 9*\]FG H$IF ? de

同理 A k-1 max(a"xo 1(a4+a2(2)l2+…+a(")ln) max(2-1 au +a +…+C 所以 l max(a,u,+a,(2) )2+…+(2y) max(x max(a+a2(n2)2+…+an k-1 故 lim max(*k)=M →0 因此,当k充分大时,max(x)就是按模最大的特征值1的近似值,即m≈

fg 9: h \]FG H$IF ? deF.

§5-2原点平移法幂法的收敛速度主要取决于比值2/A,若比值越小则收敛越快;当接近于1时,则收敛很慢这时采用原点平移法可加快幂法的收敛速度. 设A的特征值为,42…,n,则A-p特征值为 λ1-p,2-p,…,42-p,且A与A-p的特征向量相同对矩阵4-p 应用幂法,则有 (A-pI)xk (21-p)(a4+a2(22)l2+…+an 1-p 1-p 适当地选择P,使得1-p>2-n且

CDijk>lm;L nLo+ pCDoq Grd;IpCDst@I^uvwx `yqCDij

这样对同一初始向量x,用幂法分别求矩阵A-p/和矩阵A的按模最大的特征值,前者的收敛速度快于后者因此,对满足上述条件的 P,可先求出A-p的按模最大的特征值A及相应的特征向量a,从而得出A的按模最大的特征值4+p及其相应的特征向量u4,这种加速收敛的方法称为原点平移法在实际计算中,p的选取或凭借于经验或通过多次试算而得到。但对于一些简单情形,p可以估计的例如当矩阵 A的特征值满足2>2≥22…≥n>0或2<2≤≤…≤2<0时, 取p=(2+2,则有 4-p12-p<1-p(=23…,m) 且 2-p2- 1-p21 1-2+1-2n21-041 所以用原点平移法求可加快收敛速度

$#%&'()*+#!" 8 4567 /0123-. ,-. !"#$%&'()

§5-3逆幂法逆幂法分析设n阶实方阵A有n个线性无关的特征向量v,l2…,n2 相应的特征值分别为λ2…,并按其绝对值的大小排列则由A=L,可得Au=-u,即A的逆矩阵A的特征值为 =12,…,m,并有而且A对应于λ的特征向量u就是A的对应于的特征向量如果对矩阵A用幂法求A的按模最大的特征值及相应特征向量un,就是对A求按模最小的特征值λ及相应特征向量u 这种用A代替A应用幂法就称为对A应用逆幂法

!" #$%&'()*+ , !" -

共11页，试读已结束，阅读完整版请下载

刷新页面下载完整文档

VIP每日下载上限内不扣除下载券和下载次数；
按次数下载不扣除下载券；
注册用户24小时内重复下载只扣除一次；
顺序：VIP每日次数-->可用次数-->下载券；

点击下载完整版文档（PDF）

西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第五章 求矩阵特征根和特征向量的数值方法

西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第五章求矩阵特征根和特征向量的数值方法