西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第六章代数插值

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6.1 Lagrange插值 6.2 Newton插值

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第六章代数插值 6.1 Lagrange插值 6.2 Newton插值西华师范大学数学与《计算方法》信息学院

插值自变量和应变量的关系以表格或曲线形式给出由于函数关系过于复杂或当前还未找到合适的方程表达希望用较少数据点存入计算机产生插值问题 dx 逼近对计算不便或复杂的函数Bm=[x=0= 用另一便于计算的函数近似之称为逼近方法西华师范大学数学与《计算方法》信息学院

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61 Lagrange插值常用n次多项式P ao t a,x n 根据 Weierstrass逼近理论 /(r)+8 f(r) 图 Weirstrass逼近理论示意 x∈ E>0 If(x)-Pn() 西华师范大学数学与《计算方法》信息学院

6.1.1插值多项式插值多项式 (x,y,) yn 型值点 x In X 图型值点和插值多项式 P(x)=an+ax+…+ax+…+a P(x,) =f(x) 使 4u4¨2·一确定 n+1个待定系数n+1个条件西华师范大学数学与《计算方法》信息学院

推是=B,。(x)y +…+B n.i yit + B ∑B,(x)·y B(x)—Pn(x)的基本式,基函数 Pn(x)通过型值点, (6-3)→(6-2) yoB,o(o) +y,B,,(x y +…+ynBn,(x0)=y yoB.G) BR()++y,B,()=y 6-4 y0B,.0(x y,B,(,)+.+y,Bn.(,)=y 西华师范大学数学与《计算方法》信息学院

(6-4)成立的条件 B 由(6-2)Bn(x)和B,(x)最高冥次相同构造满足(6-5)的Pn(x),令 B (x)=c )(x-x1)·(x-xn) 为使 0;x=x1;j=0,…,n 定义C=(x-xn)-(x1-x,)x1-x,)-(-x 所以 Dn(x)=(x-x0)…(x-x1)(x-x1)(x-xn) B,()-m8 D,(x D, lx 西华师范大学数学与《计算方法》信息学院

lagrange多项式 Rolle,s theorem 图函数与根的关系个根 1个根西华师范大学数学与《计算方法》信息学院

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最简单的插值多项式,n=1,线性插值从(6-1 L(x)=∑y D,(x) D() X-X X-X L(x)= x=x;: L()=y xo x 图线性插值示意西华师范大学数学与《计算方法》信息学院

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多项式的插值误差:f(x)=P(x)+R(x)(6-12) 其中R(x)=G(x)∏(x-x) 证明构造(使 n时:Pn(x1)=f(x)即Rn(x,)=0) R G(x).∏(x-x 13 0 对另一自变量t定义一个新的函数 Q()=f()-Pn()-G(x)∏(-x,)(6-14) 取某个固定的x值,则 x O(r)=0 西华师范大学数学与《计算方法》信息学院

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Q()在[xn…,x,…x]区间有(n+2)个根若f()连续可微,反复应用Role定理 “()在以上区间有一个根即: Q)=0,∈[;…,x…,x](6-15) 西华师范大学数学与《计算方法》 10 信息学院

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