西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第三章非线性方程的数值解法

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3.1对分法 3.2逐次迭代法 3.3收敛阶 3.4牛顿法 3.5割线法

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△△N 第三章非线性方程的数值解法 3.1对分法 32逐次迭代法 33收敛阶 34牛顿法 35割线法

3.1引言在科学研究中,常常会遇到非线性方程或非线性方程组的问题。例如解方程 x4-10x3+35x2-50x+24=0 或 SIn 般的,我们记非线性方程为 f(x)=0 西华师范大学数学《计算方法》与信息学院

y=(x+c)2+d y=(x-a y=x+c)+ y=( 图41非线性方程求根示意图西华师范大学数学《计算方法》与信息学院

方程的解亦称方程的根或函数的零点根可能是实数或复数。若f(x)=0,f(ax)≠0,则a称为单根若/(a)=f(a) (a)=0 f((a)≠0 C ,则称为k重根。常见的求解问题有两种: (1)要求定出在给定范围内的某个解 (2)要求定出在给定范围内的全部解西华师范大学数学《计算方法》与信息学院

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非线性问题,除少数情况外,一般不能不利用公式求解。而要采用某种迭代解法。即构造出一近似值序列CoC1 逼近真解a 迭代过程的收敛性一般与初值的选取和方程的性态有关,某些解法仅与初值有关收敛速度一般由迭代方法所决定,方程的性态也会起一些作用。西华师范大学数学《计算方法》与信息学院

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分法( The bisection method 根的存在性定理: 对于连续函数f(x),如果在x=a 和x=b处异号:f(a)f(b)<0 则/()在[a,b]内至少有根西华师范大学数学《计算方法》与信息学院

逐步缩小区间[a2b}并保持f(a)f(b)<0 当=0时已找到解)当区间[a,b]足够小时, 用(a+b)/2近似作为f(x)=0的解。每步使长度[a2b减小一倍,即二分 a,b]的方法,称二分法。用 a+b b或 2 a+b 代替前一步的[a,b]取决于f(a) a+b 同号与否。西华师范大学数学《计算方法》 7 与信息学院

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用图来表示这个过程 y 1、收敛速度慢线性。 2、方法稳定,只要求 f(ecla, bl 3、只能求实函数的一个 0 a 时零点。二分法方程求根确定根所在的范围[ab]对有的函数也是一件困难的事。所幸的是,在实际应用中,根据其物理或工程的背景,在绝大部分场合是不困难的。对给定的函数也有确定范围的方法。西华师范大学数学《计算方法》与信息学院

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寻找隔根区间示意1 西华师范大学数学《计算方法》与信息学院

sin 寻找隔根区间示意2 寻找隔根区间示意3 西华师范大学数学《计算方法》 10 与信息学院

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