浙江大学：《量子力学》习题一

共2页,第1页 浙江大学 二OO四年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目量子力学 编号_342 注意:答案必须写在答题纸上,写在试卷或草稿纸上均无效。 第一题(35分): (1)由正则对易关系[,=i导出角动量的三个分量 ay L, 的对易关系。 (2)证明厄米算符的本征值为实数 (3)什么是量子力学中的守恒量,它们有什么性质。 (4)写出测不准关系,并简要说明其物理含义。 (5)写出泡利矩阵 0 满足的对易关系。 第二题(30分):二维谐振子的哈密顿量为 Hgm++ p2)+m(ar+2y2) (1)求出其能级。 (2)给出基态波函数。 (3)如果O1=ω2,试求能级的简并度。 编号342 第1页

共 2 页，第 1 页 浙 江 大 学 二〇〇四年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 量子力学 编号 342 注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。 第一题（35 分）： （1） 由正则对易关系[xˆ, pˆ] = ih 导出角动量的三个分量 x y y L x z x x L z y z z L y x y z ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = 的对易关系。 （2） 证明厄米算符的本征值为实数。 （3） 什么是量子力学中的守恒量，它们有什么性质。 （4） 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 （5） 写出泡利矩阵 满足的对易关系。 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 x y z i i σ σ σ 第二题（30 分）：二维谐振子的哈密顿量为 ( ) 2 1 ( ˆ ˆ ) 2 1 2 2 2 1 2 2 p p m x y m H = x + y + ω +ω （1）求出其能级。 （2）给出基态波函数。 （3）如果ω1 = ω2 ，试求能级的简并度。 编 号 342 第 1 页

第三题(30分):有一个质量为m的粒子处在如下势阱中 x0 (1)试求其能级与波函数。 (2)问通过调节势阱宽度a,能否让势阱中的粒子有一定的几率穿透出来 (3)如果你认为可以,试确定参数a的取值范围 第四题(20分):原子序数较大的原子的最外层电子感受到的原子核和内层 电子的总位势可表示为 (r) 1<<1 试求其基态能量。 第五题(20分):求哈密顿量H=σσ2+σ'σ2+ασjσ 的本征值和本征矢量,试分析a=1时有何特点。(提示:泡利矩阵中下标 1,2表示第一个粒子和第二个粒子,因此可用矩阵直乘理解,即 σa2=σ1⑧σ2等等) 第六题(15分):有一个量子体系,假如你已知道基态和激发态的波函数分 别是v0,W12v2,v3…,对应于E0<E1<E2<E3…,把两个全同粒子(不考虑它 们之间的相互作用)放到该系统 (1)对于自旋为零的粒子,写出基态与第一激发态的波函数。 (2)对于自旋为1/2的粒子,写出基态波函数。 第2页

第三题（30 分）：有一个质量为 m 的粒子处在如下势阱中 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + 0 ） （1）试求其能级与波函数。 （2）问通过调节势阱宽度a，能否让势阱中的粒子有一定的几率穿透出来。 （3）如果你认为可以，试确定参数a的取值范围。 第四题（20 分）：原子序数较大的原子的最外层电子感受到的原子核和内层 电子的总位势可表示为 ( ) , 1 2 2 2 = − − λ λ << r e r e V r 试求其基态能量。 第五题（20 分）：求哈密顿量 x x y y z z H = σ 1σ 2 +σ 1 σ 2 +ασ 1σ 2 的本征值和本征矢量，试分析α = 1时有何特点。 （提示：泡利矩阵中下标 1，2 表示第一个粒子和第二个粒子 ，因此可用矩阵直乘理解，即 等等） x x x x σ 1σ 2 = σ 1 ⊗σ 2 第六题（15 分）：有一个量子体系，假如你已知道基态和激发态的波函数分 别是ψ 0 ,ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3L，对应于 E0 < E1 < E2 < E3L，把两个全同粒子（不考虑它 们之间的相互作用）放到该系统， （1） 对于自旋为零的粒子，写出基态与第一激发态的波函数。 （2） 对于自旋为 1/2 的粒子，写出基态波函数。 V0 b a -V0 编 号 342 第 2 页