华南农业大学：《高等数学》课程PPT教学课件（经济数学B上册）经济数学第8次授课提纲

§1.5函数极限存在准则 两个重要极限 如果数列{xn}满足条件 X1≤X2≤X3≤.≤Xn≤. 则称数列{x}是单调增加的； 如果数列{x}满足条件 X1≥X2≥X3≥.≥Xn≥. 则称数列x}是单调减少的。 单调增加数列和单调减少的数列统称为单调数列

§1.5 函数极限存在准则 两个重要极限 如果数列 xn  满足条件 x1  x2  x3  xn  则称数列 xn  是单调增加的； 如果数列 xn  满足条件 x1  x2  x3  xn  则称数列 xn  是单调减少的。 单调增加数列和单调减少的数列统称为单调数列．

准则I单调有界数列必有极限. 注：(1)利用准则I来判定数列收敛必须同时 满足数列单调和有界这两个条件. (2)单调是数列收敛的充分条件，而非必要条 件. (3)准则I只能判定数列极限的存在，而未给 出求极限的方法

（3）准则Ⅰ只能判定数列极限的存在，而未给 出求极限的方法． 准则Ⅰ 单调有界数列必有极限 . 注：（1）利用准则Ⅰ来判定数列收敛必须同时 满足数列单调和有界这两个条件． （2）单调是数列收敛的充分条件，而非必要条 件．

证明数列 -+ 当n趋于无穷大时收敛. 二项式定理复习： (a+b}”=∑Ca"*b, Ci= n！ n(n-1)(n-2).(n-k-1) !(n-k)! k! e=2.718281828459045

1 1 n n x n   = +     证明数列 当 n 趋于无穷大时收敛 . 二项式定理复习： ( ) 0 , ! ( 1)( 2) ( 1) !( )! ! n n k n k k n k k n a b C a b n n n n n k C k n k k − = + = − − − − = = −  ． e 2.718281828459045 =

对于准则I，,函数极限也有类似的准则，自变 量的不同变化过程（x→x0,x→x, X>00’ x→+∞)，准则有不同的形式.例如： 准则'设函数f(x)在点，的某个左邻域内单调 并且有界，则f(x)在x的左极限f(x。)必存在 例求 1+3 例2求 lim x→00

的左极限 I f x( ) 0 x f x( ) 0 x 0 f x( ) − 准则 设函数 在点 的某个左邻域内单调 并且有界，则 在 必存在． 对于准则Ⅰ，函数极限也有类似的准则，自变 量的不同变化过程（ ， ， ， ），准则有不同的形式．例如： 0 x x → − 0 x x → + x → − x → + 例2 求 1 lim 1 x x x → x   +     − 例3 求 1 0 lim 1 3 x x x x + →     +   例1 求 1 lim 1 x x→ x     −  

准则Ⅱ如果数列{xn}、y,n}及{2n}满足下列条件： (1)yn≤xn≤2n,n=1,2,3,. (2)lim yn=a,lim =n=a n->oo n-→0o 则数列{xn}的极限存在，且xm=a 2 例4 证明 limsin=0 n 例5求极限 lim n-0

n n n y  x  z n = 1,2,3,  yn a n = → lim zn a n = → lim xn  xn a n = → lim 准则 II 如果数列 xn  、 yn  及 zn  满足下列条件： 则数列 的极限存在，且 ． （1） （2） , , 例4 证明 2 lim sin 0 n→ n = ． 例5 求极限 2 2 2 1 1 1 lim 1 2 n n n n n →     + + +   + + + ．

准则Ⅱ'设函数f(x)在点x的某一去心邻域U(x,) 内（或x≥X)满足条件： (1)g(x)≤f(x)≤h(x) (2) ling()=4,imx)=4 ()=4, →X limh(x)=A）. r-o 则limf(x)存在，且limf(x)=A（或Iimf(x)=A 存在，且limf(x)）

准则 II f (x) 0 x 0 0 U x( , )  x  X 设函数 在点 的某一去心邻域 内（或 ）满足条件： 0 lim ( ) x x f x → 0 lim ( ) x x f x A → = lim f (x) x→ f x A x = → 则 （或 lim ( ) 存在，且 存在，且 ）。 （ g(x)  f (x)  h(x) 1） g x A x = → lim ( ) h x A x = → lim ( ) 0 lim ( ) x x g x A → = 0 lim ( ) x x h x A → ， = （或 ， ）． （2）

证明 lim sinx 二1 x>0 sinx 证明：首先注意到，函数 sinx 对于一切x≠0都有定义。 如图示单位圆中，设圆心角为 ∠408=0x引点A处的切线 与OB的延长线相交于D,又BCOA

证明 0 sin lim 1 x x → x = 证明：首先注意到，函数 对于一切 都有定义。 sin x x x  0 如图示单位圆中，设圆心角为 ，点A处的切线 与OB的延长线相交于D，又BC OA O 1 A B C D x 0 2 AOB x x     =       ⊥ o x y sin x y x =

则有： sinx CB,x=AB,tanx=AD 因为： △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 1 11 D 所以 sinx<。x<-tanx→sinx<x<tanx B 2 22 不等式两边同除以sinx,即得 1<x 1 或 COSx< sinx <1 sinx cosx ,lim cosx=l→limS x→0 四-1，以上对（号亦成立

O 1 A B C D x 则有： sin , ,tan x CB x AB x AD = = = 因为： ∆AOB的面积<圆扇形AOB的面积< ∆AOD的面积 所以 1 1 1 sin tan 2 2 2 x x x      sin tan x x x 不等式两边同除以 sin x ，即得 1 1 , sin cos x x x   sin cos 1 x x x 或   以上对 , 0 亦成立。 2 x     −    0 0 sin lim cos 1 lim 1 x x x x → → x =  =

例6求 lim tan x x>0 x sin 3x 例7求极限 lim →0sin5x tan x-sinx 例8求极限 lim x→0 习题：P34EX1-5

0 tan lim x x → x 例6 求 例7 求极限 0 sin 3 lim x sin 5 x → x 例8 求极限 3 0 tan sin lim x x x x − → ． 习题：P34 EX 1—5