华南农业大学：《高等数学》课程PPT教学课件（经济数学B下册）经济数学第12次授课提纲

习题课有关内容复习： 1.微分定义：（z=f(x,y)) Az=fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay +0(P) p=V(△x)2+(△y)2 dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy 2.重要关系： 函数连续 函数可导 函数可微 偏导数连续

习题课有关内容复习： 1. 微分定义: z = dz = f x y x f x y y x ( , )d + y ( , )d 2 2  = (x) + (y) 2. 重要关系: + o() 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续

3.微分应用 ·近似计算 △Z≈fx(x,y)△x+f(x,y)A) f(x+△x,y+△y) ≈f(x,y)+fx(x,y)△x+f(x,y)A

3. 微分应用 • 近似计算 f x y x f x y y x ( , ) + y ( , ) f x y x f x y y x ( , ) + y ( , )

4.复合函数求导的链式法则 例如，u=f(x,y,),v=p(x,y), =f+6p听；=f乃+f5p时 8x Oy 5.全微分形式不变性 对z=f(u,),不论u,v是自变量还是因变量， dz=f (u,v)du+f(u,v)dv

4. 复合函数求导的链式法则 例如, u x y v x y ; 1  2  z u v w x z u v x y 5. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量, z f u v u f u v v d = u ( , )d + v ( , )d

习题中的若干问题解析 1、试定义下列函数在原点的值，使其在该点连 续。P198,EX8) tan(x2+y2) f(x,y)= 1-cosx2+y2 2、证明下列函数在原点处偏导数存在但不连 续。(P203EX6) ,x2+y2≠0 0x2+y2=0

习题中的若干问题解析 1、试定义下列函数在原点的值，使其在该点连 续。(P198,EX8) 2 2 2 2 tan( ) ( , ) 1 cos x y f x y x y + = − + 2、证明下列函数在原点处偏导数存在但不连 续。（P203EX6) 2 2 2 2 4 2 2 , 0 ( , ) 0 0 xy x y f x y x y x y   +  =  +   + =

3、证明函数f(x,y)=Vy在点(0,0)处不可微。 (P207EX7) 课堂练习题一 2、设z=xe+y+(x+l)ln(1+y)，求：dl0。 (2005年数四考题，4分)

3、证明函数 f x y xy ( , ) = 在点(0,0)处不可微。 （P207EX7） 课堂练习题一 1、设 1 z x u y   =     ，求： (1,1,1) du 。 2、设 e ( 1)ln(1 ) x y z x x y + = + + + ，求： (1,0) dz 。 （2005年数四考题，4分）

3、设f四可微，且f0=5, 求函数 z=f(4x2-y2)在点(1,2)处的全微分。 (2006年数四考题，4分) 例1设f(u.)具有二阶连续偏导数，且满足 0f+0f-1,又gxW=wx-y广】 020v2 求：( g 。(2003年数四考题，8分) 0x2 0y2

3、设 可微，且 ，求函数 在点 处的全微分。 f u( ) 1 (0) 2 f  = 2 2 z f x y = − (4 ) (1, 2) （2006年数四考题，4分） 例1 设 f u v ( . ) 具有二阶连续偏导数，且满足 2 2 2 2 1 f f u v   + =   ，又 1 2 2 ( , ) [ , ( )] 2 g x y f xy x y = − 求： 2 2 2 2 g g x y   +   。（2003年数四考题，8分）

例2设z=fy,+g )其中f具有二阶 连续偏导数，8具有二阶连续导数，求： axoy 课堂练习题二 1、设z=e,x=cost,y=tsint,.求： dz 工、设他二元可微，=作学求会 02 (2007年数四考题，4分)

例2 设 其中 具有二阶 连续偏导数， 具有二阶连续导数，求 。 ( , ) ( ) x y z f xy g y x = + f g 2 z x y    课堂练习题二 1、设 2 , cos , sin , xy z e x t t y t t = = = 求： 2 t dz dt  = 2、设 f u v ( , ) 二元可微， ( , ) ，求： y x z f x y = z z x y x y   −   （2007年数四考题，4分）

3、设z=f(2x-y,ysinx),其中f(u,v)具有 二阶连续偏导数，求：2： 8xoy (1990年数四考题，5分) 4、设z=f(e*sin y,x2+y2),其中f(u,v)具有 二阶连续偏导数，求： Oxoy (1992年数四考题，5分)

3、设 z f x y y x = − (2 , sin ) ，其中 具有 二阶连续偏导数，求： f u v ( , ) 2 z x y    。 （1990年数四考题，5分） 4、设 2 2 ( sin , ) x z f e y x y = + ，其中 具有 二阶连续偏导数，求： f u v ( , ) 2 z x y    。 （1992年数四考题，5分）

5、设f)具有二阶连续导数，且x川=f的+f( 求：r202g 10'g Ov? 作业：综合练习七 (2005年数四考题，8分) 6、设2=f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)=1 =2, =3,p(x)=fx,f(x,x): axlaD 1,1) 求： d p3(x) (2001年数四考题，6分)

5、设 f u( ) 具有二阶连续导数，且 ( , ) ( ) ( ) y x g x y f yf x y = + 求： 2 2 2 2 2 2 g g x y x y   −   。 （2005年数四考题，8分） 6、设 z f x y = ( , ) 在点 (1,1) 处可微，且 f (1,1) 1 = (1,1) (1,1) 2, 3, ( ) ( , ( , )), f f x f x f x x x y    = = =   求： 3 1 d ( ) d x x x  = （2001年数四考题，6分） 作业：综合练习七

6 设函数z=f(x,y)在点(1,1)处可微，且 f(1,1)=1, of =2， =3, 0x1,1) ay1,1) 小-.求品0，e考翻 解：由题设p(1)=f(1,f(1,1)=f1,1)=1 po以k-1o28-l =3[f(x,f(x,x) +fx,fx,x)x,9+f5,)川x=l =3.[2+3·(2+3)]=51

6 (1) = f (1, f (1,1)) 1 ( ) d d 3 x = x x  = f (1,1) =1 d 1 d 3 ( ) 2 = = x x x   = 3 ( , ( , )) 1 f  x f x x ( , ( , ))( ) 2 + f  x f x x  x =1 = 3 = 51 f (1,1) =1, (x) = f (x, f ( x, x)), 2, (1,1) =   x f 求 设函数 在点 处可微 , 且 3, (1,1) =   y f 解: 由题设 2 + 3(2 + 3) (2001考研)