华南农业大学：《高等数学》课程PPT教学课件（经济数学B下册）经济数学第22次授课提纲

上次课内容复习 1、无穷级数的定义；无穷级数的部分和数列； 无穷级数收敛及其发散的概念。 2、无穷级数的性质。 3、无穷级数收敛的必要条件。 4、等比级数（几何级数）的敛散性及其条件

上次课内容复习 1、无穷级数的定义；无穷级数的部分和数列； 无穷级数收敛及其发散的概念。 2、无穷级数的性质。 3、无穷级数收敛的必要条件。 4、等比级数（几何级数）的敛散性及其条件

§9.2正项级数 若4n之0，则称∑4为正项级数· 定理1正项级数 》4n收敛部分和序列Sn n=1 (n=1,2,.有界 证：> 若∑4n收敛，则{Sn收敛，故有界。 n=l .un≥0，.部分和数列{Sn}单调递增， 又已知{Sn}有界，故{Sn}收敛，从而∑4n也收敛. n三

§9.2 正项级数 若  0, un 则称  为正项级数 .  n=1 un 定理1 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证:

0 定理2（比较审敛法）设∑4n,∑yn是两个正项级数， n=l n=1 且存在N∈Z+,对一切n>N,有un≤kyn（常数k>0), 则有 00 00 (1)若强级数∑yn收敛，则弱级数∑4n也收敛； n=l n=l 00 (2)若弱级数入4n发散，则强级数)yn也发散. n=1 n=1

定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 是两个正项级数, (常数k >0)

例1证明级数 之2”+金 (k>0) 是收敛的。 例2讨论P一级数 1 1+2 立+.+市+.常数n0 1 的敛散性。 例3判断级数 之a+ln+④ 的敛散性

例1 证明级数 ( ) 1 1 0 2 n n k k  =  +  是收敛的。 1 1 1 1 2 3 p p p n + + + + + 例2 讨论 P— 级数 (常数 p > 0) 的敛散性。 例3 判断级数 的敛散性。 1 1 n ( 1)( 4) n n  = + + 

定理3 (比较审敛法的极限形式)设两正项级数 ∑4n,∑yn满足1im4n=l,则有 n=l n=l n-→oVn (1)当 0<时0 两个级数同时收敛或发散； 00 (2)当1=0且∑yn收敛时，∑4n也收敛； n=1 n=1 (③)当1=o且∑yn发散时，∑4n也发散. n=1 n=1

定理3 (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; 设两正项级数 满足 (1) 当 0    l 时, (2) 当 l = 0 (3) 当 l = 

例4判断级数 ∑sin 的敛散性。 n=1 n 例5判别级数2n1+2]的敛敢性. n=l Ind+

例4 判断级数 的敛散性。 1 1 sin n n  =  例5 判别级数    的敛散性.  = + 1 2 1 ln 1 n n ln(1 ) 2 1 n + ～ 2 1 n

定理4比值审敛法(D'alembert判别法) 设∑4n为正项级数，且1imn*1=p,则 n-→0ln (1)当p1或P=0时，级数发散； (3)当p=1时，级数可能收敛，也可能发散

定理4 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 设 为正项级数, 且 lim , 1 =  + → n n n u u 则 （1）当  1 （2）当  1 时, 级数收敛 ； 或  =  时, 级数发散 ； （3）当  =1 时，级数可能收敛，也可能发散

例6判断下列级数的敛散性 1、；2 n2.2 例7判断级数 的敛散性

例6 判断下列级数的敛散性 1、 1 ( ) 1 n n 1 !  = −  ； 2、 2 1 3 2 n n n n  =   。 例7 判断级数 ( ) 的敛散性。 1 1 n 2 2 1 n n  = + 

定理5根值审敛法(Cauchy判别法) 00 设∑4n为正项级数，且lim/un=p,则 n=l n->oo (1)当p1(或p=0)时， 级数发散； (3)当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。 例8判断级数 的收敛性

定理5 根值审敛法 (Cauchy判别法) 设 为正项级 lim =  , → n n n 数, 且 u 则 （1）当 时，级数收敛； （2）当 （或 ）时，级数发散； （3）当 时，级数可能收敛，也可能发散。  1  1  = +  =1 例8 判断级数 的收敛性。 1 2 1 n n n n  =       + 

本次课小结： 作业：EX9-2 1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2.利用正项级数审敛法 必要条件l1imu,=0 n>0 不满足发散 满足 比值审敛法 untl =p lim un 比较审敛法 n→oo P=1不定 部分和极限 根值审敛法lim/un=p 用它法判别 积分判别法 n-→o p1 收敛 发散

本次课小结： 作业：EX 9-2 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 lim 0 n n u → = 不满足 发 散 满足 比值审敛法 lim n→ un+1 un =  根值审敛法 =  → n n n lim u  1 收 敛 发 散  =1 不定 比较审敛法 用它法判别        积分判别法 部分和极限  1