华南农业大学：《高等数学》课程PPT教学课件（经济数学B上册）经济数学第25次授课提纲

上次内容复习： 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、第一类换元积分法

二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 上次内容复习： 四、第一类换元积分法

常用的几种凑微分的形式： ④jfa+bir=∫f(ar+b)dax+b (2)Jdx-")dx" 万能 g)jfed-j/ear 凑幂法 (4)∫f(sinxcosxd=∫f(sinx)dsinx (⑤)∫f(cosx)sinxx=-∫f(cosx)dcosx

常用的几种凑微分的形式: + =  (1) f (ax b)dx d(ax + b) a 1 =  − f x x x n n (2) ( ) d 1 n dx n 1 =  x x f x n d 1 (3) ( ) n dx n 1 n x 1 万 能 凑 幂 法 =  (4) f (sin x)cos xdx dsin x =  (5) f (cos x)sin xdx − dcos x

(6)∫(tan x)sec2xdr=∫f(tanx)dtanx (7)∫fe*)e*dr=∫fe*)de ⑧jfnx)'dx=jfna)dnx s求∫dk 解原式=2e3dx引e2d3d

=  (6) f (tan x)sec xdx 2 dtan x =  f e e x x x (7) ( ) d x de =  x x f x d 1 (8) (ln ) dln x 例8. 求 d . 3 x x e x  解: 原式 = e x x 2 d 3  d(3 ) 3 2 3 e x x  = e C x = + 3 3 2

例9求「sin3xcos2xdx 例10求∫cos2xdk 提示：偶次利用倍角公式降低幂次 例11求 sin3xcos5xdx 解：∫sin5xcos3xdx=)∫(sin8x+sin2x)dx -Jixd()+Jsin2xd 1 16 os8x-cos2x+C

例9 求 3 2 sin cos d x x x  . 例10 求 2 cos xdx  提示：偶次利用倍角公式降低幂次 sin 3 cos5 d x x x  1 sin 5 cos3 d (sin8 sin 2 )d 2 x x x x x x = +   1 1 1 sin8 d(8 ) sin 2 d(2 ) 2 8 2 1 1 cos8 cos 2 . 16 4 x x x x x x C   = +     = − − +   例11 求 解:

例12.求「sec xdx. 解法1 od dsinx -2ti dsinx [1+sin x -In|1-sinx]+C 1,1+sinx 2In1-sinx +C

  − +  +  x 1 sin x 1 1 sin 1 2 1  例12. 求 解法1  = x x x d cos cos 2  − = x x 2 1 sin dsin d sin x   = ln 1 sin x 2 1 = + − ln 1− sin x +C C x x + − + = 1 sin 1 sin ln 2 1

解法2 ∫secxx=∫ secx(secx+tanx) dx secx+tanx =∫Scf+secxtanx secx+tanx d(secx+tanx) secx+tanx =In secx+tanx +C 同样可证 csc xdx Incscx-cot x+C 或 ∫cd=lnam2+C

 + = sec x tan x 解法 2 sec x + tan x (sec x + tan x) x x x x x x d sec tan sec sec tan 2  + + = d(sec x + tan x) 同样可证  csc xdx = ln csc x − cot x +C 或 C x = + 2 ln tan

例13求∫tan3xsec3xdx 例14求「tanxdx. 例15设∫f(x)dx=arccosx+C,则 dc

例13 求 5 3 tan sec d x x x  例14 求 4 tan dx x  . xf x x x C ( )d arccos = +  1 d ( ) x f x =  例15 设 ，则 . 3 2 2 1 (1 ) 3 − + x C

1求[得9 f3(x) d x. 解赋=1四山 -得1a, f2(x) =得 c

例16. 求 解: 原式   =  ( ) ( ) f x f x x f x f x f x f x f x d ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2     −    =  x f x f x f x f x d ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2   −  C f x f x +      = 2 ( ) ( ) 2 1 ) ( ) ( ) d( f x f x    = ( ) ( ) f x f x

思考与练习 1.下列各题求积方法有何不同？ 4+x 20 山= (lds j422+ o2- d(x-2)

思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?  + x x 4 d (1)  + 2 4 d (2) x x x x x d 4 (3)  2 + x x x d 4 (4) 2 2  +  − 2 4 d (5) x x  − 2 4 d (6) x x x  + + = 2 2 2 1 4 d(4 ) x x x + x + − 2 1 2 1

二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 [f=f(uduu=(x) 难求 易求 若所求积分∫f(u)d难求， 「f[p(x】p'(x)dr易求， 则得第二类换元积分法

二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 f [(x)](x)dx  = f u u ( )d  u = (x) 若所求积分 f [(x)](x)dx  易求, 则得第二类换元积分法 . f u u ( )d 难求， 