武汉大学：《电磁场理论》第五章 时变电磁场

第五章时变电磁场 随时间变化的电磁场称为时变电磁场。时变电磁场 具有广泛的应用领域。如: 通信:利用电磁波进行信息的传输和通信 雷达:利用电磁波进行目标的探测和测距 遥感:利用传感器获取地物所辐射或反射电磁波 强度及其时一空分布,获取大气、陆地和 海洋环境信息 涉及:电磁波的辐射、波与物质的相互作用、电 磁波传输与传播、电磁波信号的接收、电 子系统、电磁波信号处理和信息的获取

1 随时间变化的电磁场称为时变电磁场。时变电磁场 具有广泛的应用领域。如： 通信：利用电磁波进行信息的传输和通信 雷达：利用电磁波进行目标的探测和测距 遥感：利用传感器获取地物所辐射或反射电磁波 强度及其时－空分布，获取大气、陆地和 海洋环境信息 涉及：电磁波的辐射、波与物质的相互作用、电 磁波传输与传播、电磁波信号的接收、电 子系统、电磁波信号处理和信息的获取 第五章 时变电磁场

第五章时变电磁场 主要内容 时变电磁场的波动方程 势函数与推迟势 时变电磁场的时谐展开 定态电磁场与平面电磁波 平面电磁波的极化概念

主要内容： 时变电磁场的波动方程 势函数与推迟势 时变电磁场的时谐展开 定态电磁场与平面电磁波 平面电磁波的极化概念 第五章 时变电磁场

51时变电磁场的势函数 1时变电磁场 随时间变化的电磁场称为时变电磁场。时变电磁 场比静态电磁场要复杂得多,主要表现在: 时变电磁场之间相互激励而具有的波动特性,波 动使时变电磁场的叠不仅要考虑矢量的方向,同 时还要考虑波相位对叠加的影响;电磁场的大小 和方向随时间而变化,将导致介质的极化和磁化 特性随时而变,使介质呈现色散特性等

3 5.1 时变电磁场的势函数 1 时变电磁场 随时间变化的电磁场称为时变电磁场。时变电磁 场比静态电磁场要复杂得多，主要表现在： 时变电磁场之间相互激励而具有的波动特性，波 动使时变电磁场的叠不仅要考虑矢量的方向，同 时还要考虑波相位对叠加的影响；电磁场的大小 和方向随时间而变化，将导致介质的极化和磁化 特性随时而变，使介质呈现色散特性等

2波动方程 ⅣvxE() aB(r, t) D(, t)=aE(r, t) aD(r,t B(r, 1)=uH(r, V×H(r,t)=J(r,t)+ at J(r, t=oE(r, t) 两边求旋度 aEr a(r, I VEer E t E 波动方程 两边求旋度 F()-on°b( V×J(r,t E

2 波动方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )           = +    = − t ,t ,t ,t t ,t ,t D r H r J r B r E r ( ) ( ) ( ) ( )   ( ) ( )    = = = t t t t t t , , , , , , J r E r B r H r D r E r    ( ) ( ) ( ) ( )       +    =    −      ,t t ,t t ,t ,t E r J r r E r 2 2 2 ( ) ( ) ( t) t t t , , , 2 2 2 J r H r H r = −    −  两边求旋度 两边求旋度 波动方程  1 v =

B(r)是一无散矢量场 3时变电磁场的势函数 静态电磁场可通过位 引入势函数 (势)函数满足的方程 4( 进行求解,并且可以 得到简化。时变电磁 B()=V×4(1 场能否引入势函数, 将上式代入电磁感应 通过势函数满足的方 定律,得到 程来求解,达到求解 aA(r,t 时变电磁场的目的。 Vx|E(,)+ at

5 3 时变电磁场的势函数 静态电磁场可通过位 （势）函数满足的方程 进行求解，并且可以 得到简化。时变电磁 场能否引入势函数， 通过势函数满足的方 程来求解，达到求解 时变电磁场的目的。 B(r,t) A(r,t) 是一无散矢量场 引入势函数 B(r,t) =  A(r,t) 将上式代入电磁感应 定律，得到 ( ) ( ) 0 , , =          + t t t A r E r

B+8是—无旋矢量场,可以引入标量 函数的梯度表示,即 E(r,) OA(r at vo(,E()=-Vy(r,) a4( t A和川分别为电磁场的磁矢势和电标势。 必须指出的是,尽管磁感应强度在形式上只与 磁矢势有关,不能据此认为磁感应强度由磁矢 势决定而与电标势无关。因为在时变情形下, 电磁场相互激发,而时变电场由磁矢势和电标 势共同描述,使得时变磁场本质上与磁矢势和 电标势都有联系

6 ( ) ( )         + t t t , , A r E r 是一无旋矢量场，可以引入标量 函数的梯度表示，即 ( ) ( ) ( t) t t t , , , r A r E r = −   + ( ) ( ) ( ) t t t t   = − − , , , A r E r  r A(r,t) 和 (r,t) 分别为电磁场的磁矢势和电标势。 必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与 磁矢势有关，不能据此认为磁感应强度由磁矢 势决定而与电标势无关。因为在时变情形下， 电磁场相互激发，而时变电场由磁矢势和电标 势共同描述，使得时变磁场本质上与磁矢势和 电标势都有联系

3势函数的规范 根据矢量场的 He i mho ltz定理,确定区域上 的矢量函数只有在该矢量函数的散度和旋 度及其边界条件是确定的才能唯一确定。 根据磁矢势引入的定义,由关系式 B(, t)=VaR,t 是不能唯一确定磁矢势rl。例如 E A A±△v φ B at

7 3 势函数的规范 根据矢量场的Helmholtz定理，确定区域上 的矢量函数只有在该矢量函数的散度和旋 度及其边界条件是确定的才能唯一确定。 根据磁矢势引入的定义，由关系式 是不能唯一确定磁矢势 A(r,t) 。例如： B(r,t) =  A(r,t)              =                           t  A A B A E

势函数的非唯一性源于其磁矢势散度的任 意性。因此,要使电磁场与势函数之间为 唯一对应关系,须给势函数以明确的约束 规定,称这种约束规定为势函数的规范。 Cou l omb规范: 对于磁矢势,辅以vAr1)=0 A小[EB v)=- E 势函数方程: a-A(rt r,1)-E (,t)+4、(Vp(r,)

8 势函数的非唯一性源于其磁矢势散度的任 意性。因此，要使电磁场与势函数之间为 唯一对应关系，须给势函数以明确的约束 规定，称这种约束规定为势函数的规范。  A(r,t) = 0 Coulomb规范 ： 对于磁矢势，辅以 势函数方程： A, E,B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))           = − +    −  = − ,t t ,t t ,t ,t ,t ,t J r r A r A r r r          2 2 2 2

Lorentz规范 对势函数4小辅以约束条件 VA(,t)+Eu ap(r, t) 0 得到势函数满足的方程为: V2A(r, t)-su A(r Alr, p(r, t)-sp 03y(,)1 o(r, 1) 这是一组标准的 D'Alembert方程。上式形 式上磁矢势仅与电流有关,电标势仅与电 荷分布有关,但它们通过 FLorentz规范联系 9

9 Lorentz规范 对势函数 辅以约束条件 得到势函数满足的方程为： 这是一组标准的D’Alembert方程 。上式形 式上磁矢势仅与电流有关， 电标势仅与电 荷分布有关，但它们通过Lorentz规范联系 A, ( ) ( ) 0 , , =    + t t t r A r    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        = −    − = −    − t t t t t t t t , , 1 , , , , 2 2 2 2 2 2 r r r J r A r A r         

4规范变换的不变性 每一种规范建立了势函数与时变电磁场之间的 对应关系。因此同一电磁场可以有多种规范条 件下的势函数与之对应,如: 规范 规范 由于电磁场的解是唯一的,不同规范下势函数能 够描述同一电磁场,这意味着不同规范下的势函 数之间必然存在某种联系,可以进行相互变换

10 4 规范变换的不变性 每一种规范建立了势函数与时变电磁场之间的一 一对应关系。因此同一电磁场可以有多种规范条 件下的势函数与之对应，如： 由于电磁场的解是唯一的，不同规范下势函数能 够描述同一电磁场，这意味着不同规范下的势函 数之间必然存在某种联系，可以进行相互变换。                         A B 规 A E 范 一 规 范 二