武汉大学：《电磁场理论》第三章 静态电磁场

第三章静态电磁场 主要内容: 静态电磁场的基本性质 静态电磁场的能量 静态电磁场的基本方程

主要内容： 静态电磁场的基本性质 静态电磁场的能量 静态电磁场的基本方程 第三章 静态电磁场

31静电场及其方程 1电位函数及其满足的方程 o(r) 对于静电场, Maxwe|方程变为 vxE()=0v.D()=p() 引入电位函数{(),满足的方程 ()=-2U( Poisson方程 如果园()=0 Poisson方程变为 Lap lace方程

3.1 静电场及其方程 1 电位函数及其满足的方程 对于静电场，Maxwell方程变为 引入电位函数 ，满足的方程 如果 Poisson方程变为 Laplace方程 E(r)= 0  D(r) = (r) (r) ( ) ( )    r  r = − 2 （Poisson方程） ε V (r) (r) = 0 S

2静电场的边界条件 Poisson方程或 Lap lace方程的求解,必需 知道位函数所在区域边界上的状态,即边 界条件。所谓边界条件即电场在介质交界 面两侧所满足的方程。可直接从静电场满 足的方程(积分)导出。 [.=D)口购=AF==面- D2-E)=一國)-4()小=0

2 静电场的边界条件 Poisson方程或Laplace方程的求解，必需 知道位函数所在区域边界上的状态，即边 界条件。所谓边界条件即电场在介质交界 面两侧所满足的方程。可直接从静电场满 足的方程（积分）导出。 ( ) s D2 − D1  n ˆ =  ( ) s s n n n ˆ           = −   −    −   = −  1 1 2 2 2 1 2 2 ( ) 0 n ˆ  E2 − E1 =  ( ) ( ) 0 2 − 1 = s  r  r

3导体的边界条件 E 没有外加电场 附加场 导体内存在大量可自 达到静电平衡状态 由移动的电子;宏观 上呈现电中性 导体内部电场为零

3 导体的边界条件 导体内存在大量可自 由移动的电子；宏观 上呈现电中性 E + + + + + 达到静电平衡状态 导体内部电场为零 附加场 没有外加电场

电场中的导体: 导体内部电场为零; 导体边界面上电场的切向分量为零; 导体为等势体; 电荷只分布在导体的表面 (常数) Q,(导体所带电荷量) p ds O 0,(导体不带电)

电场中的导体： 导体内部电场为零； 导体边界面上电场的切向分量为零； 导体为等势体； 电荷只分布在导体的表面     =   − = s n     （常数） 0 ( ) ( )       = S s Q s ， 导体不带电 ， 导体所带电荷量 0  d

4静电场的定解问题 均匀介质空间Q中的静电场为确定边界条件 下 Poisson方程的解,即 (r) 或以)=( on S an S :.:.:. 22 .a,t), (r)

4 静电场的定解问题 均匀介质空间Ω中的静电场为确定边界条件 下Poisson方程的解，即 ( ) ( ) ( ) ( )        = =         −          = − | S s S S S | n n r r r r 2 2 2 2  或         

例3-1】电偶极子是 P(z) 由相距一小距离L的两 个等值异号的点电荷所 组成的电荷体系,其方 向由负电荷指向正电 荷,大小为:P=qL。 求电偶极子在远处产生图33电隅极子 的电场。 o()=.911 4ta lCos 6 E(=-vp(=(e, 2P. cos0+ea P sin e) 4丌E。r4汇EF 4πcnr

【例3-1】电偶极子是 由相距一小距离L的两 个等值异号的点电荷所 组成的电荷体系，其方 向由负电荷指向正电 荷，大小为：P ＝qL。 求电偶极子在远处产生 的电场。 ( ) 3 0 2 4π 0 4π cos r r qL     P r r e   = ( )         = − 0 1 2 1 1 4π r r q   r ( ) ( ) (   )    2 cos sin 4π 1 3 0 r e Pe eˆ P eˆ r E r = − r = +

5静电场的能量和能量密度 根据能量守恒原理,静电场的能量等于产生 电荷静电场体在建立过程中,外力克服静电 力做功的总和。 图3-4电荷体系的电场能 第二个小电荷元自从无穷远处移 第一个小电荷元 到r2点时,外力克服电场力所作 自从无穷远处移 的功是 到点,外界克服 电场力做功为零 dn=知2E1:dL=p(知2

5 静电场的能量和能量密度 根据能量守恒原理，静电场的能量等于产生 电荷静电场体在建立过程中，外力克服静电 力做功的总和。 第一个小电荷元 自从无穷远处移 到点，外界克服 电场力做功为零 第二个小电荷元自从无穷远处移 到r2点时，外力克服电场力所作 的功是 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 d d d d 2 w  V  V  r = − r E  L = r  

W4=0+p(Ad2+p(J的3+(人 能否作为能 =im∑∑(r知d o(p(r)dv 量密度函数 n→0 利用关系式D=和E()=Vd 两者都可 w=2 o((lv=2 Jv. D(baja 作为静电 场能量计 算公式但 2D)E(知+GD)ds 意义不同 D)E(0F能量密度函数 静电场能量既可以通过电荷的分布计算,也可以通过 电场计算,但能量密度函数只能表示为电场的函数

( ) ( ) ( ) ( ) V ( ) ( ) V W V V V V n j j i i i i j n e d 2 1 lim d 0 d d d 1 1 1 2 2 1 2 3 3 1 3 3 3 2 3 r r r r r r             = = = + + + + = − = → 利用关系式  D =  和 E(r) = −(r) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V W V V V V S V V e d 2 1 d d 2 1 d 2 1 d 2 1 D r E r D r E r r D r S r r D r r      =  =  +  = =       静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过 电场计算，但能量密度函数只能表示为电场的函数。 能量密度函数 两者都可 作为静电 场能量计 算公式但 意义不同 能否作为能 量密度函数

将静电场能量公式应用到导体系,由于导体 的电位为常数,从而得到导体系的能量为 =40r=∑所=2∑观 导体系相对于同一参考点的电位 导体系的电荷量

将静电场能量公式应用到导体系，由于导体 的电位为常数，从而得到导体系的能量为 导体系相对于同一参考点的电位 导体系的电荷量 ( ) ( ) i i s i s V We V s q i =   =   =  2 1 d 2 1 d 2 1 r r