武汉大学：《电磁场理论》第四章 静态电磁场求解

第四章静态电磁场求解 主要内容: 静态的场唯一性定理 分离变量方法 Green函数方法 镜像原理

主要内容： 静态的场唯一性定理 分离变量方法 Green函数方法 镜像原理 第四章 静态电磁场求解

表 静态电磁场间题的比较 静电场 恒定电流的电场 静磁场(无源区) 介质的介电常数 介质电导率常数a 介质磁导率常数 V×E(r)=0 V×Ert=0 ·Hrl=0 v. 了·Hr1= 0 P V. Pir =-a·K V Mfir D()=eE() J(=GE() Biri=uhr E(r}=-V少r E(r)=-Vpir) Hr1=-v "r r 2r)=.k|v Ghr 内| a k an F1 an r2 an

4.1静态场的唯一性定理 1静态电磁场的方程 静电场由电荷激发,电荷是静电场的通量源。 恒定磁场由恒定电流激发,电流是静态磁场的 涡旋源。静态电磁场与时间无关,具有相同的 基本特性。 ①静态电磁场与时间无关,属于时不变场, 数学上满足同一类方程( Poisson方程) ()=-m() K为介质的电磁特性参数

4.1 静态场的唯一性定理 1 静态电磁场的方程 静电场由电荷激发，电荷是静电场的通量源。 恒定磁场由恒定电流激发，电流是静态磁场的 涡旋源。静态电磁场与时间无关，具有相同的 基本特性。 ① 静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 数学上满足同一类方程（Poisson方程） ( ) ( )    r  r = − 2 κ为介质的电磁特性参数

②静态电磁场(恒定电流磁场源区)具有 无旋特性,可以用标量函数(称为位函 数或势函数)的梯度来表示,即 F()=-Vd) ③在介质的分界面上,位函数满足 o(儿=(儿 aO an 2 an Is

② 静态电磁场（恒定电流磁场源区）具有 无旋特性，可以用标量函数（称为位函 数或势函数）的梯度来表示，即 ③ 在介质的分界面上，位函数满足 F(r) = −(r) ( ) ( )      =         −         = s S S S S n n | |        1 2 1 2 r r

静态电磁场的定解问题为 O儿 an边界 B(r) pr

静态电磁场的定解问题为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )       =  = − M n | M |        ，或 ＝ 边界 边界 r r r r 2 (r) (r) n

2唯一性定理 设在区域内源已知,在区域的边界S上: wl=以0或m1=)已知(M为边界上 的变点)。则在区域V内存在唯一的解, 它在该区域内满足 Poisson方程;在区域 的边界上满给定的边界条件。称为静态电 磁场的唯一性定理

2 唯一性定理 设在区域V内源已知，在区域的边界S上： 或 已知（M为边界上 的变点）。则在区域V内存在唯一的解， 它在该区域内满足Poisson方程；在区域 的边界上满给定的边界条件。称为静态电 磁场的唯一性定理。 ( )| =(M ) 边界 r ( ) (M ) n   =   | 边界 r

设 两个同心导体球壳之 E()=A5 E 间充满两种介质。内 导体带电,电荷量为0, 外导体球壳接地。 E=E It 2t D1n=1)2n Ds=』jE1ds+j.ds=Q=A= 2r(1+2)

( ) 1 1 3 r A r E r = ( ) 2 2 3 r A r E r = E 1 t = E 2 t D 1 n = D 2 n ( ) 1 2 1 1 2 2 2π d d d 1 2     +  =  +  =  =    Q Q A S S S D S E S E S 设 两个同心导体球壳之 间充满两种介质。内 导体带电，电荷量为 Q， 外导体球壳接地

4.2分离变量方法 分离变量方法又称为 Four ier级数方法。其实 质是通过变量分离将原来的偏微分方程变为 含有待定参数的常微(本征值)方程,求解 本征值方程得到本征值和本征函数。利用本 征函数的完备性展开表示待求函数;把求待 求函数的问题转化为求展开系数。通过边界 条件等确定展开的系数,从而求出问题的解

分离变量方法又称为Fourier级数方法。其实 质是通过变量分离将原来的偏微分方程变为 含有待定参数的常微（本征值）方程，求解 本征值方程得到本征值和本征函数。利用本 征函数的完备性展开表示待求函数；把求待 求函数的问题转化为求展开系数。通过边界 条件等确定展开的系数，从而求出问题的解 4.2 分离变量方法

【例41】长方形盒的长为A宽为B、高为G,上盖 电位为,其余接地,求盒内的电位分布 V2(r)=0 C (O,y,=)=0,y(A,y,=)=0 少(x,0,=)=0,y(x,B,=)=0 少(x,y,O)=0,0(x,y,C)= d)=x(x)()z() B d2x 1 dy 1 d2Z A x d y dy2 z dz2 (A,y,=)=0.,y,z)=0→X(A)=X(0)=0 (x,B,=)=y(x0,)=0→Y(B)=Y(0)=0 (x,y.0)=0→z(0)=0

C A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( )       = = = = = =  = 0 2 , ,0 0, , , ,0, 0, , , 0 0, , 0, , , 0 0         x y x y C x z x B z y z A y z r 【例4-1】长方形盒的长为A、宽为B、高为C，上盖 电位为 ，其余接地，求盒内的电位分布。  0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( )         =  = = =  = = = =  = = + + = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d 1 d d 1 d d 1 d 2 2 2 2 2 2 x, y, Z x,B,z x, ,z Y B Y A, y,z , y,z X A X z Z y Z Y x Y X X      (r) = X(x)Y(y)Z(z)  0

d-X day k r(x) d-z d d d=2=-p2z(= x()=x(4)=0y(0)=y(8)=0(z(0)=0 X(x)=A x,k nt ,(m=1,2,3 A ()=A,si (m=12,3 B k2+12+p2=0 Z(E=Ch sinhvk2+12z 16 p(x,y,2)=2Cm sin "m xsin m ysih n+ m ne mmtsinh n,m-=1 B

( )   ( ) ( )    = = = − 0 0 d d 2 2 2 X X A k X x x X ( )   ( ) ( )    = = = − 0 0 d d 2 2 2 Y Y B l Y x y Y ( )   ( )    = = − 0 0 d d 2 2 2 Z p Z z z Z 0 2 2 2 k +l + p = ( ) ( )  ( ) ( )     = = =  = = =  , m , , , A m y , l B m Y y A , n , , , A n x , k A n X x A 1 2 3 π π sin 1 2 3 π π sin 2 1 Z(z) C k l z kl 2 2 = sinh + ( )                +      =   = z B m A n y B m x A n x, y,z C n,m n m sinh π π sin π sin 2 2 1                 +      = C B m A n mn Cmm π sinh π 16 2 2 2 0