上海交通大学：《统计原理 Principal of statistics》课程教学资源_正交试验设计

§6.3正交试验设计 在工农业生产、国防建设、科学研 究中经常要做许多试验，每次试验都 要化一定的费用，有的试验的代价很 大.假如只做少量的试验，就能得出满 意的结果，那么可以省时、省力、省费 用如何合理、有效的按排试验以收集 数据是数理统计的分支之一试验设计 的研究内容，试验设计的方法有不少， 正交试验设计是其中实用价值大、应 用广的方法，下面介绍这一方法。 1.正交表 正交表是正交试验设计的工具， 表1和表2列出了两张常用的正交表

§6.3 正交试验设计 在工农业生产、国防建设、科学研 究中经常要做许多试验,每次试验都 要化一定的费用,有的试验的代价很 大.假如只做少量的试验,就能得出满 意的结果,那么可以省时、省力、省费 用.如何合理、有效的按排试验以收集 数据是数理统计的分支之—试验设计 的研究内容,试验设计的方法有不少， 正交试验设计是其中实用价值大、应 用广的方法,下面介绍这一方法。 1. 正交表 正交表是正交试验设计的工具, 表 1 和表 2 列出了两张常用的正交表

g2)和，(3) 表1〔2) 列号 1234 5 6 7 试验 序号 1 1 1 1 1 1 1 23 1 1 1 2 4 11 2 2 1 22 21 2 2 2 221 1 2 1 1 6 1 2 221 7 2222 2 1 21 22 211 8 1 2 1 21 2 表2 4g(34

      7 2 8L 和       4 3 9L 表 1       7 2 8L 列 号 试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 表 2       4 3 9L

列号 2 3 4 试验序号 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 8 3 2 1 23 9 3 3 2 1 记号()的含义如下： L一正交表 n一表中行数，即试验次数 1一表中不同数字个数，也是每个因

列号 试验序号 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 记号       k l n L 的含义如下: L—正交表 n—表中行数,即试验次数 l—表中不同数字个数,也是每个因

素取的水平数 k一表中列数，至多可按排的因素个 数 由此可知g34)表有9行4列，需要 做9次试验，至多可以按排4个因素而 每个因素取3个水平。类似地g(2)表 有8行7列，需要做8次试验，至多可 以按排7个因素而每个因素取2个水 平。 考虑4因素3水平的试验.每个因 素取1个水平搭配起来可以做一次试 验，所有可能的搭配数就是总试验次 数，4因素3水平的总试验次数是 34=81次，利用g34表只要按排9次试 验就行，试验次数大大减少.同样7因

素取的水平数 k—表中列数,至多可按排的因素个 数 由此可知       4 3 9L 表有 9 行 4 列,需要 做9次试验,至多可以按排4个因素而 每个因素取 3 个水平。类似地       7 2 8L 表 有 8 行 7 列,需要做 8 次试验,至多可 以按排 7 个因素而每个因素取 2 个水 平。 考虑 4 因素 3 水平的试验.每个因 素取 1 个水平搭配起来可以做一次试 验,所有可能的搭配数就是总试验次 数, 4 因素 3 水平的总试验次数是 4 3 =81次,利用       4 3 9L 表只要按排9次试 验就行,试验次数大大减少.同样 7 因

素2水平的总试验次数是27=128次， 利用2)表只要按排8次试验就行， 1 仅是总试验次数的6，可见应用正交 表的效益是显著的。 正交表成效显著的主要原因是它 的结构，选做的试验的代表性好。 正交表具有下列两个特点： (1)每列中不同水平出现的次数相 等，如2表中1水平，2水平在 每列中各出现4次。，34)表中 1水平，2水平，3水平在每列中各 出现3次。 (2)任意一行的2个水平按原有顺序 可以组成一个数字对，每种数字

素 2 水平的总试验次数是 7 2 =128 次, 利用       7 2 8L 表只要按排 8 次试验就行, 仅是总试验次数的 16 1 ,可见应用正交 表的效益是显著的。 正交表成效显著的主要原因是它 的结构,选做的试验的代表性好。 正交表具有下列两个特点: (1)每列中不同水平出现的次数相 等,如       7 2 8L 表中 1 水平,2 水平在 每列中各出现 4 次。       4 3 9L 表中 1水平,2水平,3水平在每列中各 出现 3 次。 (2) 任意一行的 2 个水平按原有顺序 可以组成一个数字对,每种数字

对在表中出现的次数相等。如 2)表中不同的数字对共有4 种： (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),它 们在表中任意两列各出现2次。 如非g34表中不同的数字对共 有9种 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (2,3),(3,1),(3,2),(3,3),它们在 表中任意两列各出现1次。 正交表的这两个特点表明：正交 表具有搭配均衡，分布整齐的性质， 从而保证了选做的试验的代表性 好。 凡满足上述两个特点的搭配方

对在表中出现的次数相等。 如       7 2 8L 表中不同的数字对共有 4 种 : (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),它 们在表中任意两列各出现 2 次。 如非       4 3 9L 表中不同的数字对共 有 9 种 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (2,3),(3,1),(3,2),(3,3), 它们在 表中任意两列各出现 1 次。 正交表的这两个特点表明:正交 表具有搭配均衡,分布整齐的性质, 从而保证了选做的试验的代表性 好。 凡满足上述两个特点的搭配方

案称为“正交表”，关于正交表的构 造原理，要用到较深的抽象代数知 识，在这里不作介绍了。 2不考虑交互作用的正交试验设计 所谓正交试验设计就是应用正 交表按排试验方案。先讨论不考虑 交互作用的正交试验设计。 一.应用正交表按排试验 例：钢材热处理问题.为了考察淬火 温度（用A表示），回火温度（用B表示）， 回火时间（用C表示），对钢材强度的 影响.根据经验A,B,C各取3种水平， 列表如下：

案称为“正交表” ,关于正交表的构 造原理,要用到较深的抽象代数知 识,在这里不作介绍了。 2 不考虑交互作用的正交试验设计 所谓正交试验设计就是应用正 交表按排试验方案。先讨论不考虑 交互作用的正交试验设计。 一. 应用正交表按排试验 例:钢材热处理问题.为了考察淬火 温度(用 A 表示),回火温度(用 B 表示), 回火时间(用 C 表示), 对钢材强度的 影响.根据经验 A,B,C 各取 3 种水平, 列表如下:

因子 水平 淬火温度A 回火温度B 回火时间C 1 840℃ 410℃ 40分钟 2 850℃ 430℃ 60分钟 3 860℃ 450℃ 80分钟 假如不考虑A,B,C的交互作用，试 问A,B,C对钢材强度有无显著影响？ 第一步要选一张合适的正交表 由于此例是一个三水平试验，应该从 三水平表g34),27(33),…中选一张。 g34)有四列至多可以按排4个因素， 而本例只有3个因素可以使用，而该 表按排的试验数又少，因此选，(34)较 合适。 第二步要进行表头设计。在表中可 以任选3列（在4列中选3列）把因素

假如不考虑 A,B,C 的交互作用,试 问 A,B,C 对钢材强度有无显著影响? 第一步要选一张合适的正交表. 由于此例是一个三水平试验,应该从 三水平表       4 3 9L ,       13 3 27 L ,…中选一张。       4 3 9L 有四列至多可以按排 4 个因素, 而本例只有 3 个因素可以使用,而该 表按排的试验数又少,因此选       4 3 9L 较 合适。 第二步要进行表头设计。在表中可 以任选 3 列(在 4 列中选 3 列)把因素 因子 水平 淬火温度 A 回火温度 B 回火时间 C 1 2 3 840 ℃ 410 ℃ 40 分钟 850 ℃ 430 ℃ 60 分钟 860 ℃ 450 ℃ 80 分钟

A,B,C随机地填在列的上方.表头设计 就完成了。下表给出了一种表头设计. 列号 A B C 2 3 4 试验序号 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 3 3 4 2 1 2 233 5 2 2 3 1 6 2 3 1 7 3 1 3 22 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 第3步.严格按表中指定条件做 完各次试验，并将试验数据填入表格 右端。 如第5号试验为A2,B3,C1,即因素 A取2水平850℃，因素B取3水平 450℃，因素C取1水平40分钟

A,B,C随机地填在列的上方.表头设计 就完成了。下表给出了一种表头设计. 列号 试验序号 A B C 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 第 3 步.严格按表中指定条件做 完各次试验,并将试验数据填入表格 右端。 如第 5 号试验为 A2,B3,C1,即因素 A 取 2 水平 850℃, 因素 B 取 3 水平 450℃, 因素 C 取 1 水平 40 分钟

为便于统计分析再把同一列同水 平的几个试验结果相加，其和放在此 例的下方.用Ij,IIj,IⅢ山j分别表示第j 列1水平，2水平3水平对应的试验数 据的和.计算极差Rj=max{Ij,IIj,山j} min{Ij,IIj,西j}放在该列的最下方. 本例完成这一步工作得到如下表：

为便于统计分析再把同一列同水 平的几个试验结果相加,其和放在此 例的下方.用Ⅰj,Ⅱj,Ⅲj 分别表示第 j 列 1 水平,2 水平,3 水平对应的试验数 据的和.计算极差 Rj=max｛Ⅰj,Ⅱj,Ⅲj｝ -min｛Ⅰj,Ⅱj,Ⅲj｝放在该列的最下方. 本例完成这一步工作得到如下表: