《数学物理方法》课程教学资源（教案讲义）第六章常微分方程复习.pdf_大学文库

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内容简介

1、定义联系自变量和未知函数及其导数的等式。 2、分类按自变量的个数,分为常微分方程和偏微分方程; 按未知函数及其导数的次数,分为线性微分方程和非线性微分方程;

第六章:常微分方程(复习) 一、微分方程的一般概念例子 y+tany=3x2+5 2y+3y>sinx-2 u,-4ug=5x y"+2y=0 (3)+4y'=5cosx 3x2y"+xy'+2y=x2 1、定义联系自变量和未知函数及其导数的等式。 2、分类按自变量的个数,分为常微分方程和偏微分方程; 按未知函数及其导数的次数,分为线性微分方程和非线性微分方程; 按方程中未知函数导数的最高阶数,分为一阶、二阶和高阶微分方程。二、线性常微分方程 1、一般形式 aoy(n)+a1y (n-1)++a n-1y'+any=f(x) 其中未知函数的系数可以是常数,也可以是x的函数。 2、分类按自由项f(x)是否为零,分为齐次和非齐次。 3、叠加原理齐次方程任意两个解的线性组合也是解; 非齐次方程的任一个解和对应的齐次方程的解之和也是解

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三、一阶线性常微分方程 1、一般形式 ao y+aly= F(x)o y+ py=f(x) 2、齐次方程的通解 Y(x)=Cexp[-∫pdX] 3、非齐次方程的特解 y(×)=C(×)exp[-∫pdx] 其中C(x)=∫[f(x)exp(∫pdx)]dx 4、非齐次方程的通解 )=y(x)+ yp(x) 例题非齐次方程:y-2xy=4x3 对应的齐次方程:y-2xy=0 齐次通解:y=Cexp(x2) 非齐次特解的形式:yn=C(x)exp(x2) 代入非齐次方程:C(x)exp(x2)=4x 得到:C(x)=」4xexp-x)dk=-2(x2+)exp(-x) 非齐次特解:y=-2(x2+1) 非齐次通解:y=yn+y=-2(x2+1)+Cexp(x2) 四、二阶线性常系数微分方程 1、二阶线性常系数微分方程的一般形式为 aoy"+aly'+a2y= F(x)oy+ py'+qy= f(x) 特征方程:r2+pr+q=0 2、齐次方程的通解特征根:r1和r2 通解 r1≠r2时y(x)=Aexp(r1x)+Bexp(r2X r1 时y(×)=Aexp(rx)+ B x exp(r×) 例题

4 % 5 & 5 # 5 5 % 67 '()*+, - 4 897 % 89:7 ; > 6

微分方程:y+o2y=0 特征方程:r2+c2=0 通解:y=Aexp(iox)+Bexp(-iox) C cos(ox)+Dsin(ox) 微分方程特征方程:r2-2=0 通解:y=Aexp(ox)+Bexp(-ox) C cosh(ox)+ Sinh(ox) 3、非齐次方程的特解时y(×)=A(x)exp(r1x)+B(x)exp(r2×) H y(x)=A(xexp(r x)+b() exp( r x) 五、二阶线性变系数微分方程最常见的二阶线性变系数微分方程有欧拉方程等欧拉方程的一般形式为 y”+pXy+qy=f(×) 特征方程:s(S-1)+pS+q=0 齐次方程的通解特征根:s1和通解 s1≠s2时y(x)=Axs1+B s1=s2 H5 y(x)=AX+b Inx x 例题微分方程:r2R"+2rR-l(1+1)R=0 特征方程:s(s-1)+2+l(l+1)=0 化简:s(s+1)+l(l+1)=0 特征根:s=l, 通解:R=Ar

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《数学物理方法》课程教学资源（教案讲义）第六章 常微分方程复习

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