《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第十二章 格林函数法

数学物理方法 格林函数法

数学物理方法 格林函数法

格林函数法 ■格林函数的一般概念 ■稳定问题的基本解 ■稳定问题的格林函数 ■演化问题的基本解 演化问题的格林函数 本章小结

格林函数法 ◼ 格林函数的一般概念 ◼ 稳定问题的基本解 ◼ 稳定问题的格林函数 ◼ 演化问题的基本解 ◼ 演化问题的格林函数 ◼ 本章小结

格林函数的一般概念 ■概念 ■定义:纯点源产生的场 (不计初始条件和边界条件的影响)。 ■例子 △G=8(r-r),G|r=0 (t-a2△)G=6(r-r)(t-t),G|r=G|t=0=0 般形式 LG(X)=6(X-×1) G|边界=G|初始=0

格林函数的一般概念 ◼ 概念 ◼ 定义：纯点源产生的场 • （不计初始条件和边界条件的影响）。 ◼ 例子： • ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0 ◼ 一般形式 • L G(xi) = δ(xi-xi ’) • G|边界= G|初始=0

格林函数的一般概念 分类: 按泛定方程可以分为: 稳定问题的格林函数L=△ 热传导问题的格林函数L=(Ot-a2△) 波动问题的格林函数L=(ot-a2△) 按边界条件可以分为 无界空间的格林函数,又称为基本解; 齐次边界条件的格林函数

格林函数的一般概念 ◼ 分类： ◼ 按泛定方程可以分为： • 稳定问题的格林函数 L = Δ • 热传导问题的格林函数 L = (t – a 2Δ) • 波动问题的格林函数 L = (tt – a 2Δ) ◼ 按边界条件可以分为 • 无界空间的格林函数，又称为基本解； • 齐次边界条件的格林函数

格林函数的一般概念 稳定问题输运问题 波动问题 格林函数 △G (at-a2△)G(at-a2△)G 8(r-r) 6(r-)(tt)|=(-)(tt) G t=0=0 G|t=0=0 tIt=o 0 无界空间泊松方程的热传导方程的波动方程的基 基本解 基本解 本解 齐次边界泊松方程的热传导方程的波动方程的格 G|=0格林函数格林函数林函数

格林函数的一般概念 格林函数 稳定问题 ΔG = δ(r-r’) 输运问题 (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0 波动问题 (tt – a2Δ) G =δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0 Gt|t=0=0 无界空间 泊松方程的 基本解 热传导方程的 基本解 波动方程的基 本解 齐次边界 G|Γ= 0 泊松方程的 格林函数 热传导方程的 格林函数 波动方程的格 林函数

格林函数的一般概念 ■性质 ■设数学物理方程为Lu(x)=f(X) ■而格林函数方程为LG(x)=6(X-×3) 在相同的齐次定解条件下 因为:f(x)=∫f(x)8(×-×)dx 所以:u(X)=∫f(x)G(x-x)dx ■应用(求解数学物理方程的格林函数法) ■范围:非齐次泛定方程、齐次定解条件 ■程序:先求出对应的格林函数,再积分得待求函数

格林函数的一般概念 ◼ 性质： ◼ 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) ◼ 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) ◼ 在相同的齐次定解条件下 ◼ 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ ◼ 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’ ◼ 应用（求解数学物理方程的格林函数法） ◼ 范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件 ◼ 程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数

稳定问题的基本解 稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到 原问题点源问题点电荷电场 方程 △= Au=f() AG=S(-F') -q6(7-r)/60 解2 f(r)dr G 4x|r- 4 r-r 41olr-r'l

稳定问题的基本解 原问题 点源问题 点电荷电场 方程 解 u f (r)   = G (r r')    =  − 0 q (r r')/ V   − −  = 4 | '| 0 r r q V   − = 4 | '|  1 r r G   − − =   − − = 4 | '| ( ') ' r r f r d u      稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到

稳定问题的格林函数 ■基本思路 原问题 △a=f(r) 0 点源问题 △G=δ(r-r IGI2=0 关系()=057 )=fG7)G(77)d

稳定问题的格林函数 原问题    =  = |  0 ( ) u u f r  点源问题    =  = − |  0 ( ') G G r r    关系   = = − ( ) ( ') ( , ') ' ( ) ( ') ( ') '    u r f r G r r d f r f r r r d         ◼ 基本思路

稳定问题的格林函数 ■求解方法 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到 点源问题可以看成接地的导体边界内在r处有 个电量为-E0的点电荷 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同 生 在一些情况下,导体中所有感应电荷的作用可以用 个设想的等效电荷来代替,该等效电荷称为点电 荷的电像 这种方法称为电像法

稳定问题的格林函数 ◼ 求解方法 • 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。 • 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’ 处有一 个电量为 - ε0 的点电荷。 • 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同 产生。 • 在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用 一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷称为点电 荷的电像。 • 这种方法称为电像法

稳定问题的格林函数 ■例题 在半空间内求解稳定问题的格林函数 解:根据题目,定解问题为 △G=d(x-x)(y-y3)6(二-21)2z>0 0 这相当于在接地导体平面上方点M(x2,y2z)处放 置一个电量为-so的点电荷,求电势。 设想在M的对称点N(xy2,-z)处放置一个电量为 +Eo的点电荷,容易看出在平面z=0上电势为零, 这表明在N点的点电荷就是电像

稳定问题的格林函数 ◼ 例题 在半空间内求解稳定问题的格林函数    =  = − − −  | = 0 ( ') ( ') ( '), 0 G z 0 G  x x  y y  z z z 解：根据题目，定解问题为 这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放 置一个电量为 - 0 的点电荷，求电势。 设想在M的对称点 N (x’,y’ ,-z’)处放置一个电量为 + ε0 的点电荷，容易看出在平面 z=0上电势为零， 这表明在N点的点电荷就是电像