《数学物理方法》课程教学资源（教案讲义）第四章留数定理

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内容简介

1.掌握留数定理,了解留数的计算方法; 2.应用留数定理计算实变函数的定积分。

第四章留数定理(3) 基本要求: 1.掌握留数定理,了解留数的计算方法; 2.应用留数定理计算实变函数的定积分。教学内容: §4.1.留数定理。留数定理概念,计算留数的一般方法,判断极点的阶,极点留数的计算方法,例13。 §4.2.应用留数定理计算实变函数的定积分。类型一,类型二。本章重点: 留数定理及其计算方法。习题: §4.1.(第71页):1(1)(3)(5)(7)(9),2(1)(2)(3),3 §4.2.(第8182页)1(1)(2)(5)(),2(3)(4)(6),3(2) (4)(6)(8) 24

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、留数定理 1、留数引入问题:如何高效地计算解析函数的围道积分? 方法:由复连通域柯西定理,解析函数的围道积分等于沿围道内奇点邻域积分之和。 2、定性定义复函数f(z)在z=z0的邻域围道积分的结果当z0为f(z)的解析点时,结果为零,什么都没留下; 当z0为f(z)的孤立奇点时,结果通常为一个非零值 3、定量定义 ResJ(-0)-2mi1=-==g 4、留数的计算般情况孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数; Res f(b)=a-1 证明 f(=) Res f(b) f(=i: 2Ti J=-bl= ∑m-an5(=-b 极点情况 m阶极点的留数由下面的公式确定 Resf(b)=lim_Idm-l [(二-b)mf(二) →+b(m-1)!d 证明

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f(-)=am(-b)m+am+(2-b)m+…+a1(-b)+a0+a1(-b)+ (z-b)f(x)=an+anm(x-b)+…+a1(2-b)m+an(x-b)+a1(-b)m+ dm(25()=0+(m-aM((m+ a1(=-b) 单极点情况单极点的留数由下面的公式确定 es∫(b)=lim[(-b)f(=) 如果f(z)为分式,即f(z)=P(2)/Q(z),P(b)≠0,则有 Res f(b)=lim( -b)P(=) (二-b)P(=)P(b) =im :+b 0() 0(6) 例1 问题:计算函数f(z)=z2exp(1/z)的留数。解:f(z)有一个孤立奇点z=0,是本性奇点,在该点罗朗展开 Res f(o)=a-I=3 例2 问题:计算函数f(z)=sin(z)(z-)2的留数解:f(z)有一个孤立奇点z=1,是2阶极点,应用公式 ln,1d3[(-1)f() Res f(=lim 1! dz 例3 问题:计算函数f(z)=exp(z)/[z(2-1)]的留数。解:f(z)有两个孤立奇点z=0,1,都是1阶极点,应用公式 esf(1)=lim(二-1)f(=) limexp(a)/==e Res f(o)=lim:f(=) exp(=)/(-1) 又解:也可以用单极点的简化公式 Res f(b)=P() p(b) Q(=)2b-1

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5、留数定理定理设函数f(z)在回路L所围区域B内除有限个孤立奇点b b2,…,bn外解析,在对应的闭区域上除b1,b2,,bn外连续,则 /cx=2n∑ Res f(b) 应用步骤确定回路L内的孤立奇点; 判断留数定理的条件是否满足; 计算各孤立奇点的留数代入定理。、留数定理的应用 1、基本应用例题1:计算下列回路积分= d 解:奇点为 2i±√4+4g2 1千√1-g2 =+k1,|二-卜1 Resf(x,)=262.+22( =2 i Res(2)=2n/-/ 2.实变函数的定积分 2.1基本思想变形法:变线段为封闭曲线; 辅助线法:加辅助线使线段封闭。 2.2类型被积函数是三角函数的有理式 R(coS x, sin x )dx

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二=e→c0sx=(+2),sinx=(---) -= 2 例题2:计算下列定积分 dx,Ek1 1+ssin 解:作变量变换 dz e→I 1+8(=-=-)/2i iz 2dc 2iz+E(2-1) 2.3类型二被积函数是有理分式的广义积分=f(x) 其中分母在实轴上没有零点; 分母比分子高两次或以上。则证明: 例题3:计算下列定积分= d x (1+x2)(4+x2 解:被积函数是有理式,分母比分子高4次,在实轴无零点, 满足定理的条件上半平面内有单极点z=i和z=2i,对应的留数分别为: 1/(1+ Res(o 12 6 2.4类型二的推广I

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被积函数是有理分式的广义积分/=fxk 其中: 分母在实轴上有一阶零点分母比分子高两次或以上。则 =2i f()+∑Ref(z) 例题4:计算下列定积分l= dx (4+x2)(x-1 解:被积函数是有理式,分母比分子高3次,在实轴有一阶零点, 满足定理的推广条件。上半平面有单极点z=2i,实轴有单极点z=1,对应留数 Res(2i) (2i+1) 4(2i-1 201 Res(1) 1/(4+ =2ri( +×) 2.5类型二的推广II 被积函数是广义积分=fx)lmr,m>0 其中:fx)为有理式分母在实轴上没有零点分母比分子高一次或以上则 =2xz∑0Resf(=,)em 证明例题5:计算下列定积分|= cos mx dx x2+25 解:上面的积分可以化为标准形式 cos mx dx 被积函数满足定理的条件,上半平面内有单极点z=5i,对应的留数为

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Resf(5i) 10i 2.6类型二的推广II 被积函数是广义积分1=。f(x)-k,m>0 其中:f(x)为有理式分母在实轴上有一阶零点; 分母比分子高一次或以上 =2zi{} 例题6:计算下列定积分/=.2 本章小结概念留数:回路积分留下的数薮; 计算单极点般极点般孤立奇点应用直接应用计算回路积分; 间接应用计算三角有理式的积分计算有理式的广义积分及其推广

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