《统计学》课程教学资源（阅读案例）案例15 相关回归分析

案例六 家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项 目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也 有较大比例的提高，这给银行业务的发展带来较大压力。为了弄清楚不良贷款形成的原因 希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。2005年该银 行所属的25家分行的有关业务数据如下表所示。 其商业银行2005年的主要业务数据表 分行 不良贷款 各项贷款余 本年累计应收 贷款项目 本年固定资产投 编号 (亿元)y 额（亿元）x 贷款（亿元）？ 个数（个）x3 资额（亿元）x: 12 706 77 6 547 14 114.6 207 17 938 176.3 18 76.6 4 3.5 83.9 8.1 11 18.5 5 82 2028 175 20 663 2.9 19.5 3.4 4.9 1.9 110.7 11.7 23.6 12.7 188.9 27.9 18 46.9 13 996 26 11 56.1 10 29 761 101 16 67.6 0.6 67.8 31 12 12 4.3 135.6 12.1 25 79.8 13 11 677 69 16 259 38 177.9 136 27 1201 15 10.5 266.6 16.5 149.9 16 3.3 82.6 9.8 16 32.7 17 05 179 15 4 456 18 07 76.7 68 13 28.6 27.8 59 6 168 20 7.1 143.1 8.1 29 67.8 21 119 3716 177 34 1672 99.2 4.7 47.8 23 112.9 11.2 16 70 24 7.5 199.8 16.7 18 43.1 25 3.6 105.7 12.9 12 100.2 讨论题 ()分别绘制不良贷款与贷款余额、应收贷款、贷款项目数、固定资产投资额之间的散 点图，并分析其关系。若有关系，它们之间是一种什么样的关系？关系强度如何？ (2)建立不良贷款与贷款余额、累计应收贷款、贷款项目数、固定资产投资额等因素的 多元线性回归方程，并解释各回归系数的实际意义。 (3)在不良贷款的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是多少？ (4)根据建立的回归方程，对回归方程线性关系的显著性及各回归系数的显著性进行检 PDF created with pdfFactory Pro trial version ww.pdffactory.com

案例六 一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项 目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也 有较大比例的提高，这给银行业务的发展带来较大压力。为了弄清楚不良贷款形成的原因， 希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。2005 年该银 行所属的 25 家分行的有关业务数据如下表所示。 某商业银行 2005 年的主要业务数据表 分行 编号 不良贷款 (亿元) y 各项贷款余 额(亿元) x1 本年累计应收 贷款(亿元) x2 贷款项目 个数(个)x3 本年固定资产投 资额(亿元) x4 1 1.2 70.6 7.7 6 54.7 2 1.4 114.6 20.7 17 93.8 3 5.1 176.3 8.6 18 76.6 4 3.5 83.9 8.1 11 18.5 5 8.2 202.8 17.5 20 66.3 6 2.9 19.5 3.4 2 4.9 7 1.9 110.7 11.7 17 23.6 8 12.7 188.9 27.9 18 46.9 9 1.3 99.6 2.6 11 56.1 10 2.9 76.1 10.1 16 67.6 11 0.6 67.8 3.1 12 45.9 12 4.3 135.6 12.1 25 79.8 13 1.1 67.7 6.9 16 25.9 14 3.8 177.9 13.6 27 120.1 15 10.5 266.6 16.5 35 149.9 16 3.3 82.6 9.8 16 32.7 17 0.5 17.9 1.5 4 45.6 18 0.7 76.7 6.8 13 28.6 19 1.3 27.8 5.9 6 16.8 20 7.1 143.1 8.1 29 67.8 21 11.9 371.6 17.7 34 167.2 22 1.9 99.2 4.7 12 47.8 23 1.5 112.9 11.2 16 70.2 24 7.5 199.8 16.7 18 43.1 25 3.6 105.7 12.9 12 100.2 讨论题： (1) 分别绘制不良贷款与贷款余额、应收贷款、贷款项目数、固定资产投资额之间的散 点图，并分析其关系。若有关系，它们之间是一种什么样的关系？关系强度如何？ (2) 建立不良贷款与贷款余额、累计应收贷款、贷款项目数、固定资产投资额等因素的 多元线性回归方程，并解释各回归系数的实际意义。 （3）在不良贷款的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是多少？ （4）根据建立的回归方程，对回归方程线性关系的显著性及各回归系数的显著性进行检 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

验(=0.05)。 (5)当回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关时，我们就说存在多重共线性。在 回归分析中存在多重共线性将会产生某些问题，如可能会给回归的结果造成混乱，甚至会把 分析引入歧途：可能对参数估计值的正负号产生影响，特别是B的正负号有可能同我们预 期的正负号相反。试分析建立的回归方程是否存在多重共线性，你认为哪些因素应该从模型 中别除。 (⑥)若贷款余额x=100、累计应收贷款x=10、贷款项目个数x,=15和固定资产投资都 x,=60,根据建立的回归方程，求不良贷款(y)的95%置信区间和预测区间： 案例解答提示 ()不良贷款与各项贷款余额间的散点图为 14 0 0 50 100150200250300350400 R= n∑y-∑r∑y =0.8456 n∑x2-(Ex)n∑y2-(Ey) Rm25-2)=0.3976 由不良贷款与各项贷款余额间的散点图和相关系数可以得出，不良贷款与各项贷款余额 间存在着较显若的线性关系 不良贷款与其它款项间的散点图绘制和相关关系的分析类似。 (2)由excl软件的数据分析功能求得，不良贷款与贷款余额、累计应收贷款、贷款项目 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

验（a =0.05）。 （5）当回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关时，我们就说存在多重共线性。在 回归分析中存在多重共线性将会产生某些问题，如可能会给回归的结果造成混乱，甚至会把 分析引入歧途；可能对参数估计值的正负号产生影响，特别是 bi ˆ 的正负号有可能同我们预 期的正负号相反。试分析建立的回归方程是否存在多重共线性，你认为哪些因素应该从模型 中剔除。 (6) 若贷款余额 1 x =100、累计应收贷款 2 x =10、贷款项目个数 3 x =15 和固定资产投资额 4 x =60，根据建立的回归方程，求不良贷款( y )的 95%置信区间和预测区间； 案例解答提示 (1) 不良贷款与各项贷款余额间的散点图为 0 2 4 6 8 10 12 14 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0.8456 ( ) ( ) 2 2 2 2 = - å - å - = å å å å å n x x n y y n xy x y R (25 2) 0.3976 0.05 R - = 由不良贷款与各项贷款余额间的散点图和相关系数可以得出，不良贷款与各项贷款余额 间存在着较显著的线性关系。 不良贷款与其它款项间的散点图绘制和相关关系的分析类似。 (2)由 excel 软件的数据分析功能求得，不良贷款与贷款余额、累计应收贷款、贷款项目 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

数、固定资产投资额等因素的多元线性回归方程为 y=-0.94635+0.04016X,+0.150907X,+0.007394X4-0.0278x 回归系数B,0=L2,k)表示当控制其他自变量不变的条件下，第/个自变量的单位变 动对因变量平均值的影响。 (3)在不良贷款的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例为 07 R.G0-可 =0.795068 Σ(y-) R=0.8933, 即被估计的回归方程所解释的比例为8933% (4)根据定立的回归方程，对回归方程线性关系的显著性及各回归系数的显著性进行检 验(a=0.05)。 y=-0.94635+0.04016x,+0.150907x,+0.007394x,-0.02781x3 R=0.8933,Rs(20)=0.4227 t=-1.1000,t2=3.8420,6=l91t4=0.0868,t,=-1.8223 t60h(25-5)=2.086 由计算所得的复相关系R和估可以看出，不息份款与名而份款金领、本年累计应收 贷款、贷款项目个数及本年固定资产投资额总体呈显若的线性相关关系，但在建立的多元线 性回归方程中仅不良贷款与各项贷款余额间存在着较显著的线性关系，不良贷款与其它款项 间的线性关系不显著。 (5)可用定系数法检验回归分析中是否存在多重共线性。 具体方法为：若将X从模型中排除，并不引起拟合优度减少许多，那么，这个被排除在 模型之外的解释变量与留在模型中的解释变量存在多重共线性，应当排除， 挂除x,后的复相关系数R=0.64903,R=0.8056 排除x,后的复相关系数R=0760904,R=0.8723 排除x,后的复相关系数R=0.7980,R=0.8933 挂除x4后的复相关系数R=0.764541,R=0.874381 由上述的相关系数值可以看出，挂除x,后的复相关系数几乎没有发生变化，所以x,与 留在模型中的解释变量存在多重共线性，应当排除。 (6)若贷款余额x=100、累计应收贷款x,=10、贷款项目个数x,=15和固定资产投资额 PDF created with pdfFactory Pro trial version ww.pdffactory.com

数、固定资产投资额等因素的多元线性回归方程为 2 3 4 5 y = -0.94635+ 0.04016 x + 0.150907 x + 0.007394x - 0.02781x 回归系数 ( j 1,2,., k) j b = 表示当控制其他自变量不变的条件下，第 j 个自变量的单位变 动对因变量平均值的影响。 （3）在不良贷款的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例为 å - å - = ( ) ( ˆ ) 2 2 2 y y y y R i i 1 0.795068 ( ) ( ˆ ) 2 2 = - = å - å - y y y y i i i R = 0.8933， 即被估计的回归方程所解释的比例为 89.33% （4）根据建立的回归方程，对回归方程线性关系的显著性及各回归系数的显著性进行检 验（a =0.05）。 2 3 4 5 y = -0.94635+ 0.04016 x + 0.150907 x + 0.007394x - 0.02781x R = 0.8933， R0.05 (20) = 0.4227 1.1000 1 = - t ， 3.8420 2 = t ， 1.9186 3 =t ， 0.0868 4 = t ， 1.8223 2 = - t (25 5) 2.086 0.05 2 - = t 由计算所得的复相关系数 R 和 t 值可以看出，不良贷款与各项贷款余额、本年累计应收 贷款、贷款项目个数及本年固定资产投资额总体呈显著的线性相关关系，但在建立的多元线 性回归方程中仅不良贷款与各项贷款余额间存在着较显著的线性关系，不良贷款与其它款项 间的线性关系不显著。 （5）可用定系数法检验回归分析中是否存在多重共线性。 具体方法为：若将Xj 从模型中排除，并不引起拟合优度减少许多，那么，这个被排除在 模型之外的解释变量与留在模型中的解释变量存在多重共线性，应当排除。 排除 1 x 后的复相关系数 0.64903 2 R = ，R = 0.8056 排除 2 x 后的复相关系数 0.760904 2 R = ，R = 0.8723 排除 3 x 后的复相关系数 0.7980 2 R = ，R = 0.8933 排除 4 x 后的复相关系数 0.764541 2 R = ，R = 0.874381 由上述的相关系数值可以看出，排除 3 x 后的复相关系数几乎没有发生变化，所以 3 x 与 留在模型中的解释变量存在多重共线性，应当排除。 (6) 若贷款余额 1 x =100、累计应收贷款 2 x =10、贷款项目个数 3 x =15 和固定资产投资额 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

x4=60,则建立回归方程的)，为 y=-0.94635+0.04016x2+0.150907x3+0.007394x4-0.02781x 确 =-0.94635+0.04016×100+0.150907×10+0.007394×15-0.02781×60 =3.021 不良贷款(y)的95%置信区间为： ),干tapn-m)S=),干tas(20)S =3.021±2.086×1.774435 =3.021±3.701 不良贷款(y)的95%预测区间为-0.68~6.722. 据此可以看出，由于存在多重共线现象，预测区间几乎没有任何参考价值。 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4 x =60，则建立回归方程的 yˆ 0 为 2 3 4 5 y = -0.94635+ 0.04016 x + 0.150907 x + 0.007394x - 0.02781x 确 = -0.94635 + 0.04016 ´100 + 0.150907 ´10 + 0.007394 ´15 - 0.02781´ 60 =3.021 不良贷款( y )的 95%置信区间为： n m S y t ( ) 2 0 ˆ - a m = S y t (20) 0.025 0 ˆ m =3.021± 2.086´1.774435 =3.021±3.701 不良贷款( y )的 95%预测区间为-0.68～6.722。 据此可以看出，由于存在多重共线现象，预测区间几乎没有任何参考价值。 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com