北京大学：《量子力学》课程教学资源（讲义）Lecture 23 分波法

6分波法 求中心势场的散射振幅。 )思想 入射波AC是自由粒子{分应}的共同本征态,本征值为 hk E P2=P,=0,P2=Mk 2 但不是P的本征态。 对于中心势,方不是守恒量,但云是守恒量,守恒力学量组为{B,},应当用守恒 力学量组的共同本征态来描述散射问题。 将Ac“按照{,的共同本征态来展开,由于能量守恒→k不变,L守恒→ m=0不变,故将Ae按照的m=0的本征态来展开,即分波(l)展开。 平面波的被散射变成分波散射之和 2)平面波献分波展开 由数学物理方法,将平面波Ae用m=0时的本征态展开, e=erose=2(21+1)iji(kr)P(cos 0) P(cosb):m=0时E的本征态, (知):k阶球 Bessel函数。 当r→∞时,j(k) ∑(21+1) P(cos 0 标准渐进解 limy(r)=Ae+Af(e kr-T P(cos 0)+Af(0) 1

6.分波法 求中心势场的散射振幅。 1) 思想 入射波 ikz Ae 是自由粒子{ } ˆ ˆ ˆ , , H p Lz K 的共同本征态，本征值为 2 2 , 0, , 0 2 x y z z k E p p p k L µ = = = = = = = ， 但不是 ˆ2 L K 的本征态。 对于中心势， pˆ 不是守恒量，但 K ˆ2 L K 是守恒量。守恒力学量组为{ } ˆ2 ˆ ˆ , , H L Lz K ，应当用守恒 力学量组的共同本征态来描述散射问题。 将 ikz Ae 按照{ } ˆ2 ˆ ˆ , , H L Lz K 的共同本征态来展开，由于能量守恒 不变， 守恒 不变，故将 → k ˆ Lz → m = 0 ikz Ae 按照 ˆ2 L K 的m = 0的本征态来展开，即分波（l）展开。 平面波的被散射变成分波散射之和。 2）平面波的分波展开 由数学物理方法，将平面波 ikz Ae 用m = 0时 ˆ2 L K 的本征态展开， ( ) ( ) ( cos 0 2 1 cos ikz ikr l l l l e e l i j kr P θ θ ∞ = = = ∑ + ) ， ( ) cos Pl θ ：m = 0时 ˆ2 L K 的本征态， j l (kr) ： k 阶球 Bessel 函数。 当r → ∞ 时， ( ) 1 sin 2 l l j kr kr kr π ⎛ ⎞ → − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， ( ) ( ) 0 1 2 1 sin cos 2 ikz l l l l e l i kr P kr π θ ∞ = ⎛ ⎞ → + ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ ， 标准渐进解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 lim 1 2 1 sin cos . 2 ikr ikz r ikr l l l e r Ae Af r l e A l i kr P Af kr r ψ θ π θ θ →∞ ∞ = = + ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ ∑ G 1

3)中心场中态的分波展开 中心场问题定态 Schroedinger方程满足能量守恒,m固定的一般解 y(r,6)=∑R(r)P(cos R(r)由径向方程决定 k ( ∞时,V(r) d(rR) k(rR) R 两个待定常数A和可,与具体中心场V()有关,一丌和A是为了计算方便引入的。故渐进 解为 limy(r, 0) sin/ kr_/ 丌+aP(cos) 与标准渐进解相比较,有 (2+)1m(b-2x)(as+(2=∑sm(-x+)(s) 利用 SInx= 2i 有010(0y (21+1)e"(s)-∑46(ose)le 对任意的r均成立的条件是e和e前面的系数分别为零,即 A=(2l+1) f(0)=S1 ∑1(21+1)(cse“sm=∑/()

3）中心场中态的分波展开 中心场问题定态 Schroedinger 方程满足能量守恒，m 固定的一般解 ( ) ( ) ( 0 , c l l l ψ r R θ θ r P os ) ∞ = = ∑ ， Rl (r) 由径向方程决定 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 0 l l d dR l l r k V r R r dr dr r ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ µ + + − ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 。 当r → ∞ 时，V r( ) → 0 ， ( ) ( ) 2 2 2 0 l l d rR k rR dr + = ， 故 ( ) sin 2 l l l A l R r A kr kr π δ ⎛ ⎞ → ∞ = ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ ， 两个待定常数 Al 和δ l ，与具体中心场V r( ) 有关， 2 l − π 和 A 是为了计算方便引入的。故渐进 解为 ( ) ( ) 0 lim , sin cos 2 l l l r l A l r A kr P kr ψ θ π δ ∞ →∞ = ⎛ ⎞ = − ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ ∑ θ 。 与标准渐进解相比较，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 1 sin cos sin cos 2 2 ikr l l l l l l l e A l l i kr P f kr P kr r kr π θ θ π δ ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ + = ⎜ − + ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ l θ 。 利用 sin 2 ix ix e e x i − − = ， 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 2 / 2 0 0 0 2 2 1 cos cos l l il i l ikr l l l l l kif l i e P Ae P e π δ π θ θ ∞ ∞ − − = = ⎛ ⎞ = + + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ θ ( ) ( ) ( ) ( ) / 2 / 2 0 0 2 1 cos cos l l il i l ikr l l l l l l i e P Ae P e π δ π θ θ ∞ ∞ − − − = = ⎛ ⎞ − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ， 对任意的 r 均成立的条件是 和 前面的系数分别为零，即 ikr e ikr e− ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 2 1 1 2 1 cos sin l l l i l i l l l l A l i e f l P e k δ δ θ θ δ ∞ ∞ = = = + = + ∑ ∑= fl θ ) ， 2

f(0)=1(21+1)P(cos) e l sin s:分波散射振幅 总散射振幅是分波散射振幅之和 分波散射振幅只与δ有关,关键是求6。 结论:求中心场徽分散射截面的方法: )将V(r)代入径向方程,得到R(r) 2)将mR()与Asm(-x+6)相比得到 3)分波散射振幅f(),则a()=∑f(0) 6的物理意义: 散射前的分波为4(21+1)sink-z|e(cose 散射后的分波为Asin|-7z+|P(cose), 散射前 散射后 Sin(K「一六丌+ 可见,可为散射前后的相移。 4)收敛性 求和收敛性的半经典估计 动量p固定时(平面波,动量守恒),角动量L~pr越大,两粒子相距越远,受势场的 影响越小。设()的有效半经为a,L<P时才有散射,即只有当满足√(+1)<k时, 才有贡献。当入射能量E(k)较小时,可只取低次分波的贡献,例如S分波。 低能散射的收敛性好

( ) ( ) ( ) 1 2 1 cos sin l i l l f l P e k δ θ = + θ l δ ：分波散射振幅 总散射振幅是分波散射振幅之和 分波散射振幅只与δ l 有关，关键是求δ l 。 结论：求中心场微分散射截面的方法： 1）将V r( ) 代入径向方程，得到 R r l ( ) 2）将lim l ( ) r R r →∞ 与 sin 2 l l A l A kr kr π δ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠相比得到 l δ 3）分波散射振幅 fl (θ ) ，则 ( ) ( ) 2 0 l l σ θ f θ ∞ = = ∑ 。 l δ 的物理意义： 散射前的分波为 ( ) ( ) 1 2 1 sin cos 2 l l l A l i kr P kr π θ ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； 散射后的分波为 sin ( ) cos 2 l l l A l A kr P kr π δ θ ⎛ ⎞ ⎜ − + ⎟ ⎝ ⎠ ， 可见，δ l 为散射前后的相移。 4）收敛性 求和收敛性的半经典估计： 动量 p 固定时（平面波，动量守恒），角动量 L ∼ pr 越大，两粒子相距越远，受势场的 影响越小。设V r( ) 的有效半经为a， L < pa 时才有散射，即只有当l 满足 l l( ) + < 1 ka 时， 才有贡献。当入射能量 E k( )较小时，可只取低次分波的贡献，例如s 分波。 低能散射的收敛性好。 3

r≤a 例:低能粒子被球对称势阱的散射。V(r)= R 径向方程r2drdh k2-2 R=0 只考虑S分波(l=0),则 d(rRo) ≤a d2(rRo)+k(rR)=0 r>a k2=2E f k2=k2+5V (k"+B) ≤a 解为 R(r)= A--sin(kr+ Bo) 要求r=0时,R(r)有限,故B=0, 又要求r=a时,R(),巩(连续, Bo=arctan tan ka-ka 将imR(r)与中心势的标准渐进式 lim Ro()=a,sin(kr+So 比较,有s波相位移 6=B0 由于P(cosO)=1, h(O)Asna,f)-(),(0)=/()=(O=k 低能时,k→0

例：低能粒子被球对称势阱的散射。 ( ) 0 0 V r V r r a ⎧− ≤ = ⎨ ⎩ > a 径向方程 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 0 l l d dR l l r k V r R r dr dr r ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ µ + + − ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 只考虑s 分波(l = 0) ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 0 0 d rR k rR r a dr d rR k rR r a dr ⎧ + = ′ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩ ≤ > ， 2 2 2 E k µ = = ， 2 2 2 0 2 k k V µ ′ = + = ， 解为 ( ) 0 0 0 0 0 sin( ) sin( ) CA k r B r r R r CA kr B r r ⎧ ′ ′ ′ + ≤ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ + > ⎪⎩ a a 要求r = 0时， R0 (r) 有限，故 B0 ′ = 0 ， 又要求r = a 时， R0 (r) ， dR0 ( ) r dr 连续， 0 0 0 arctan tan C C k B k a ka k ⎧ ′ = ⎪ ⎨ ⎛ ⎞ = − ′ ⎪ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ′ ⎩ 。 将lim 0 ( ) r R r →∞ 与中心势的标准渐进式 ( ) ( ) 0 0 0 lim sin r A R r A kr kr δ →∞ = + 比较，有s 波相位移 δ 0 0 = B ， 由于 P0 (cosθ ) =1， ( ) 0 0 0 1 sin i f e k δ θ δ = ， f ( ) θ θ ∼ f0 ( ) ， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 2 sin f f k δ σ θ = = θ  θ 。 低能时，k → 0， arctan tan tan k k k a k a k k ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′ ′ → ⎝ ⎠ ′ ′ ， 2 2 0 2 k V µ ′ → = ， 4

k a tank a a(6)= a ka 由于只考虑了S分波,与日无关 总散射截面om=o(0)d=4zd tanka ka

0 tan tan 1 k k k a ka ka k k δ ⎛ ⎞ ′ ′ − = ⎜ ⎟ − ′ ′ ⎝ ⎠  a a ， ( ) 2 2 2 0 0 2 2 2 sin tan 1 k a a k k k a δ δ σ θ ⎛ ⎞ ′ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ′    。 由于只考虑了s 分波，σ 与θ 无关。 总散射截面 ( ) 2 2 tan 4 1 tot k a d a k a σ σ θ π ⎛ ⎞ ′ = Ω = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ′ ∫ 。 5