《机械工程测试技术》课程教学资源（上课讲稿）15 测量数据处理

数据处理(讲稿)李江全石河子大学机电学院电气工程教研室-

1 数 据 处 理 (讲 稿) 李江全 石河子大学机电学院电气工程教研室

目录一、统计特征数的计算二、异常数据及其判断三、系统误差的判断四、测量数据的处理方法五、测量结果的表达六、等精度直接测量结果的数据处理步骤七、一元线性回归八、一元非线性回归补充问题1、剔除异常数据的步骤是什么？2、如何绘制实验曲线？实验曲线平滑的基本原则是什么？3、建立经验公式的步骤是什么？4、动态测试数据处理的步骤是什么？5、绘制直方图的步骤是什么？附表1肖维勒准则的临界值表附表2t检验准则的临界值表附表3狄克逊准则的临界值表附表4t分布表附表5最小相关系数表附表6格拉布斯准则的临界值表附表7t分布表附表8F分布临界值表2

2 目 录 一、统计特征数的计算 二、异常数据及其判断 三、系统误差的判断 四、测量数据的处理方法 五、测量结果的表达 六、等精度直接测量结果的数据处理步骤 七、一元线性回归 八、一元非线性回归 补充问题 1、剔除异常数据的步骤是什么？ 2、如何绘制实验曲线？实验曲线平滑的基本原则是什么？ 3、建立经验公式的步骤是什么？ 4、动态测试数据处理的步骤是什么？ 5、绘制直方图的步骤是什么？ 附表 1 肖维勒准则的临界值表 附表 2 t检验准则的临界值表 附表 3 狄克逊准则的临界值表 附表 4 t 分布表 附表 5 最小相关系数表 附表 6 格拉布斯准则的临界值表 附表 7 t 分布表 附表 8 F 分布临界值表

一、统计特征数的计算在测量中，表示一组测量数据的数学性质的有关数据，通称为统计特征值。它可以分为两大类：一类表示数据分布中心位置的特征值（位置特征参数），如算术平均值、均方根均值、中位数等：一类表示数据的分散程度，如极差、方差、标准差、变异系数等。它们各自表达实验数据的不同特征，是实验数据处理的主要内容。1、算术平均值X--( +, .x .+,)-2Xni算数平均值代表一组测量数据的中心位置，不能表示出数据值的变化情况。2、均方根均值1x-(x+x++x+.+x)=u=1Vnni3、中位数将收集到的测量数据按大小顺序排列，如果数据的个数为奇数时，则排在正中间的那个数就是中位数：如果数据的个数为偶数时，则中位数应是位居中央的那两个数据的算术平均值。4、极差极差是指数据中最大值与最小值之差，即：R= Xmr -Xmin极差虽然表示分散的程度，但不能反映数据的全貌，通常用于n30);n-1a=n标准差（均方根差）表示测量数据的变化情况（分散程度）。值大（如图a所示），数据变化剧烈，对应的分布曲线宽而平缓；值小（如图b所示），数据变化较平稳，对应的分布曲线狭窄而高算。3

3 一、统计特征数的计算 在测量中，表示一组测量数据的数学性质的有关数据，通称为统计特征值。 它可以分为两大类：一类表示数据分布中心位置的特征值（位置特征参数），如 算术平均值、均方根均值、中位数等；一类表示数据的分散程度，如极差、方差、 标准差、变异系数等。它们各自表达实验数据的不同特征，是实验数据处理的主 要内容。 1、算术平均值 算数平均值代表一组测量数据的中心位置，不能表示出数据值的变化情况。 2、均方根均值 3、中位数 将收集到的测量数据按大小顺序排列，如果数据的个数为奇数时，则排在正 中间的那个数就是中位数；如果数据的个数为偶数时，则中位数应是位居中央的 那两个数据的算术平均值。 4、极差 极差是指数据中最大值与最小值之差，即： R = X max − X min 极差虽然表示分散的程度，但不能反映数据的全貌，通常用于 n30）； 1 ( ) 2 − − =  n X X S i （n30） = = + +  + +  + = n i i n Xi n x x x x n X 1 1 2 1 ( ) 1 = = + +  + +  + = n i i n Xi n x x x x n u 1 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 =  − 2 2 ( ) 1 X X n  i

?7、变异系数91ox100%V=x通常，测量较大的东西，绝对误差一般较大，测量较小的东西，绝对误差一般较小，用变异系数来比较这两种误差的差异程度。a8、算术平均值的标准偏差记录曲线和分布曲线0amYn9、算术平均值的变异系数aV-x100%X在试验中所得算术平均值只是母体中部分数据的平均数。母体的数据不可能全部测得，所以只能用一部分数据来代表全部数据，然而这一部分数据能代表全部数据的可靠程度究竞如何呢？和全部数据的平均值相差多少呢？这就要用算术平均值的标准偏差或算术平均值的变异系数来确定。10、必要的读数次数，α.0-允许的误差（%）ae样本特征数与母体特征数（平均值与均方根差）接近的程度与测量次数n有关，n越大，则它们越接近。所以为了使测试结果达到一定的准确度，应有必要的读数次数n。4

4 7、变异系数 通常，测量较大的东西，绝对误差一 般较大，测量较小的东西，绝对误差一 般较小，用变异系数来比较这两种误差 的差异程度。 8、算术平均值的标准偏差 9、算术平均值的变异系数 在试验中所得算术平均值只是母体中部分数据的平均数。母体的数据不可能 全部测得，所以只能用一部分数据来代表全部数据，然而这一部分数据能代表全 部数据的可靠程度究竟如何呢？和全部数据的平均值相差多少呢？这就要用算 术平均值的标准偏差或算术平均值的变异系数来确定。 10、必要的读数次数 样本特征数与母体特征数（平均值与均方根差）接近的程度与测量次数 n 有 关，n 越大，则它们越接近。所以为了使测试结果达到一定的准确度，应有必要 的读数次数 n。 n   = = 100% X   = 100% X   2 0 ( )   n = ，0-允许的误差（%）

二、异常数据及其判断1、异常数据的含义在一个测量列中，可能出现个别过大或过小的测定值，其数值明显偏离其余观测值，这种包含巨大误差的测定值，通常称为异常数据，又称坏值。在重复试验过程中，得到一系列测量值，如果混杂有坏值，则必然会曲测量结果，造成极大的误差。因此，必须在各个测量值中找出坏值，并舍弃之，直到无坏值时，才可进行有关的数据处理而得到正确的结果。在测量或实验过程中，如发现读错、记错数据，或因仪器及工作条件突然变化而造成明显的错误时，应该及时纠正或舍弃有关数据，但严格说来，原始数据必须实事求是地记录，并注明有关情况。在整理数据时，再舍弃上述有明显错误的数据。异常数据往往是由过失误差引起的，也可能是由巨大的随机误差引起的。异常数据的取舍必须分慎重。有的异常测量值的出现，可能客观地反映了测量过程中的某种随机波动性，例如，可能预示着电路产生间歇振荡、接触不良、某个元件即将损坏、仪器工作不稳定等，有时甚至可能预示着一种新的物理现象将被发现，可见对异常测量值不应该为了追求数据的一致性而轻易舍去。如果有充分的根据可以判定异常数据是由过失误差引起的，则应予舍弃。对于原因不明的异常数据，只能用统计学的准则决定取舍。用统计学的方法决定异常数据的取舍，其基本思想是：数值超过某一界限的测定值（或残差）出现的概率很小，是个小概率事件。如果在一个容量不大的测量列中居然出现了这种测定值，则有理由认为，这是由过失误差引起的异常数据，因而予以舍弃。对异常数据，除了设法从测量结果中发现、判断和鉴别而加以剔除外，更重要的是要加强测量工作者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作：此外还要保证测量条件的稳定，应避免在外界条件发生激烈变化时进行测量。2、异常数据判断准则异常数据的判断（取舍）准则有：来伊达准则（3α准则）、格拉布斯准则、肖维勒准则、t检验准则（罗曼诺夫斯基准则）和狄克逊准则。1）来依送准则（3g准则）由概率积分表可知，服从正态分布的随机误差超出3α（置信概率P=0.9973）5

5 二、异常数据及其判断 1、异常数据的含义 在一个测量列中，可能出现个别过大或过小的测定值，其数值明显偏离其余 观测值，这种包含巨大误差的测定值，通常称为异常数据，又称坏值。 在重复试验过程中，得到一系列测量值，如果混杂有坏值，则必然会歪曲测 量结果，造成极大的误差。因此，必须在各个测量值中找出坏值，并舍弃之，直 到无坏值时，才可进行有关的数据处理而得到正确的结果。 在测量或实验过程中．如发现读错、记错数据，或因仪器及工作条件突然变 化而造成明显的错误时，应该及时纠正或舍弃有关数据，但严格说来，原始数据 必须实事求是地记录，并注明有关情况。在整理数据时，再舍弃上述有明显错误 的数据。 异常数据往往是由过失误差引起的，也可能是由巨大的随机误差引起的。 异常数据的取舍必须十分慎重。有的异常测量值的出现，可能客观地反映了 测量过程中的某种随机波动性，例如，可能预示着电路产生间歇振荡、接触不良、 某个元件即将损坏、仪器工作不稳定等，有时甚至可能预示着一种新的物理现象 将被发现，可见对异常测量值不应该为了追求数据的一致性而轻易舍去。 如果有充分的根据可以判定异常数据是由过失误差引起的，则应予舍弃。对 于原因不明的异常数据，只能用统计学的准则决定取舍。 用统计学的方法决定异常数据的取舍，其基本思想是：数值超过某一界限的 测定值（或残差）出现的概率很小，是个小概率事件。如果在一个容量不大的测 量列中居然出现了这种测定值，则有理由认为，这是由过失误差引起的异常数据， 因而予以舍弃。 对异常数据，除了设法从测量结果中发现、判断和鉴别而加以剔除外，更重 要的是要加强测量工作者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作；此外 还要保证测量条件的稳定，应避免在外界条件发生激烈变化时进行测量。 2、异常数据判断准则 异常数据的判断（取舍）准则有：来伊达准则（3σ准则）、格拉布斯准则、 肖维勒准则、t 检验准则（罗曼诺夫斯基准则）和狄克逊准则。 1）来依达准则（3σ准则） 由概率积分表可知，服从正态分布的随机误差超出±3σ（置信概率 P=0.9973）

的可能性只有0.27%，在通常的有限次测量工作中不可能出现。因此，如果测量列中发现某测定值X的残差满足下列关系：X,-X>30就可认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予剔除。式中，对于有限次测量，标准偏差可用估计值S代替。来依达准则是建立在测量次数n-→8的前提下，当n有限时，特别是n值较小时，这个判据不很可靠。若剔除的数据点数大于1S5%测点总数，则应在其附近增加测点数，并重新判断是否存在异常数据，否则应用不同准则进行比较。该准则特点：可靠性不高，但使用简单，不需查表，适用于测量次数较多(50以上），要求不高时的使用。残差：指某测量值与该被测量的算术平均值之差。2）肖维勒准则若有一服从正态分布的测量列中发现某测定值满足下列关系：[x,-x/s >w,就可认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予舍弃。式中，S为标准偏差的估计值，Wn是肖维勒准则的过失误差系数（临界值），可从表中查出（见附表1)。用此准则时，必须从原来的测量值估算出S，而后定出判别过失误差的界限，再经判定有某一测量值的剩余误差（残差）超过此界限，即将此测量值剔除，而后将剩下的测量值重新计算S。该准则特点：其可靠性与重复测量次数有关，n较小，可靠性也较小，适用于测量次数在20～100的数据判别，不常用。3）格拉布斯准则若有一服从正态分布的测量列中发现某测定值Xi的残差满足下列关系：[X,-X/>G就可认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予剔除。式中，S为标准偏差的估计值，Go为临界值，它取决于测量次数n和信度α（通常α取0.05、6

6 的可能性只有 0.27%，在通常的有限次测量工作中不可能出现。 因此，如果测量列中发现某测定值 Xi 的残差满足下列关系： Xi − X  3 就可认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予剔除。 式中，对于有限次测量，标准偏差σ可用估计值 S 代替。 来依达准则是建立在测量次数 n→∞的前提下，当 n 有限时，特别是 n 值较 小时，这个判据不很可靠。 若剔除的数据点数大于 1∽5%测点总数，则应在其附近增加测点数，并重新 判断是否存在异常数据，否则应用不同准则进行比较。 该准则特点：可靠性不高，但使用简单，不需查表，适用于测量次数较多(50 以上)，要求不高时的使用。 残差：指某测量值与该被测量的算术平均值之差。 2）肖维勒准则 若有一服从正态分布的测量列中发现某测定值 Xi 满足下列关系： i Wn S X − X  就可认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予舍弃。式中，S 为 标准偏差的估计值，Wn 是肖维勒准则的过失误差系数（临界值），可从表中查出 （见附表 1）。 用此准则时，必须从原来的测量值估算出 S，而后定出判别过失误差的界限， 再经判定有某一测量值的剩余误差（残差）超过此界限，即将此测量值剔除，而 后将剩下的测量值重新计算 S。 该准则特点：其可靠性与重复测量次数有关，n 较小，可靠性也较小，适用 于测量次数在 20～100 的数据判别，不常用。 3）格拉布斯准则 若有一服从正态分布的测量列中发现某测定值 Xi 的残差满足下列关系： G0 S Xi − X  就可认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予剔除。式中，S 为 标准偏差的估计值，G0 为临界值，它取决于测量次数 n 和信度α（通常α取 0.05

0.025或0.01），可从临界值表（见附表6）中查出G0该准则特点：可靠性最高，最常用，通常测量次数为20～150，判断效果较好。4）罗曼诺夫斯基准则（t检验准则）在n次重复测量中，首先观察各测量值中是否有偏离较大者，如有某测量值Xd比其它测量值偏离较大，则先假定它为可疑测量值并剔除，而后按剩下的（n-1）个测量值（即不包含可疑测量值X）来计算算术平均值和标准偏差，即：X=Zxn-1idE(X,-)?Z(X, -x)2S:(n-1)-1Vn-2按给定的置信概率P和测量次数n查表，确定临界值T。值（见附表2），若被怀疑并被剔除的测量值X&确实属于含有过失误差，则其剩余误差（残差）应满足：IXa-X/>T也就是说将该测量值剔除是合理的、正确的：反之若不满足上式，则表明该测量值并不含有过失误差，应该重新将它收入到测量列，并重新估算标准差。t检验准则是按照t分布的实际分布范围来确定过失误差的界限，t分布的实际分布范围与重复测量次数n和置信概率P有关。该准则特点：适用于测量次数很小（n≤20）而要求较高的数据。5）狄克逊准则直接根据测试数据按其大小顺序排列后的顺序差来判别测量值中是否含有过失误差。即将服从正态分布的测量列：X1,X2,..",Xn按大小顺序排列成：x(1)≤x(2)≤... ≤x(n-1)≤x(n)狄克逊导出了顺序差统计量：7

7 0.025 或 0.01），可从临界值表（见附表 6）中查出 G0。 该准则特点：可靠性最高，最常用，通常测量次数为 20～150，判断效果较 好。 4）罗曼诺夫斯基准则（t 检验准则） 在 n 次重复测量中，首先观察各测量值中是否有偏离较大者，如有某测量值 Xd 比其它测量值偏离较大，则先假定它为可疑测量值并剔除，而后按剩下的（n-1） 个测量值（即不包含可疑测量值 Xd）来计算算术平均值和标准偏差，即： 按给定的置信概率 P 和测量次数 n 查表，确定临界值 Tg值（见附表 2），若被 怀疑并被剔除的测量值 Xd 确实属于含有过失误差，则其剩余误差（残差）应满 足： d Tg S X − X  也就是说将该测量值剔除是合理的、正确的；反之若不满足上式，则表明该 测量值并不含有过失误差，应该重新将它收入到测量列，并重新估算标准差。 t 检验准则是按照 t 分布的实际分布范围来确定过失误差的界限，t 分布的实 际分布范围与重复测量次数 n 和置信概率 P 有关。 该准则特点：适用于测量次数很小（n≤20）而要求较高的数据。 5）狄克逊准则 直接根据测试数据按其大小顺序排列后的顺序差来判别测量值中是否含有 过失误差。 即将服从正态分布的测量列： x1，x2，···，xn 按大小顺序排列成： x(1)≤x(2)≤···≤x(n-1)≤x(n) 狄克逊导出了顺序差统计量： 2 ( ) ( 1) 1 ( ) 2 2 − − = − − − =   n X X n X X S i i −  = i d Xi n X 1 1

Jio = (n)-x(n-1)x(2) - x(1)Jo=3或x(n) - x(1)x(n) -x(1)Jnt = (n)-x(n-1)x(2) - x(1)或Jin=x(n- 1) - x()x(n)-x(2)x(3) - x(1)J21 = (n) - x(n-2)或J21 = -x(n) - x(2)x(n-1) - x(1)Jz = x(n)-x(n-2)x(3) - x(1)J2=—或x(n- 2)-x(1)x(n)-x(3)的分布及其在给定置信概率P下的界限值f（见附表3），凡统计量的值超过该界限值者，即可判定其相应的最大或最小测量值含有过失误差。因此狄克逊准则可写为：若有一服从正态分布的测量列中发现测定值XI或Xn（最小或最大值）满足下列关系：f>fp就可认为最小或最大值是一个包含过失误差的异常数据，应予舍弃。狄克逊还认为：当n≤7时，按f=fio判断：当n=810时，按f=fil判断当n=1113时，按f=f21判断；当n≥14时，按=f22判断的效果>较好。该准则特点：方法简便，判断迅速，概率意义明确，适用于测量次数很少（n≤25）的数据。必须注意：在应用以上准则时，经剔除含有过失误差的异常数据后，要重新计算出其余数据的算术平均值和标准偏差，再对余下的数据进行判别，依此程序逐步剔除，直至完全剔除含有过失误差的异常数据为止。00

8 ( ) (1) ( ) ( 1) 10 x n x x n x n f − − − = 或 ( ) (1) (2) (1) 10 x n x x x f − − = ( ) (2) ( ) ( 1) 11 x n x x n x n f − − − = 或 ( 1) (1) (2) (1) 11 x n x x x f − − − = ( ) (2) ( ) ( 2) 21 x n x x n x n f − − − = 或 ( 1) (1) (3) (1) 21 x n x x x f − − − = ( ) (3) ( ) ( 2) 22 x n x x n x n f − − − = 或 ( 2) (1) (3) (1) 22 x n x x x f − − − = 的分布及其在给定置信概率 P 下的界限值 fp（见附表 3），凡统计量 fij 的值超 过该界限值者，即可判定其相应的最大或最小测量值含有过失误差。因此狄克逊 准则可写为： 若有一服从正态分布的测量列中发现测定值 X1 或 Xn (最小或最大值)满足下 列关系： fij>fp 就可认为最小或最大值是一个包含过失误差的异常数据，应予舍弃。 狄克逊还认为：当 n≤7 时，按 fij =f10 判断；当 n=8∽10 时，按 fij =f11 判断； 当 n=11∽13 时，按 fij =f21 判断；当 n≥14 时，按 fij =f22 判断的效果>较好。 该准则特点：方法简便，判断迅速，概率意义明确，适用于测量次数很少（n ≤25）的数据。 必须注意：在应用以上准则时，经剔除含有过失误差的异常数据后，要重新 计算出其余数据的算术平均值和标准偏差，再对余下的数据进行判别，依此程序 逐步剔除，直至完全剔除含有过失误差的异常数据为止

三、系统误差的判断（发现）为了消除系统误差的影响，首先要设法发现系统误差的存在，然后在根据不同性质的系统误差采取相应的措施予以消除。下面介绍几种一般采用的方法：1、残余误差观察法将一系列等精度测量的数据按测量先后顺序把测得值及其残差值列表，观察其残差数值及符号的变化规律：若残差数值有规律的递增或递减，并且在测量的开始和结束时残差符号相反：则可判断该测量列含有线性系统误差：若残差的符号有规律由正变负，再由负变正，或循环交替变化多次，则可判断该测量列含有周期性系统误差。2、马利克夫判据（残余误差核算法）这个判据适用于检查测量列中是否有累计性（线性）系统误差存在。将一列等精度测量的结果按测量先后次序排列：X1，X2，X3，.，Xn。把测量列分成前半组和后半组，分别求出前、后半组的残差之和，然后取这两个和的差值M，若测量次数n为偶数，则：M =>Vi-O=+若测量次数n为奇数，则：(n+1M=TV.ii上式表明：前后两部分残差和的差值取决于系统误差，因线性系统误差前后两部分的符号相反，故M值将随n的增大而增大。因此用该法判断时：如M值近似为零，则说明测量列中不含累计性误差；如M值明显地不为零（与V值相当或更大），则说明测量列中含有累计性系统误差。把测量列分为前后数目相同的两组，核算这两组残余误差和之差是否为零，9

9 三、系统误差的判断（发现） 为了消除系统误差的影响，首先要设法发现系统误差的存在，然后在根据不 同性质的系统误差采取相应的措施予以消除。下面介绍几种一般采用的方法： 1、残余误差观察法 将一系列等精度测量的数据按测量先后顺序把测得值及其残差值列表，观察 其残差数值及符号的变化规律： 若残差数值有规律的递增或递减，并且在测量的开始和结束时残差符号相反， 则可判断该测量列含有线性系统误差； 若残差的符号有规律由正变负，再由负变正，或循环交替变化多次，则可判 断该测量列含有周期性系统误差。 2、马利克夫判据（残余误差核算法） 这个判据适用于检查测量列中是否有累计性（线性）系统误差存在。 将一列等精度测量的结果按测量先后次序排列：X1，X2，X3，.，Xn。把测 量列分成前半组和后半组，分别求出前、后半组的残差之和，然后取这两个和的 差值 M， 若测量次数 n 为偶数，则：   = + = = − n n i i n i i M v v 1 2 2 1 若测量次数 n 为奇数，则：   + + = + = = − n n i i n i i M v v 1 2 1 2 ( 1) 1 上式表明：前后两部分残差和的差值取决于系统误差，因线性系统误差前后 两部分的符号相反，故 M 值将随 n 的增大而增大。因此用该法判断时： 如 M 值近似为零，则说明测量列中不含累计性误差； 如 M 值明显地不为零（与 V 值相当或更大），则说明测量列中含有累计性系 统误差。 把测量列分为前后数目相同的两组，核算这两组残余误差和之差是否为零

以次来判断该测量列是否有系统误差存在，这种判断方法称为马利克夫判据3、阿贝一赫梅特判据这个判据适用于判断测量列中是否有周期性系统误差的存在。该判据可描述为：若某测量列满足下式：RZy>Vn-lo?[i=l就可认为该测量列中有周期性系统误差存在：否则无周期性系统误差10

10 以次来判断该测量列是否有系统误差存在，这种判断方法称为马利克夫判据。 3、阿贝—赫梅特判据 这个判据适用于判断测量列中是否有周期性系统误差的存在。 该判据可描述为： 若某测量列满足下式： 2 1 1  1  −1 − = v v + n n i i i 就可认为该测量列中有周期性系统误差存在；否则无周期性系统误差