《光学》第八讲 幾何光學

幾何光學 1.聚焦原理( Principle of Focus) 2.反射成像( Image Form by Reflection) 3.折射成像( Image Form by Refraction) 4.薄鏡公式( Thin Lens equation) 5.像差( aberrations) 聚焦原理 當光S通過曲面上位置A到達P點。若A為曲面上任意點 而S與P為固定’則我們稱S與P為共軛點。若S為物點 則P為像點。此狀況為S所發射出的光會聚焦於P。 由rema法則得知,若S所發射 出的光會聚焦於P,則其光學路 徑必然相等(都是最短路徑) S PvA∈ surface OPLSAP=OPLSP . n,Sa+n AP=n so+nOP= cons tan t

1 1. 聚焦原理 (Principle of Focus) 2. 反射成像 (Image Form by Reflection) 3. 折射成像 (Image Form by Refraction) 4. 薄鏡公式 (Thin Lens Equation) 5. 像差 (Aberrations) 幾何光學 聚焦原理 當光S通過曲面上位置A到達P 點。若A為曲面上任意點， 而S與P為固定，則我們稱S與P為共軛點。若S為物點， 則P 為像點。此狀況為S所發射出的光會聚焦於P。 由Fermat法則得知，若S所發射 出的光會聚焦於P，則其光學路 徑必然相等（都是最短路徑）。 OPLSAP OPLSP A surface Þ = " Î n SA n AP n SO n OP constan t \ 1 + 2 = 1 + 2 = S P A O

考慮S點位於無窮遠的位置,這相當於平行光經過曲面A 後聚焦於P點此時光學路徑相等的條件可寫為 →n,DA+n2AP= const -L DA+AP= const n2 幾何已知上滿足此條件所形成的曲線為二次曲線’而比值 nm2l時為雙曲線 結論:用不同材質所磨成的聚焦鏡片’其曲面必須依其折 射係數而滿足不同(且唯一)的曲率條件 球面鏡成像 由前面所的聚焦原理可知,理想的反射聚焦鏡應為拋物 面鏡(n1n2所以ε1)。由於球面鏡於製作上較為簡便,因 而市面上價廉的反射鏡多半為球面鏡,因此非理想娶焦狀 態’導致球面鏡成像時影像模糊不凊’稱之為球面像差 球面鏡成像時可以下列圖示表達之 h h h R-q h R QhTh=-qlp Punct Pp-→1-P g R-q 12 ∫=焦距 p g r f

2 . . 2 1 1 2 DA AP const n n n DA n AP const Þ + = Þ + = 考慮S點位於無窮遠的位置，這相當於平行光經過曲面A 後聚焦於P點。此時光學路徑相等的條件可寫為： D P A O 幾何已知上滿足此條件所形成的曲線為二次曲線，而比值 n1 /n2=e相當於二次曲線中的離心率。e 1時為雙曲線。 結論：用不同材質所磨成的聚焦鏡片，其曲面必須依其折 射係數而滿足不同（且唯一）的曲率條件。 球面鏡成像 球面鏡成像時可以下列圖示表達之。 由前面所述的聚焦原理可知，理想的反射聚焦鏡應為拋物 面鏡(n1=n2所以e=1)。由於球面鏡於製作上較為簡便，因 而市面上價廉的反射鏡多半為球面鏡，因此非理想聚焦狀 態，導致球面鏡成像時影像模糊不清，稱之為球面像差。 p R R q h h R q h p R h - - = - ¢ Þ - ¢ = - - tana = Þ + = º =焦距 Þ - = - - - \ = ¢ = - f p q R f q R p R p R R q p q h h q p 1 1 2 1 1 1 Q / /

Ray diagrams 球面透鏡成像 考慮如下圖所示球面透鏡的折射聚焦。在角度都不是很大 的狀況’折射定律可寫為 n,sine=n, sine, n,0,=n, 0, 由幾何關徐有O1=a+B&B=62+y tana≈d/ p tan B≈d/ R tany≈d/ 將此結果代入折射定律,經整理後可寫為 n a+n2r=(n2-n)B=n+n2=n2-n,) p q R R

3 Ray Diagrams 球面透鏡成像 考慮如下圖所示球面透鏡的折射聚焦。在角度都不是很大 的狀況，折射定律可寫為 1 1 2 2 1 1 2 2 n sinq = n sinq Þ n q = n q 由幾何關係有 q =a + b b = q + g 1 & 2 tana » d / p tan b » d / R tang » d / q 將此結果代入折射定律，經整理後可寫為 R n n q n p n n n n n ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 2 1 - a + g = - b Þ + =

例題∶直徑為四公分的蒲公英種子被封裝於直徑為六公 分的透明塑膠球中。若塑膠的折射率為1.50,問此種子 由外面看起來離球面約多近? 此問題相當於由蒲公英種子 最外層的任意一點所發出的 光被聚焦於像點上,故由球 面透鏡的折射聚焦關係可得 n+n2(m2-n1 p q R 11.0-1.5 1.0cn 3.0cm q=-0.75cm 平面折射聚焦 若介質界面為一平面’這相當於 曲率半徑為無窮大,故 p q n2 →q 例題:一魚於距離水表面為d的深度悠 游’若由正上方觀看此魚所在深度為 多少 1.0 q d=-0.752d 1.33

4 例題：直徑為四公分的蒲公英種子被封裝於直徑為六公 分的透明塑膠球中。若塑膠的折射率為1.50，問此種子 由外面看起來離球面約多近？ 此問題相當於由蒲公英種子 最外層的任意一點所發出的 光被聚焦於像點上，故由球 面透鏡的折射聚焦關係可得 q cm cm q cm R n n q n p n 0.75 3.0 1 1.0 1.5 1.0 1.50 ( ) 1 2 2 1 = - - - \ + = - + = 平面折射聚焦 若介質界面為一平面，這相當於 曲率半徑為無窮大，故 p n n q n n q n p n 1 2 1 2 2 1 ( ) Þ = - ¥ - + = 例題：一魚於距離水表面為d的深度悠 游，若由正上方觀看此魚所在深度為 多少？ q d 0.752d 1.33 1.0 = - = -

薄鏡公式 考慮由兩個距離為r的球面曲面所形成的透鏡系統(如下 圖所示),由其成像關侥可得 1n(n-1) (1-n) p q R1 P22R2 n t (1-n) q+tq2-q1q2q1(q1-1)R2 在鏡片厚度可忽略的情況下 結合上面兩曲面成像關侥式 sarlacc p q R R2 由此可定義透鏡系統的焦距∫·其成像關係可寫為 R R2

5 薄鏡公式 考慮由兩個距離為t 的球面曲面所形成的透鏡系統（如下 圖所示），由其成像關係可得 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 (1 ) ( ) 1 1 1 ( 1) 1 (1 ) R n q q t tn q q n q t q n R n p q n R n q n p - = - + - - + » - + Þ - + = - + = ＆ 在鏡片厚度可忽略的情況下， 結合上面兩曲面成像關係式 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = - - + 1 2 1 2 1 1 ( 1) 1 1 R R n p q R R p q n f 1 1 1 1 ( 1) 1 1 2 = + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ º - - 由此可定義透鏡系統的焦距f，其成像關係可寫為

例題:一折射像數為1.52的聚焦透鏡於空氣中的焦距為 40.0公分’若將此透鏡至於水中,其焦距將變為多少? 由透鏡焦距的定義 40.0c R R2 waler R R2 (n-1)1.52-140.0cm 1.33 →fer=148cm 像差( Aberrations) Spherical Aberrations Chromatic aberrations Red

6 例題：一折射係數為1.52的聚焦透鏡於空氣中的焦距為 40.0公分，若將此透鏡至於水中，其焦距將變為多少？ cm R R n f air 40.0 1 1 ( 1) 1 1 2 =÷ ÷ ø ö ç ç è æ º - - 由透鏡焦距f的定義 cm n R R n fwater water ? 1 1 ( 1) 1 1 2 =÷ ÷ ø ö ç ç è æ º - - f cm cm cm n n n f f water water air water 148 ? 40.0 1 1.33 1.52 1.52 1 ( 1) ( 1) Þ = = - - = - - \ º 像差 (Aberrations) Spherical Aberrations Chromatic Aberrations