《量子力学》第四章 量子力学的应用（4.2）H原子

4-2H原子 ■氢原子是由电子和质子通过静电作用形 成的束缚态

4-2 H 原子 ◼ 氢原子是由电子和质子通过静电作用形 成的束缚态 p e H

两体问题 e H +U/ 2me 2mN h"xe 2y 2 V +U N e

两体问题 ( , ) ( )] ( , ) 2 2 [ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 T e N e N e N x N x e e N N N e e E x x U x x x x m m U x x m p m p H e N             =  −  −  + −  = + + −

运动分解 总运动=质心运动X相对运动

运动分解 ◼ 总运动=质心运动X 相对运动 x X

质心坐标与相对坐标 M=meXe + IN N M=P+八

质心坐标与相对坐标 X x N x X x e x e N e N e e N N M m M m M m m x x x MX m x m x N e  =  =   =  +  = + = − = +      

2M X V+U(xD I=m2m(m2+mN),(元,x)=①(x,x) 2 h 2Mr Vx2+U(xD)Φ(元,X) 一 Er(X,X)

( , ) ( )] ( , ) 2 2 [ /( ), ( , ) ( , ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 E x X U x x X M m m m m x x x X U x M H T X x e N e N e N X x               =  −  −  +  = +  =  = −  −  +   

分离变量 oO,X=y(xo(r) 人h2”+(天(x)=EV(x) 九 Vx(X)=(En-E)小(X) 2M

分离变量 ( ) ( ) ( ) 2 ( )] ( ) ( ) 2 [ ( , ) ( ) ( ) 2 2 2 2 X E E X M U x x E x x X x X X T x                   −  = − −  + =  =

质心运动和总能量 质心平动 g()=ae 力2 2

质心运动和总能量 ◼ 质心平动 E M P E X Ae T iP X = + =  2 ( ) 2 /      

相对运动 V2+U()v(元=Ev() y(x)=R(r)Ym(O,) x(r)(e, g) x+n2(E-O()-(+1xz=0 x>O,->0;F->∞ x

相对运动 1 0, 0; ] 0 ( 1) ( ( )) 2 '' [ ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( )] ( ) ( ) 2 [ 2 0 2 2 2 2 = → → →  = + + − − = = −  + =                 dr r r r l l E U r Y r r x R r Y U r x E x l m l m     

氢原子相对运动 U/(r)=-e2/r Ze、l(l+1) x"+[2(E+) x=0

氢原子相对运动 ] 0 ( 1) ( ) 2 '' [ ( ) / 2 2 2 2 = + + + − = −    r l l r Ze E U r Ze r 

求解径向方程 无量纲化 1/2 )2,B 2uZe Ze 2 方 2 C 方 方2E p=ar,x(r)=x(e/a=v(p) ()+/B 1l(+1) 2]v(=0 4

求解径向方程 ◼ 无量纲化 ] ( 0 ( 1) 4 1 ''( ) [ , ( ) ( / ) ( ) ) 2 ( 2 ) , 8 ( 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2 2 = + + − − = = = = = =                   v l l v r r v E E Ze Ze   