四川大学：《固体物理学》课程教学资源（教案讲义）第六章 习题

第六章习题 维周期场中电子的波函数叭(x)应满足布洛赫定理,若晶格常数为a,电子的 波函数为 (1)c,(x)=sin-x (2)o(x)=icos -x (3)(x)=∑f(x-la)(是某个确一的函数), 试求电子在这些状态的波矢。 维电子能带可以写成 E(k) 其中a为晶格常数,试求 (1)能带的宽度; (2)电子在波矢k状态下的速度; (3)能带底部和顶部的电子有效质量。 63电子在周期场中的势能 当ma-b≤x≤na+b 当(n-1)a+b≤x≤na-b 求此晶体第一及第二禁带宽度。 64用紧束缚近似计算最近邻似下一维晶格的s态电子能带,画出E(k),m+k)与 波矢的关系。证明只有在原点和布里渊区边界附近有效质量才和波矢无关。 65某晶体中电子的等能量曲面是椭球面 h E(k) 2(m1m2 试求能量E-E+E之间的状态数。 66已知能带为 E(k)=-a(cos ak, +cos ak, )-Bcos ak 其中α>0,B>0,a为晶格常数,试求 (1)能带宽度

第六章 习 题 6.1 一维周期场中电子的波函数φk(x)应满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子的 波函数为 （1） x;sin)( a x k π φ = （2） ; 3 cos)( x a ix k π φ = （3） ∑ （f 是某个确一的函数）， ∞ −∞= −= l k φ laxfx )()( 试求电子在这些状态的波矢。 6.2 设一维电子能带可以写成 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ka +−= ka ma kE 2cos 8 1 cos 8 7 )( 2 2 h 其中 a 为晶格常数，试求 （1）能带的宽度； （2）电子在波矢 k 状态下的速度； （3）能带底部和顶部的电子有效质量。 6.3 电子在周期场中的势能 [ ] ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −− = 0 )( 2 1 )( 22 2 naxbm xV ω b naxban bnaxbna −≤≤+− +≤≤− 当 )1( 当 求此晶体第一及第二禁带宽度。 6.4 用紧束缚近似计算最近邻似下一维晶格的 s 态电子能带，画出 E(k)，m*(k)与 波矢的关系。证明只有在原点和布里渊区边界附近有效质量才和波矢无关。 6.5 某晶体中电子的等能量曲面是椭球面 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= 3 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 )( m k m k m k kE h 试求能量 E-E+dE 之间的状态数。 6.6 已知能带为 x akak y akz kE = −α(cos)( + − β cos)cos 其中α＞0，β＞0，a 为晶格常数，试求 (1)能带宽度 1

(2)电子在波矢(1,11)状态下的速度 (3)能带底附近电子的能态密度 67用紧束缚模型最近邻近似的s态电子能带公式,写出二维正三角形网络的能 带,计算电子的速度及有效质量张量。 68用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下的s态电子能带。 (1)证明在k=0附近,能带的等能面是球形的,导出有效质量 (2)画出[1001和11方向的Ek)曲线 (3)画出k平面内的能量等值线 69对体心立方晶格,用紧束缚近似计算最近邻近似下s态电子能带,证明在带底 和带顶附近等能面近似为球形,写出电子的有效质量。 6.10金属铋的导带底部有效质量倒数张量为 a.00 o aa 求有效质量张量的各分量,并确定此能带底部附近等能面的性质

(2)电子在波矢 )1,1,1( 2a π 状态下的速度 (3)能带底附近电子的能态密度 6.7 用紧束缚模型最近邻近似的 s 态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能 带，计算电子的速度及有效质量张量。 6.8 用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下的 s 态电子能带。 （1）证明在 k = 0 附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量； （2）画出[100]和[111]方向的 E(k)曲线。 （3）画出kx-ky平面内的能量等值线。 6.9 对体心立方晶格，用紧束缚近似计算最近邻近似下 s 态电子能带，证明在带底 和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。 6.10 金属铋的导带底部有效质量倒数张量为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − zzyz yzyy xx aa aa a m 0 0 0 0 )( 1* 求有效质量张量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的性质。 2