西华大学：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 控制系统的数学模型

字 第二章控制系统的数学模型 2.1控制系统的微分方程 22控制系统的传递函数 23动态结构图

第二章 控制系统的数学模型 2.1控制系统的微分方程 2.2控制系统的传递函数 2.3 动态结构图

概述 1.数学模型-:述系统输入、输出变量以及 内部各变量之间关系的数学表达式 2.建模的基本方法: (1)机理建模法(解析法) ()实验辩识法 3.经典控制理论中数学模型的主要形式: 口微分方程 传递函数 动态结构图

概述 ◼ 1. 数学模型 ------描述系统输入、输出变量以及 内部各变量之间关系的数学表达式 ◼ 2. 建模的基本方法: (1) 机理建模法(解析法) (2) 实验辩识法 ◼ 3. 经典控制理论中数学模型的主要形式: ❑ 微分方程 ❑ 传递函数 ❑ 动态结构图

第一节系统的微分方程 线性系统微分方程的建立 1.确定系统和各元件的输入量(给定量和 扰动量)与输出量(被控制量,也称为系 统的响应) 2.列写系统各部分的微分方程 3.消去中间变量求出系统输入、输出变 量的微分方程 4.标准化

第一节 系统的微分方程 一、 线性系统微分方程的建立 1. 确定系统和各元件的输入量(给定量和 扰动量) 与输出量(被控制量, 也称为系 统的响应) 2. 列写系统各部分的微分方程 3. 消去中间变量, 求出系统输入、输出变 量的微分方程 4. 标准化

【例2-1】RLC串联电路的微分方程 解:(1)定输入输出量u(t)--输入量,ut)--输 出量 (2)列写微分方程,由基尔霍夫定律 L,)+R8()+0()=() C uo(0 ()=C (3)消去中间变量并标准化 LC +RC-0+l2(1)=l1() dt (t) dt

【例2-1】 RLC串联电路的微分方程 解: (1) 定输入输出量:ui (t) ----输入量, uo (t) ----输 出量 (2) 列写微分方程，由基尔霍夫定律 c du dt 0 du dt 2 ( ) o d u t dt ( ) o du t dt di t( ) dt ( ) o du t dt 2 ( ) o d u t dt ( ) ( ) ( ) ( ) Ri t u t u t dt di t L + + o = i dt du t i t C o ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 u t u t dt du t RC dt t d u t LC o i o o + + = (3)消去中间变量并标准化

【例2-2】弹簧一质量一阻尼器组成的机械位移 系统的微分方程 解: (1)设外力为输入量,质量块的位移量为输出量(2) 列写微分方程,根据牛顿定律 F(t-FB(t-Fx(t=ma F0()=20 d y( Fx(t=kyt F(t) (3)消去中间变量并标准化 m24o)+O+x0)=() y() d t

【例2-2】 弹簧 – 质量 – 阻尼器组成的机械位移 系统的微分方程 解: (1)设外力为输入量，质量块的位移量为输出量 (2) 列写微分方程，根据牛顿定律: dx dt dx dt (3)消去中间变量并标准化 F(t) − FB (t) − FK (t) = ma dt dy t F t f B ( ) ( ) = F (t) Ky(t) K = 2 2 ( ) dt d y t a = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 Ky t F t dt dy t f dt d y t m + + =

【例2-3】确定图23所示电枢控制的他励直 流电动机的微分方程 ) 解(1)取电枢电压为输 入量电机转速输出量“0),)区 (2)建立微分方程组 di, (t) 电枢回路电压平衡方程c(1)+i(t)R4+ La dud(t) (t)=ceo(t) 电动机电磁转矩方程M()=Cnin(t)

解 （1）取电枢电压 为输 入量，电机转速 为输出量 （2）建立微分方程组: 【例2-3】确定图2.3所示电枢控制的他励直 流电动机的微分方程 u (t) d (t) 电枢回路电压平衡方程 ( ) ( ) ( ) ( ) u t dt di t e t i t R L d d d + d d + d = e (t) C (t) d = e  电动机电磁转矩方程 M (t) C i (t) = m d

电动机的机械运动方程 do(t) MO 消除中间变量,使方程标准化: da(t) m do(t R +7 +O() dt R 当取电枢电压“为输入量机角位移为输出 量时,因为以电动机的微分方程为: TaT d(),ndb(),d()u( +t dt C

电动机的机械运动方程 ( ) ( ) M t dt d t J =  消除中间变量，使方程标准化： e d d m m C u t t dt d t T dt d t T T ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 + + =   当取电枢电压 为输入量，电机角位移 为输出 量时，因为 ，所以电动机的微分方程为： u (t) d  (t) dt d t t ( ) ( )   = e d d m m C u t dt d t dt d t T dt d t T T ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 + + =    d d d R L T = e m d m C C JR T =

【练习】图为由一RC组成的四端无源网络。试列 写以U1(t)为输入量,U2()为输出量的网络微分 方程。 R1 R2 U1 C1 C2 U2 R,RCC dt +(RC1+RC2+R2C2),2+U

【练习】 图为由一RC组成的四端无源网络。试列 写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分 方程。 U1 R1 R 2 C 1 C 2 U2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) U U dt dU R C R C R C dt d U R R C C + + + + =

第三节传递函数 传递函数的基本概念 r(t) c(t) G(s) R(S) 定义:在初始条件为零时,系统输出量 G(s)的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,称 为系统的传递函数

一、传递函数的基本概念 1、定义：在初始条件为零时，系统输出量 G(s)的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称 为系统的传递函数。 G(s) r(t) R(s) c(t) C(s) 第三节 传递函数

拉普拉斯变换 定义 F(s)=LIf(]= f(te at ■线性定理 Laf()+a2(O)=a1F1(s)+a2F() 延迟定理[(-o)=e°F(s) 微分定理(1=0(0-(0 f( ■积分定理 L[21=s3F(s)-9f(0)-f( /A-1/ (0

拉普拉斯变换 ◼ 定义 ◼ 线性定理 ◼ 延迟定理 ◼ 微分定理 ◼ 积分定理 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 L a f t + a f t = a F s + a F s F s L f t f t e dt st   − = = 0 ( ) [ ( )] ( ) ] ( ) (0) ( ) [ sF s f dt df t L = − ] ( ) (0) (0) ( ) [ 2 ' 2 2 s F s sf f dt d f t L = − −  − = − s f s F s L f t dt ( ) (0) [ ( ) ] 1 L[ f (t )] e F(s) s  − − =