北京科技大学：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 线性系统的根轨迹法

第豆章咝系统的楓轨迹痃 5.1根轨迹的基本概念 5.2根轨迹的绘制规则 53广义根轨迹 5.4零度根轧迹 5.5糸统性能分析 021/1/27 北京啊敦大学轨学院自动代系

2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 1 第五章 线性系统的根轨迹法 5.1 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的绘制规则 5.3 广义根轨迹 5.4 零度根轨迹 5.5 系统性能分析

本章重点 根轨迹的概念、幅值条件、相角条件 根軌迹的基本绘制规则 等效传递函数的概念 根轨迹的简单应用 021/1/27 北京啊敦大学轨学院自动代系

2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 2 本章重点 ➢ 根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件 ➢ 根轨迹的基本绘制规则 ➢ 等效传递函数的概念 ➢ 根轨迹的简单应用

51轨迹的基本慨念 、一个倒子 例51)一单位负反馈条统的开环传通函教为: k g S(S+2) 试分析該糸统的特征方程的根随条统参数k的变化在S平面 上的分布情况。 解)条统的闭环特征方程:S2+2s+k=0 特征方程的根是:S12=-1±√1-kg 设k的变化范围是[0,0) 021/1/27 北京啊敦大学轨学院自动代系

2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 3 一、一个例子 5.1 根轨迹的基本概念 一单位负反馈系统的开环传递函数为： ( ) ( 2) g k k G s s s = + 试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在S平面 上的分布情况。 g k 例5-1 系统的闭环特征方程： 2 2 0 g s s k + + = 特征方程的根是： 1,2 s k = −  − 1 1 g 设 k 的变化范围是 g 〔0, ∞﹚ 解

当k=0,s1=0,S2=-2 g 当01时,S12=-1j/k-1共轭复根。 该糸统特征方程 K→00 g 的根,随开环糸 统参数k从0变到 二 二 ∞时,在S平面 上变化的轨迹如 图所示。 021/1/27 北京啊敦大学轨学院言动代系

2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 4 当 0 时, g k = 1 2 s s = = − 0, 2 当 0 1   kg 时, s1 与 s2 为不相等的两个负实根； 当 kg = 1 时， s s 1 2 = = −1 为等实根； 该系统特征方程 的根，随开环系 统参数k从0变到 ∞时，在S平面 上变化的轨迹如 图所示。 P1 P2 = 0 g k = 0 g k = 1 g k K g →  Kg →  j  S 当 kg  1 时， s j k 1,2 = −  − 1 1 g 共轭复根。 性能

二、根轨迹与糸统性能 稳定性当增益K1由0→∞,报軏迹不会越过虛进入S平面右卒 边,因此糸统对所有的值都是稳定的。如果糸统特征方程的根 都位于5平面的左部,糸统是稳定的,否则是不稳定的。若根 軌迹穿越虚轴迸入右半5平面,根轨迹与虚轴交点处的K值,就是 临界稳定的开环增益。 稳态性能开环糸统在坐标原点有一个极点,所以属Ⅰ型糸统, 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差糸教。如果给定糸统的 稳态误差要求,则由根迹图确定闭极点位置的允许施圆。 动态性能当0<k。<1时,所有闭环极点均位于实轴上,亲统为过 阻尼糸统,其草位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 当k。=1肘,特征方程的两个相等负实根,糸统为临界阻尼 糸统,草位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 当k1时,特征方程为一对共轭复根無统为欠阻尼条统, 单位阶跃响应为阻尼振荡过程,振荡幅度或超调量随g值的 增加而如大,但调节射间不会有显著变化。 021/1/27 北京啊敦大学轨学院自动代系

2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 5 二、根轨迹与系统性能 稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半 边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根 都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根 轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K值，就是 临界稳定的开环增益。 稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统, 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 动态性能当 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过 阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 当 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼 系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 当 时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统， 单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的 增加而加大，但调节时间不会有显著变化。 0   1 g k = 1 g k  1 g k Kg

三、根轨迹的概念 k,NS) 设系统的开环传通函教为:G(s)= D(S) k。为根轨迹增益(或根轨迹的放大糸数) 其中:N(s)=∏(+x,D(s)=Ⅱ(s+P 可得到糸统的闭环特征方程式为: N +G()=0→1+k2 =0 D 即:N(s)_1= (S+;) z;开环的零点 D() (s+p;) 开环的极点 021/1/27 北京啊敦大学轨学院言动代系

2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 6 设系统的开环传递函数为: g k 为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数) 三、根轨迹的概念 ( ) ( ) ( ) g k k N s G s D s = 其中: 1 ( ) ( ), n j j N s s z = = +  1 ( ) ( ) n j j D s s p = = +  可得到系统的闭环特征方程式为: ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 k g N s G s k D s + =  + = 即： 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) n i i n g j j s z N s D s k s p = =  + = − =  + −zi 开环的零点 − pi 开环的极点

根迹图是闭环糸统特征方程的根(闭环极点)随开环糸 统某一参数由0变化到∞时在S平面上留下的轨迹。 由此可得到满足糸统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为: 幅值条件 (s+乙)(s+z g 相角条件: ∑∠(+x)-∑∠(+)=(1+2 021/1/27 北京啊敦大学轨学院自动代系

2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 7 根轨迹图是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系 统某一参数由0变化到∞时在S平面上留下的轨迹。 由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为： 幅值条件: 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) n n i i i i n n g j j j j s z s z k s p s p = = = =   + + = =   + + 相角条件: 1 1 ( ) ( ) (1 2 ) , 0,1,2,3.... m n i i i j s z s p k k  = =    + −  + =  + =

我们可以把糸统的阌环特征方程的根描述成: 凡是满足幅值条件和相角条件的5值称为特征方程 的根——即闭环极点。 注:因为K从0→∞变化,因此不论什么S值,总有一个 Kg存在,使幡值条件得到满足,所以实际上只要满足 相角条件的S值就是闭环极点,而由此S值,再由幅值条 件可确定此肘糸统对应的Kg值。 021/1/27 北京啊敦大学轨学院自动代系

2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 8 我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: 凡是满足幅值条件和相角条件的s值称为特征方程 的根——即闭环极点。 注：因为 变化，因此不论什么s值,总有一个 存在,使幅值条件得到满足,所以,实际上只要满足 相角条件的s值就是闭环极点,而由此s值,再由幅值条 件可确定此时系统对应的 Kg 值。 Kg从0 →  Kg

5.2根軏迹的绘制规则 通常,我们称以开环根轨迹增益为可参教绘制的根轨迹为 普通根軏迹(或180°根轨迹),简称根轨迹。 规则一根轨迹的起点 由根轨迹的幡值条件可知:∏s+z S g 当k g =0,必有S=-P1(1=1,2, 此时条统的闭环极点与开环板点相同(重合),把开环极点 称为根轨迹的起点。 021/1/27 北京啊敦大学轨学院自动代系

2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 9 规则一 根轨迹的起点 此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，把开环极点 称为根轨迹的起点。 5.2 根轨迹的绘制规则 当 ,必有 由根轨迹的幅值条件可知： 1 1 1 m j j n g i i s z k s p = =  + =  + i 0 s (i 1,2, ,n) = − = p g k = 通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为 普通根轨迹（或180°根轨迹），简称根轨迹

规则三根轨迹的终点 由根轨迹的幅值条件可知: ∏S+x ∏|s+P 当kn=∞肘,必有S=-2,(=1,2,…,m) 此肘,糸统的闭环极点与开环零点相同(重合),我们把 开环零点称为根轨迹的终点。 结论:根轨迹起始于开环极点(k=0),终止于开环 零点(→0)。 如果开环极点数n大于开环零点数m,则有η-m条根轨迹终止 于S平面的无穷远处(无限零点,如果开环零点数m大于开环 极点教冂,则有mηn条根轨迹起始于S平面的无穷远处。 021/1/27 北京啊敦大学轨学院言动代系

2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 10 规则二 根轨迹的终点 由根轨迹的幅值条件可知： 结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环 零点 。 ( 0) g k = ( ) g k →  1 1 1 m j j n g i i s z k s p = =  + =  + 当 时，必有 此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把 开环零点称为根轨迹的终点。 ( 1,2, , ) j s z j m = − = g k =  如果开环极点数n大于开环零点数m,则有n-m条根轨迹终止 于S平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环 极点数n，则有m-n 条根轨迹起始于S平面的无穷远处