《数字通信 Digital Communications》课程教学课件（讲稿）第4章 AWGN信道的最佳接收机 4.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率 4.5 不确定情况下的最佳检测——非相干检测（1/2）

4.4功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号类型：正交信号，双正交信号，单纯信号等特点：高维星座表征，功率效率高，带宽效率低

1 4.4 功限信号传输的最佳检测 和错误概率 功限信号类型：正交信号，双正交信号，单纯信号等 特点：高维星座表征，功率效率高，带宽效率低

正交信号传输的最佳检测和错误概率

2 正交信号传输的最佳检测 和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率考虑等能量正交信号的传输N=M信号矢量：s =(Ve, 0, K 0, 0)S2 =( 0, Ve, K 0, 0)MSm =(0, 0, K 0, V)最佳检测器：按最大相关度量准则判决C(r,sm)=r-sm=r:smkm-1,2,...,Mk=l选择最大输出相关器对应的sm假定发送信号s,(t)，相应的信号向量：s, =[Ve, 0, K, 0]r=[Ve+n, n,K, nm]接收信号向量：

3 考虑等能量正交信号的传输 N=M 信号矢量： 1 2 ( , 0, 0, 0) ( 0, , 0, 0) ( 0, 0, 0, ) = = = K K M M K s s s    = =  = M k m m k mk C r s r s r s 1 ( , ) m=1, 2, .，M 最佳检测器：按最大相关度量准则判决 选择最大输出相关器对应的sm 功限信号传输的最佳检测和错误概率 1 假定发送信号s1 (t)，相应的信号向量： s = [ , 0, , 0]  K 1 2 = + [ , , , ] M 接收信号向量： r n n n  K

功限信号传输的最佳检测和错误概率M个相关器组的输出：ri=C(r,s,)= Ve(Ve +n)r =C(r,s2)= Jen:rM=C(r,Sm)=/enm归一化处理后：Va)第一个相关器输出的PDF：P(x)exiN。元ri=ye+n其余M-1个相关器输出的PDF：P.（xm元Vm=2,3,..., MIm=nm

4 M个相关器组的输出： 1 2 1 1 0 0 1 ( ) ( ) exp r x P x N N     − = −    第一个相关器输出的PDF： 1 1 1 r C r s n = = + ( , ) ( )   2 2 2 r C r s n = = ( , )  ( , ) M M M r C r s n = =    0 2 0 exp / 1 ( ) x N N P x r m m = − m  其余M-1个相关器输出的PDF： m =2, 3, .，M . 1 1 r n = +  归一化处理后： rm = nm 功限信号传输的最佳检测和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率检测器正确判决的概率：（其余M-1个相关器输出n.都小于r的概率）m=2,...MP(n,<r,n,<r,K nm<r/r)P(i)dr在给定r条件下，n2,n，….nm将这个联合概率在同时小于r，的联合概率所有r,上平均联合概率可以分解为(rm)统计独立M-1个边缘概率之积1/J2/N,边缘概率P(nm<rlr)=-x12 dx(x)dx=e12元m=2, ... MM-1//2/N正确判决的概率：x12dxP(r)dr

5 检测器正确判决的概率： 2 1 3 1 1 1 1 1 ( , , | ) ( ) P P n r n r n r r P r dr c M  − =     K 联合概率可以分解为 M-1个边缘概率之积 边缘概率 1 1 1 ( | ) ( ) m r P n r r P x dx m r m m −  =  1 0 2 1 / 2 / / 2 1 1 1 ( ) 2 M r N x P e dx P r dr c  −  − − −   =         1 0 2 / 2 / 1 / 2 2 r N x e dx  − − =  (其余M-1个相关器输出nm都小于r1的概率) 在给定r1条件下，n2 , n3 , . nM 同时小于r1 的联合概率 将这个联合概率在 所有r1上平均 {rm} 统计独立 m = 2, . M 正确判决的概率： 功限信号传输的最佳检测和错误概率 m = 2, . M

功限信号传输的最佳检测和错误概率PM = [(1- P)P(ri)dr符号错误概率区（每个符号携带k比特）周-iernd)exp二由于M个信号等概上式就是平均符号错误概率转化为CIN比特SNR8/N.的形式可以将符号SNRM=2k每个符号传送k比特G=kob转化为将符号P。比特错误概率PhP.P星座对称，发送s,时接收任何消息的概率都是相等的：P(smreceivedIs,send)=M-1 2k-1H种。一个符号（K个比特）中有n比特差错的情况：一共有2 k-IPkP每k个比特符号的平均比特差错数：22k-12k-n=

6 1 1 (1 ) ( )  − = − M c  P P P r dr 符号错误概率（每个符号携带k比特) 2 1 2 / 2 0 1 1 1 2 1 exp 2 2 2 −  − − −         = − − −                       M y x s P e dx y dy e N    由于M个信号等概 上式就是平均符号错误概率 ⚫可以将符号SNR 比特SNR 的形式 转化为 0  / N 0  b / N 2 M k = ⚫将符号 Pe 比特错误概率Pb 转化为 ( | 1 ) 1 2 1 e e m k P P p s received s send M = = 星座对称，发送 − − s1时接收任何消息的概率都是相等的： 每k个比特符号的平均比特差错数： 1 1 2 2 1 2 1 k k e k k e n k P n k P n − =     =   − −  一个符号 (K个比特) 中有n比特差错的情况：一共有   种。       n k b 每个符号传送k比特   = k 功限信号传输的最佳检测和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率10-1除于k，得到平均比特错误概率：2k-12Ph=P~10-22h_52注意：10~3增加波形为了达到给定的比特错误概率，M=64M=2个数M可以减少对比特SNR的要求210-4RM=32-例：P=10-5时5M=42M=2一一SNR大约为12dB10~5M=16M=64—SNR大约为6dB5M=82发送功率节省了6dB！（减少了4倍）10~6-4048121620问题：比特SNR/dB当M一0时（即k-→80），为了达到任意小所要求的最小SNR是多少？的错误概率，月

7 除于k，得到平均比特错误概率： 1 2 1 2 1 2 k b e e k P P P − =  − 注意： 为了达到给定的比特错误概率，增加波形 个数M可以减少对比特SNR的要求。 例：Pb=10-5 时 M=2 —— SNR大约为12dB M=64 —— SNR大约为6dB 发送功率节省了6dB !（减少了4倍） 问题： 当M→时（即k→)，为了达到任意小 的错误概率，所要求的最小SNR是多少？ 功限信号传输的最佳检测和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率结论：Shannon极限b >ln2 = 0.693 (-1.6 dB)若：No当： k→ (即M=2k→)时， P→0在k—80（即M=2k00）的极限情况下，达到任意小的错误概率所要求的最小SNR为-1.6dB

8 ( 2 ) 0 k e k M P →  = →  → 即 时， Shannon极限 在 k→（即M=2 k →）的极限情况下，达到任意小的 错误概率所要求的最小SNR为-1.6dB. 结论： ln 2 0.693 ( 1.6 ) 0 dB N b  = −  若： 当： 功限信号传输的最佳检测和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率正交信号传输的特例：FSK正交FSK信号Lf=（FSK变为正交信号的要求）频率间隔：2T1为正整数错误概率：同前面推导结果注意：保持正交性的频率间隔并不能使错误概率最小！可以证明：二进制FSK错误概率最小时的Af=0.715/T

9 正交信号传输的特例：FSK 频率间隔： l 为正整数 注意： 正交FSK信号 2 l f T  = 错误概率：同前面推导结果 保持正交性的频率间隔并不能使错误概率最小！ 可以证明：二进制FSK错误概率最小时的  = f T 0.715/ （FSK变为正交信号的要求） 功限信号传输的最佳检测和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率双正交信号传输的最佳检测和错误概率双正交信号：由MI2个正交信号及其MI2个负值信号构成信号矢量：Si =-SN+I =(Ve, 0, K 0,0)信号空间 N=M/2S2 =-SN+2 =( 0, V, K 0, 0)MSN=-S2N=(0,0,K0,)解调：用MI2个互相关器或匹配滤波器相应的信号向量：假定发送信号s（t)，S,=[s,, 0, K, 0]r=[Je, +n, n2, K, n]接收信号向量：10

10 双正交信号传输的最佳检测和错误概率 解调： 1 = [ , 0, , 0] s s  K 用M/2个互相关器或匹配滤波器 假定发送信号s1 (t)，相应的信号向量： 双正交信号： 由M/2个正交信号及其M/2个负值信号构成 1 2 = + [ , , , ] s N 接收信号向量： r n n n  K 信号矢量： 1 1 2 2 2 ( , 0, 0, 0) ( 0, , 0, 0) ( 0, 0, 0, ) + + = − = = − = = − = N N N N s s s s s s    K K M K 信号空间 N=M/2 功限信号传输的最佳检测和错误概率