《大学物理》课程PPT教学课件（下册）第四篇 振动与波动 第十三章 振动（13.3）摆动混沌现象

第四篇振动与波动 第13章振动 本章共3讲

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§13.3摆动混沌现象 研究摆动的理想模型—单摆和复摆 单摆 无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动。 建立如图自然坐标 切向运动方程 N Fr=ma,=mlB d e mg sinb=m dt mg d 8 g +osine=o t 2

l m  一.单摆 无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动。 §13.3 摆动 混沌现象 研究摆动的理想模型——单摆和复摆 F = ma = ml 切向运动方程 2 2 sin t mg ml d d  −  = sin 0 2 2 +  =  l g dt d 建立如图自然坐标 mg N  n

令 得 d20 +o sinb=0 d t2 636 sina=e 十 3!5! 一般情况下,单摆运动的微分方程是非线性微分方程, 无解析解 d26 简谐振动 当很小时sinb≈b dttO=0 (角谐振动) 运动方程 0=0 cos(at+p 由初始条件决定 周期:T 2兀=2兀

= − + −  3! 5! sin 3 5     一般情况下，单摆运动的微分方程是非线性微分方程， 无解析解。 sin 0 2 2 2 +  =  d t d 令 l g = 2  得： 当 很小时 sin  0 2 2 2 +  =  dt d 简谐振动 （角谐振动）  = m cos( t +) 由初始条件决定 运动方程： g l T    2 2 周期： = =

复摆 即绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体 由刚体定轴转动定律M=/B mgh sin=d6 t d 8 mgh 十 sin=0 mg O=mgh 得 d26 dt2 fo sin=0 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程

二.复摆 即绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体 由刚体定轴转动定律 M = J 2 2 sin t mgh J d d  −  = sin 0 2 2 +  =  J mgh dt d mg J C o h  令 J mgh = 2  sin 0 2 2 2 +  =  dt d ——复摆运动的微分方程也是非线性微分方程 得

当很小时sin6≈日 de +a2b0=0角谐振动 运动方程:6=bnc0s(at+q) 由初始条件决定 周期:T 2丌 =2丌 mgh 由小角度摆动都是谐振动,可推广到 切微振动均可用谐振动模型处理。 例如:晶体中原子(或离子)在晶体空间点阵格点 平衡位置附近的振动

当 很小时 sin  0 2 2 2 +  =  dt d 角谐振动 由小角度摆动都是谐振动，可推广到 一切微振动均可用谐振动模型处理。 例如：晶体中原子（或离子）在晶体空间点阵格点 平衡位置附近的振动。 mgh J T    2 2 周期： = =  = cos( t +) m 由初始条件决定 运动方程：

大角度摆动不是谐振动,可用相图分析其运动 以状态参量为坐标变量:相平面(相空间) 相平面上的点与运动状态对应:相点 相点在相平面上的运动轨迹:相图 思考:下列运动形式的相图 (1)匀速直线运动 (2)匀速率圆周运动 (3)匀加速直线运动(沿+x,v=0x=0 (4)简谐振动

大角度摆动不是谐振动，可用相图分析其运动。 思考：下列运动形式的相图 （1） 匀速直线运动 （2） 匀速率圆周运动 （4） 简谐振动 （3） 匀加速直线运动 ( , 0 0) 沿+ x v0 = x0 = 以状态参量为坐标变量： 相平面上的点与运动状态对应： 相点在相平面上的运动轨迹： 相平面（相空间） 相点 相图

(1)匀速直线运动(2)匀速率圆周运动 d8 dt dt (3)匀加速直线运动(4)简谐振动 (沿+x 0 0) 十 1 dx v =2ax x

O x t x v d d = （1） 匀速直线运动  O dt d  = （2） 匀速率圆周运动 （3） 匀加速直线运动 ( , 0 0) 沿+ x v0 = x0 = t x v d d = v 2ax 2 = x （4） 简谐振动 1 ( ) 2 1 2 1 2 + =  C t x x c d d t x v d d = x

、单摆和复摆的相图 微分方程: d26 +o sin=0 dt 积分: de -a2cose=C(C由初始条件决焰 设t=0时=n d日 05 =0得C=-o2c0sb dt de ,)2=2oc0s6-c0s60) dt d e 作 日曲线,即相图 dt

三、单摆和复摆的相图 设t = 0时 ,  = 0 = 0得 dt d 0 2 C = − cos ( ) 2 (cos cos ) 0 2 2     = − dt d 作   ~ dt d 曲线， 即相图 微分方程： 积分： C t −  =  ( ) cos 2 1 2 2 d d (C由初始条件决定) sin 0 d d 2 2 2 +  =  t

讨论:1.=0对应0点:系统的稳定平衡点 2.6<5小角度摆动:角谐振动 d26 +a26=0对t积分 dt d日 )2+o22=C C)、O2 1椭圆 初始条件不同一C(能量)不同一—不同椭圆

讨论：1. 0  0 = 对应0点：系统的稳定平衡点 2. 0  0  5 小角度摆动：角谐振动 2 2 0 对t 积分 2 +  =  dt d C t + = 2 2 2 ( )    d d ; 1 2 2 2 + =    C C  椭圆 初始条件不同 C (能量）不同 不同椭圆

讨论:3.0向原方向旋转 dt 2)↓dO 行为不完全确定 d<0向回摆动 5初始能量再增大。相图不再闭合:旋转运动

讨论： 3.  0   封闭曲线：表示周期性往复运动 5.初始能量再增大。相图不再闭合：旋转运动 4.  0 =  相图出现分支点：鞍点 (G,G) 物理意义：单摆倒立（轻绳 轻杆）最高点（不稳定平衡点）无 初速释放 1)    0 dt d 向原方向旋转 2)    0 dt d 向回摆动 行为不完全确定