复旦大学：《经典力学 Classical Mechanics》课程教学课件_第二章 拉格朗日动力学

第二章拉格朗日动力学 1788年, Lagrange发表名著《分析力学》.全书无图, 藉助数学分析建立运动方程 约束与广义坐标 虚位移与约束力 虚功原理约束体系的静平衡 达朗贝尔原理拉格朗日方程 广义势耗散函数 守恒定律 时空对称性与守恒量 位形时空的拉格朗日方程

第二章 拉格朗日动力学 约束与广义坐标 虚位移与约束力 虚功原理 约束体系的静平衡 达朗贝尔原理 拉格朗日方程 广义势 耗散函数 守恒定律 时空对称性与守恒量 位形时空的拉格朗日方程 1788年，Lagrange发表名著《分析力学》．全书无图， 藉助数学分析建立运动方程．

§21约束与广义坐标 1.约束及其分类 约束运动过程中,质点位置和速度受到的限制 质点系 i=1.2.…·n ∫(n,n2…;,2…;)=0约束方程 几何约束与速度无关,仅对几何位形加以限制 单摆-72=x2+y2-P=0 1个几何约束减少1个独立坐标

§2.1 约束与广义坐标 1．约束及其分类 约束 运动过程中，质点位置和速度受到的限制 质点系 1,2, , ir i n     12 12 ,, ,;,, ,; 0 n n f t rr rrr r      约束方程 几何约束 与速度无关，仅对几何位形加以限制   1 2 ,, ,; 0 n f t rr r   r O x y l 单摆 2 2 2 22 r  l xyl    0 1个几何约束减少1个独立坐标

运动约束涉及体系运动情况(质点速度) 作曲线运动的纯滚动直立圆盘 x,y 盘心v=R x-Rcos=01个运动约束减少 j-R6sing=01个独立速度分量 圆盘可由任一指定初位形出发,到达任一指定末位形 运动约束条件对坐标取值无限制,只对坐标变动限制 不减少独立坐标(取值)个数 圆盘作直线运动=运动约束可积(求解运动前) x-Re cos Po+C=O y-ROsin o +C=0 可积运动约束实质等价于几何约束

运动约束 涉及体系运动情况（质点速度） 作曲线运动的纯滚动直立圆盘 盘心 v R   cos 0 sin 0 x R y R             圆盘作直线运动 1个运动约束减少 1个独立速度分量 圆盘可由任一指定初位形出发，到达任一指定末位形． 运动约束条件对坐标取值无限制，只对坐标变动限制， 不减少独立坐标（取值）个数．  0 运动约束可积（求解运动前） 0 1 0 2 cos 0 sin 0 x R C yR C         可积运动约束实质等价于几何约束 x y z     x y

完整约東几何约束与可积运动约束,1个约束方程同时减 少1个独立坐标与1个独立速度分量 非完整约束不可积运动约束,1个约束方程只减少1个独 立速度分量 完整体系所有约束皆完整 非完整体系至少含1个非完整约束 2.自由度 自由度体系可独立变动(并非取值)坐标的个数, 即独立速度分量的个数 l-2 1.2.….k 5n1125 in;t)=0y=1,2…k

完整约束 几何约束与可积运动约束，1个约束方程同时减 少1个独立坐标与1个独立速度分量． 非完整约束 不可积运动约束，1个约束方程只减少1个独 立速度分量． 完整体系 所有约束皆完整 非完整体系 至少含1个非完整约束 2．自由度 自由度 体系可独立变动（并非取值）坐标的个数， 即独立速度分量的个数 1,2, , ir i n     1 2 , , , ; 0 1,2, , j n f rr r   t  j k   12 12 , , , ; , , , ; 0 1,2, , j nn f tj k  rr rrr r        

独立坐标数s=3n-k自由度f=3n-k-k 完整系k′=0f=s非完整系k>0f<s 3.广义坐标 双摆 x +yi 0 x1,y1 (x2-x)+(y2-y)-2=0 y2 4个坐标中,可任选独立的2个确定位形 可另选两个独立 x =l sin e 参量确定位形 y COS (B2) x2=lsin 8+lysin y2=l cos,+l, cos 8

独立坐标数 s nk   3 自由度 f   3nkk 完整系 k   0 f s 非完整系 k   0 f s 3．广义坐标    2 22 1 11 2 2 2 21 21 2 0 0 xyl xx yy l        4个坐标中，可任选独立的 2个确定位形 y x 1 l 2l 1  2   1 1 x y,   2 2 x y,   1 2  , 双摆 11 1 11 1 2 1 12 2 2 1 12 2 sin cos sin sin cos cos x l y l xl l yl l             可另选两个独立 参量确定位形

广义坐标确定力学体系位形的任意一组独立变量 坐标变换方程各质点坐标与广义坐标间的函数关系 使约束方程自动满足 s=3n-k 广义坐标qaa=1,2,… 坐标变换方程=r(q12q23…q;) 1,2,…,k 广义坐标的引入使完整约束方程与不独立坐标一起消去

广义坐标 确定力学体系位形的任意一组独立变量 坐标变换方程 各质点坐标与广义坐标间的函数关系， 使约束方程自动满足 s nk   3 q s 1,2, , 广义坐标     坐标变换方程  1 2 , , , ;  1 , ,2 , ii s r r  qq q  t i n       , ; 0 1,2, , j f r q t t  j  k r rr r q     12 1 2 ,, , , , ,   n s qq q  广义坐标的引入使完整约束方程与不独立坐标一起消去．

广义坐标的特点 1)可任选,一般要求独立,并能确定体系位形; (2)不必具有长度量纲和明显几何意义; (3)属于整个体系,而非个别质点,因任一广义坐标的变化 一般会引起全部质点的位移,反之亦然 4.位形空间 位形空间由质点系全部坐标张成的抽象空间 体系的位形及其随时间的演化分别对应该空间的一点与一 条曲线 n个质点的体系位形空间最高为3n维 r=(r,r2…,)3n维空间位形代表点矢量

广义坐标的特点： (1) 可任选，一般要求独立，并能确定体系位形； (2) 不必具有长度量纲和明显几何意义； (3) 属于整个体系，而非个别质点，因任一广义坐标的变化 一般会引起全部质点的位移，反之亦然． 4．位形空间   1 2 ,, ,  n r rr r  n 个质点的体系位形空间最高为3n维． 位形空间 由质点系全部坐标张成的抽象空间 体系的位形及其随时间的演化分别对应该空间的一点与一 条曲线． 3n 维空间位形代表点矢量

k个完整约束使体系代表点限于3n维空间的s(=3n-k) 维曲面上运动,位形空间减为s维 此曲面上建立曲线坐标系,曲线坐标即广义坐标 ar 坐标线切向矢量 a=1,2,…,s(=3m-k) aq 如何消去未知约束力?

如何消去未知约束力？ 1,2, , 3   q s nk        r 坐标线切向矢量  k 个完整约束使体系代表点限于 3n 维空间的 s（ 3n  k） 维曲面上运动，位形空间减为 s 维． 此曲面上建立曲线坐标系，曲线坐标即广义坐标．

§22虚位移与约束力 1.虚位移 虚位移即时的、约束允许的任意虚拟无限小位置变动 δr区别于无限小实位移dr 约束在曲面(可移动,形变) 上运动的质点 or 曲面方程f(r,)=0 t r>r+Or f(r+8r, t)=0 8f=f(r+8r,)-f(r,) 6r=0 V ar ar nδr⊥n质点处曲面的切平面内的任意无限小位移

§2.2 虚位移与约束力 1．虚位移 虚位移 即时的、约束允许的任意虚拟无限小位置变动 δr 区别于无限小实位移 dr δr n 约束在曲面（可移动，形变） 上运动的质点 曲面方程 f t   r, 0  t rrr   δ f t   r r   δ , 0 δ δ    , , δ 0 f ff tft            rr r r r r δ f   n rn r  质点处曲面的切平面内的任意无限小位移

实无限小位移 t→t+dtr→>r+drf(r,2)=0f(+dr,t+d)=0 d/=/(r+,+d)-(r,t)0f,0=0可.=2d dI 定常约束约束方程不显含时间 dr=0 dr dr∈{6r}实位移是全体虚位移中的一个 非定常约束约束方程显含时间 ofo of ≠0 dr≠0 at dr{6r}实位移不在虚位移集合中 注意:虚位移与可能位移的区别

ttt    d d rrr 实无限小位移 ft f tt r rr , 0 d, d 0      d d, d , d d 0    f f ff ttft t t            rr r r r d d f f t t       r r 定常约束 约束方程不显含时间 0 d0 f f t       r r dr r   δ 实位移是全体虚位移中的一个 非定常约束 约束方程显含时间 0 d0 f f t       r r dr r   δ 实位移不在虚位移集合中 注意：虚位移与可能位移的区别