西安石油大学：《工程力学 Engineering Mechanics》课程教学资源（PPT课件）第08章 梁的变形分析与刚度问题

第8章梁的变形分析与刚度问题 1弯曲变形的描述 6(x)挠曲线(轴) ex) (x) 弯曲使梁的任意x截面产生弯曲位移: (1)截面形心的铅垂位移—挠度w(x)向上为正) (2)截面绕中性轴转过的角度—转角6(x)(5为正)

第8章 梁的变形分析与刚度问题 1.弯曲变形的描述 F x w x 挠曲线（轴） w(x) (x) (x) 弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移： （1）截面形心的铅垂位移 —— (向上为正) （2）截面绕中性轴转过的角度 —— (为正)

(x)挠曲线(轴) (x) (x) 挠度方程=(x) (13.9) 转角方程O=(x) (13.10) 由平面假设,小变形时得: 挠度转角关系≈tan (13.11)

F x w x 挠曲线（轴） w(x) (x) (x) 挠度方程 w = w(x) (13.9) 转角方程  = (x) (13.10) 由平面假设，小变形时得： dx dw 挠度转角关系   tan  (13.11)

2挠曲线近似微分方程 由变形几何关系: 1M(x) p(x El 平面曲线=(x)的曲率为k(x) "(x) W [+(1(x)2]2 小变形简化: du 60 ±"(x)= (x)>0 E 符号的选择:与1轴及M的符号规定有关—取+号 挠曲线近似微分方程 w M( (13.12) dx El (若梁的M(x)分段表示,上式也应分段表示

2.挠曲线近似微分方程 由变形几何关系： EI M x x ( ) ( ) 1   平面曲线w = w(x) 的曲率为 2 3 2 [1 ( ( )) ] ( ) ( ) 1 ( ) w x w x x x         小变形简化：  1 0 dx dw ( ) ( ) 1 w x x      EI M x w x ( )  ( )  符号的选择：与w轴及M的符号规定有关 ——取+号 挠曲线近似微分方程 EI M x dx d w ( ) 2 2  (13.12) （若梁的M(x)分段表示，上式也应分段表示） w (x)0 M>0

计算梁的位移的积分法 挠曲线近似微分方程d2_M(x) (13.12) El 对上式积分一次,得转角方程: a(r) dw=dx+C (13.13) El 再积分一次,得挠度方程: M (x)=|6(x)x= dxax+(x+D(1314) E 其中,C,D为积分常数 对分段的M(x),每段有2个常数,一若分n段,有2n个常数

计算梁的位移的积分法 挠曲线近似微分方程 EI M x dx d w ( ) 2 2  (13.12) 对上式积分一次，得转角方程： dx C EI M dx dw x l      ( ) (13.13) 再积分一次，得挠度方程： dx dx Cx D EI M w x x dx l l l              ( )  ( ) (13.14) 其中，C，D为积分常数 对分段的M(x),每段有2个常数，—若分n段，有2n个常数

积分常数的确定: 对静定梁—支座处有2个位移约束条件 若梁的Mx)方程分为m段表示—共有n-1个分段点 共有2n个积分常数 确定2n个积分常数的条件(定解条件): 共2m个「支座处的约束条件(2个) 条件分段点处的挠度、转角连续条件(2m-1)个)

积分常数的确定： 对静定梁——支座处有2个位移约束条件 若梁的M(x)方程分为n段表示——共有n-1个分段点 共有2n个积分常数 确定2n个积分常数的条件（定解条件）： 支座处的约束条件（2个） 分段点处的挠度、转角连续条件（ 2(n-1)个 ） 共 2n个 条件

常见的支座约束条件: (1)铰支座(W=0) 例如:x=0 0 x=l.1=0 (2)固支端(w=0.9=0) 例如 x=0.w=0.6=-=0 (3)弹簧铰支座(弹簧系数k) 例如:F=v=F/2 F x=0.=0x=21.w= 2k

常见的支座约束条件： , 0 0, 0     x l w x w 0, 0,  0 dx dw x w  （2）固支端（w 0,  0 ） （1）铰支座（ w  0 ） x w l 例如： x w l 例如： （3）弹簧铰支座（弹簧系数k） 例如：F kw F/2 T  B  x w F l l A B FT k F x w x l w 2 0, 0 2 , 

常见的分段点连续条件: (1)连续的挠曲轴上的分段点 连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。 第个分段点处: M(x).M1(x) 挠度连续 转角连续 w(x)w+1(x) (2)中间铰处仅挠度连续,转角不连续 CB点挠度连续W B

常见的分段点连续条件： （1）连续的挠曲轴上的分段点 连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。 第i个分段点处： 挠度连续 i i x x i x x wi w     1 xi i x wi(x) wi+1(x) Mi(x) Mi+1(x) 转角连续 i i x x i x x i      1 (2) 中间铰处 仅挠度连续，转角不连续 B点挠度连续 x l x l w w   1  2 B A C w1(x) w2(x) l l

例题 例题13-5 指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。 a a w(x)「w2(x)Tw3 解:此梁应分为 x=0.w;=0 3段积分, 共6个常数。 d=d w=w an dw 定解条件: x=2a,1w2=w3=0 dx dx

例 题 13-5  例题 指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。 a a a x w F q (1) 解：此梁应分为 3段积分， 共6个常数。 定解条件： dx dw dx dw x a w w dx dw dx dw x a w w x w 2 3 2 3 1 2 1 2 1 2 , 0, , , 0, 0         

例题 例题13-5 (2) 弹簧系数为k w1(x)「w2(x) 解:此梁应分为2段积分,共4个常数。 定解条件: x=0,w1=0,61=0 xX三a l/2 x=a+ 2k

例 题 13-5  例题 解： 此梁应分为2段积分，共4个常数。 定解条件： x w a l q (2) 弹簧系数为k q k ql x a l w x a w w x w 2 , , 0, 0, 0 2 1 2 1 1          

例题 例题13-6 求图示梁的n和fm F B 解:1列内力方程 A b F-F FD=-F 应分为2段列内力方程: AC段:M(x)=Fx1(0≤x1≤a) CB段:M2(x2)Px2=F(x2-a)(a≤x2≤l)

例 题 13-6  例题 求图示梁的 和  max max f 解： AC段：   1 1 F 1 x l b M x  (0 )  x1  a F FA FB l b FA  F l a FB  CB段： ( ) 2 ( ) ( ) a  x  l 2 2 2 2 x F x a l Fb M x    1 x 2 x l F a b w x A EI C B 1.列内力方程 应分为2段列内力方程：