复旦大学：《经典力学 Classical Mechanics》课程教学课件_第一章 牛顿力学（正交曲线坐标系、牛顿运动定律、运动定理与守恒定律、变质量体系）

第一章牛顿力学 运动学描述运动现象 动力学揭示运动规律 正交曲线坐标系 牛顿运动定律 运动定理与守恒定律 变质量体系

第一章 牛顿力学 运动学 描述运动现象 动力学 揭示运动规律 正交曲线坐标系 牛顿运动定律 运动定理与守恒定律 变质量体系

§1.1正交曲线坐标系 定量描述动点运动必须选择作为基准的参考系, 并在其上建立坐标系 1.直角坐标 坐标面 r=r(x,y2=)y=C2其上两个 z=C3坐标可变 o e 坐标面两两相交形成坐标线,其上只有一个坐标可变 取基矢沿坐标线切向,正向为相应坐标增大方向 单位基矢模归一的基矢

z y x O r §1.1 正交曲线坐标系 1．直角坐标 定量描述动点运动必须选择作为基准的参考系， 并在其上建立坐标系． x e y e z e r r   x, , y z 1 2 3 x C y C z C    坐标面 其上两个 坐标可变 坐标面两两相交形成坐标线，其上只有一个坐标可变． 取基矢沿坐标线切向，正向为相应坐标增大方向． 单位基矢 模归一的基矢

B B a,B=1,2,34>x,y2z正交系 0,a≠B e3×e,=e2e,xe2=ee2xex=e,右手系 单位基矢为常矢量de=0 位矢r=xe+ye+ze dr= dxe +dye +dze ds d =dr·d ax+ 2

x y z re e e  x y z 1, , 1, 2,3 , , 0, x y z                 e e  正交系 x    y z yz x zx y ee e ee e ee e 右手系 位矢 dd d d x y z re e e  x y z d 0 单位基矢为常矢量 e         2 222 d dd d d d s xyz    r r

2.球坐标 r=xe2+ye,+22=r(r,0,9) x=rsin cos p y= rsin esin=C2坐标面 z=rcos e x 基矢 ar △r ar △r ar ≡Ilm m Im Or刘4。004刘△00 △q->0 △Q)r 度规系数h=Or ar ar 06 I ar 单位基矢e 06 ho ao

z x y   r sin cos sin sin cos x r y r z r            r e e er  xyz r x yz   , ,    2．球坐标 1 2 3 r C C C      坐标面 r e  e  e 11 1 r r hr h h               rr r ee e r hh h r             rr r 单位基矢 度规系数 00 0 , , , lim lim lim r r r r r                                        r rr rr r 基矢

位矢r=[sn( cos pe, t sin e)se r=re ar sin e cos e+sin ge)+cos.=e. h=1 06 r cose(cos pe,+sin oe,)-sinee =reo ho= ar rsin0-sin e +cos pe=rsin 0 rsIn eaeB=a,B=1,2,3()r,O,q正交系 e.×e。=e 9ea×en=e, e=e右手系 dr d6+ 06 or dg= dre,. +rd eee+rsin d pe g ds)=drdr=(dr)+r(d0)+r sin eldo)2

      sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos 1 sin sin sin x y zr xy z x y r h r r r hr r r hr                                         e e ee e e ee ee e r r r , 1, 2,3 , , r e e             正交系 右手系 sin cos sin cos   x y z   r       r ee e d d d d d d sin d r r rr r r                  rr r r ee e r 位矢 r e  r      2 22 2 2 22 d d d d d sin d s rr r    r r    r rr         ee e ee e ee e

3.柱坐标 xex tyer tze =r(p,g x=pcos p y=psin p p 坐标面 2=2 度规系数 dI ar I ar i ar 1 ar 单位基矢e 位矢 plcos e + sin e,)+ze

z y x  z   e  e z e cos sin x y z z           r e e er  x y x yz  z z , ,   1 2 3 C C z C      坐标面 111 z z h h hz              r rr eee z hhh z            r rr 单位基矢 度规系数   cos sin x y z r e ee     z 3．柱坐标 位矢

ar cos pe +sin pe ar p(sin pe,+cos pe, )=peo ho=p ar h=1 ea·e=ana,B=1,2,34>p,,z正交系 e=ee×e2=e,e2xe,=e右手系 r=p(cos pe,+sin oe, )+se. r=pe, +ze ar dr 0+-dq+xd= dpe, + pdpe。+d (ds)=drr=(dp)2+p2(d)+(d)2

  cos sin sin cos 1 1 z x y x y z h h h z                              e ee e ee e r r r , 1, 2,3 , ,z e e             正交系 右手系 z z     ree d d d dd d d z z z z               rrr r e ee        2 2 22 2 d dd d d d s z    r r     cos sin x y z r e ee     z          zz z ee e ee e ee e

4.正交曲线坐标系中的速度与加速度表示 1 ar ar r=xe tye, +.=r(g1,q2,q ha(a) e=o正交条件d=2a4=2 l)=∑ eegh hada dq=∑(hdqn) B a=1 ar 速度 ∑ ∑h29 (q9)=∑2hhn99=∑(h9) a, B 加速度a=F=∑ ae a=ena 1 d a ha dt aqa(2) aqa(2

4．正交曲线坐标系中的速度与加速度表示 r e e er  x y x yz z qqq  123 , ,      1 h hq q            r r eq q 3 3 1 1 d dd q hq q               r e e       r e 速度     3 3 2 2 ,1 1 d dd d s hh q q h q               e e 3 1 3 1 q h q q              vr e   r    加速度 1 3 2 2 1 d d2 2 a v v a h tq q                             a ea r  e      3 3 2 2 2 ,1 1 v v hhqq hq ,            qq e e      正交条件

加速度公式的证明 q=(q,9293)r=r(q)=∑ -qB=v(1,q B ar ∑ ar qB oqa B=1 O d ar ar dt aqo 2e10qa() 3 a(or gs ada (p=l cga a ∑ ha.=he·a=i ar d. a d a 1 ar dt a h a d(. ar da(f产a qa dt aq( 2 2

3 3 q q 1 1 q qq q                           r r  r r    加速度公式的证明       3 123 1 qqq q ,, , q           r q r r q r v qq    33 3 11 1 d d q qq tq q qq qq q q                                               r r rrr    d d d d 2 d d d 2 d ha h q t t q q q q t q q t                                                      r r r ear r r rr rr r r r  r           1 h q       r e

例1球坐标系中的速度、加速度表示 h ,=l he=r h,=rsin 8 v=∑h9 qe =re tree,+rosin ge y2=∑(h29)=12+r202+r2sin20 r-re--r sin 0 hnda2丿ar(2 d a d(r 0)-re sine cos0 he dt a2)a0、2 r6+2re-r sin 0 cos 0 d v r sin dta( 2)a (2 rsin e di rosin 6+ rosin 0+2rep 0

例1 球坐标系中的速度、加速度表示 1 sin r h h rh r      3 1 sin r h q r r r         v e   e   e e        2 2 3 22 22 2 2 1 v r h q r r sin                   2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 sin 2 sin co 1 d d2 2 1 d 1d sin cos d2 2 d 1d 1 d 2 s 2 s r r v v h tr r v v r r h t rt v v ht r a rr r a r rr a                                                                                                 2 2 sin 2 d sin 2 c sin n d os i r t rrr               