《二阶偏微分方程、黎曼几何、张量参考》第十章 二阶线性偏微分方程的分类

重点卓点 第十章二阶线性偏微分方程的分类 重点:二阶线性偏微分方程的基本概念; 分类方法和偏微分方程的标准化 难点:常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法; 偏微分方程求解。 本章知识点提要: 1本章主要描述了二阶线性偏微分方程的分类方法 从理论上证明了,对于二阶线性偏微分方程 -+E(x,y) 若设判别式为A=Bx-44xy(xy,则二阶线性偏微分方 程分为三类 当△>0时,方程称为双曲型 当△=0时,方程称为抛物型; 当△0,所以特征曲 线是两族不同的实函数曲线,通过自变量变换,则原偏微分 方程变为下列形式 a'r 称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式 (2)抛物型偏微分方程:判别式△=0,特征曲线是一族 实函数曲线

重点难点 第十章 二阶线性偏微分方程的分类 重点：二阶线性偏微分方程的基本概念； 分类方法和偏微分方程的标准化. 难点：常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法； 偏微分方程求解 。 本章知识点提要： 1 本章主要描述了二阶线性偏微分方程的分类方法. 从理论上证明了，对于二阶线性偏微分方程 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u u u u u A x y B x y C x y D x y E x y F x y u G x y x x y y x y      + + + + + =       若设判别式为 2  = − B x y A x y C x y ( , ) 4 ( , ) ( , ) ，则二阶线性偏微分方 程分为三类： 当  0 时，方程称为双曲型; 当 = 0 时，方程称为抛物型; 当  0 时，方程称为椭圆型; 2 二阶线性偏微分方程的标准化 通过自变量变换使得二阶线性偏微分方程转化为标准 类型. 其变换对应于特征线方程： d d 2 ( ) 0 d d y y A B C x x − + = 该常微分方程的特征曲线族分别对应于（1）两个实函 数族；（2）一个实函数族；（3）一对共轭复函数族． （1）双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式 2  = −  B AC 4 0 ，所以特征曲 线是两族不同的实函数曲线，通过自变量变换，则原偏微分 方程变为下列形式 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u D u E u F G              = + + −   称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式. （2）抛物型偏微分方程：判别式 = 0 ，特征曲线是一族 实函数曲线．

通过自变量变换,则原偏微分方程变为 =D2(5,)u2+E(5,川n+F2(5,)-G(5,m) 上式称为抛物型偏微分方程的标准形式 (3)椭圆型偏微分方程 椭圆型偏微分方程的判别式△<0,特征曲线是一组共轭 复变函数族.通过自变量变换,则偏微分方程变为 auau aan=D(5,n)+E1(5n)n+E(5,m川-G(5, 称为椭圆型偏微分方程的标准形式 3.二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 (1)双曲型m7=A=15m a (2)抛物型 ar'shv-J,( 5, n) (3)椭圆型 y=h2v-J3(,7) asan 解题思路 求方程un-ax=0的通解 【解】此方程是双曲型的第二标准形,我们可将其化成第 一标准形的形式,由特征方程求特征线.于是:(d 即 x+ar 有n=x-a由复合函数求导法则 u, =uES+unn =us +un u =u.+uL. +u+u =u.+ l1=l25+1n=l4-l2a u,=a(us -2uen +un) 所以方程n=a2mn可以化简为4n=0,从而解得=(5)+f(m), 其中为任意函数。原方程的通解为=f(x+a)+f(x-an)

通过自变量变换，则原偏微分方程变为 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u D u E u F u G             = + + −  上式称为抛物型偏微分方程的标准形式． （3）椭圆型偏微分方程 椭圆型偏微分方程的判别式  0 ，特征曲线是一组共轭 复变函数族．通过自变量变换，则偏微分方程变为 2 2 2 2 3 3 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u u D u E u F u G               + = + + −   称为椭圆型偏微分方程的标准形式． 3.二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 (1)双曲型 2 2 * * 2 2 1 1 ( , ) u u h J       − = −   v (2)抛物型 2 2 2 2 h J ( , )     = −  v v (3)椭圆型 2 3 3 h J ( , )      = −   v v 解题思路 求方程 0 2 utt − a uxx = 的通解． 【解】此方程是双曲型的第二标准形，我们可将其化成第 一标准形的形式，由特征方程求特征线．于是： 2 d 2 0 d x a t     − =   即 d d x a t =  有 x at x at    = +   = − 由复合函数求导法则 x x x u u u u u     = + = +   2 xx u u u u u u u u = + + + = + +        ( ) 2 2 t t t tt u u u u a u a u a u u u        = + = −   = − + 所以方程 utt a uxx 2 = 可以化简为 u 0  = ，从而解得 u f f = + 1 2 (  ) ( ) ， 其中 1 2 f f , 为任意函数。原方程的通解为 u = f (x + at)+ f (x − at) 1 2 ．