《微分几何在物理学中的应用》PDF电子书（共七章）

目 录 第一章张量分析 1 1.1张量… 1 51.2联络与协变微分 51.3曲率张量 14 1.4标架 20 §1.5外微分运算… 25 51.6算子8与△ ……35 1.7局部映照 43 第二章四维空间 52.1四维空间的曲率张量 48 52.2V(1)规范场;磁单极;电磁辐射条件…52 52.30(4)规范场;同步对称解;类粒子解60 2.4旋量;SL(2,C)规范场 6 52.5ang- -Mills场 0 第车章旋量分析 3.1常用张量的旋量形式 86 53.2Wey!旋量的分类…… 97 53.3Wcy1张量的分类……107 53.4eyl旋量的特征双向量和主方向…119 35能量、动量、张量的分类… ●-22 第四章N-P方程 §4.1拟正交标架… …145 54.2 Einstein方程的旋量形式… 152

4.3 Goldberg-Sachs-定理 159 54.4平面波前引力波(PP波) 65 第五章微分流形 55.1微分流形与微分映照…175 §5.2 Stokes定理 184 55.3 Frobenius定理 …191 55.ard定理 …206 55.5 Whitney定理……214 55.6横截(transversality)定理…………223 第六章·黎曼几何 56.1切从与线性联络…229 56.2平行移动;测地线…234 63黎曼流形240 56.4相对曲率量; Gauss-Codazzi-方程243 6.5黎曼联络… …252 56.6完备的黎曼流形…259 56.7等度变换…264 第七章测地线的指数和比较定理 7.测地线的变分… 270 57.2 Jacobi场;测地线的共轭点…274 §7.3 Gauss引理的推广280 57.4测地线的指数式…… 285 57.5 Morse-Schonberg-比较定理 294 57.6 Rauch比较定理301 57.7 Hadamard-Cartan-定理 …305 iv

第一章张量分析 §1.1张量 令Rm代表所有m个实数x=(x…,x)组成的空 间,x也称为Rm的点.x(j=1,2,…,m)称为x点的坐 标。在R的任两点x与y之间可以引进一度量 」x-y」={(x2-y)2+ )2},(111) 称为欧氏度量.于是可由此定义Rm的一拓扑 设V是R″中的开集,映照f:V→把V映人R"的 子集的,设x∈V映为x∈爷,表示为 于是x的坐标x与x的坐标x(a=1,…n之间有一函 数关系 x°=(x)=f(x2 f(x)称为映照函数。如果所有的f∈C(T)(C(V)表示在v 中,有r次连续偏微分的函数集合),则f称为r次可微分映 照.今后如非有特别说明,为方便起见,我们说可微分函数是 指可无穷次微分函数,而微分映照则是指无穷次可微分映照 目前暂考虑也是Rm的开集微分映照f:V→P是 一一对应的,且映照函数 (112) 的函数方阵

arI ar1 6 (11.3) ar orm 是非异的情形。此时,变换(1.1.2)称为局部坐标变换或简称 坐标变换 令K代表实数城或复数域,GL(N,K)表示矩阵元素属 于K的NXN非异方阵所成的群.由于GL(N2K)是欧氏 空间KN的开集,其么元素即单位方阵I,必有KM中的邻 域仍然包含于GL(N,K) 设G是GL(NK的子群,它满足下述条件 ()存在GL(Nk)单位方阵I的邻城慼。,使得 G∩的元素与R的原点的邻域W={a=(1,…,d) ∈R]]al<ε,a=1,……,r}的点一一地对应,并且如 A∈Gn,=(4B)sa,Bs则 是σ的实解析函数,其函数矩阵之秩为r。为简便起见,我 们记A()=(A().此外假定A(0)=J (i)存在实解析函数φ(σ,)=(φ(,x)……,ψ(,x)) 在Gar)∈W。×W。(0<Et≤6)定义的乘法函数,使 得ψr)∈W且 A(σ)()=A(中(x 这时G称为r维矩阵李群 若B∈G,但B0k令 B0={B∈G|B=B04,A∈}, 则当B∈B0那。时,能写为 b=lnA():a∈w

这证明G中的任一元素可用a∈W的参数来表示 设G是r维N×N矩阵李群,又设任一坐标变换( 1.2)对应于f卩→俨有一陕照qpv:V→G使得当x qp(x)∈B。因而可写qy(x)=BA()时,参数是x 的可微分函数.此外,如有f:→是另一坐标变换,则有 甲(x)=q(xqp(x), (114) 其中φv是相应于坐标变换ff:V→萨的映照qy:v G,而(1.1.4)右边的乘法表示矩阵乘法。这些qp(x)称为 联接方阵 在V的x点的一G型张量,即在x点有一组数(x) (a=1,…,N),使得对任一坐标变换(L.12)对应于的x 点有一组数(G),适合 ()∑[qp(x)]距 (115) 其中[甲p(x)]是联接方阵甲(x)的矩阵元素 如果每一点x∈V,都有一G型向量5(x)是x∈V的 连续函数,且联接矩阵也是连续的,即矩阵的元紊是x∈V 的连续函数,则ξ(x)称为在V中的G型向量场.通常假定联 接矩阵是可微分的。如5(x)是在v可微分的,则称为V中 的可微分的G型向量场 显然,所有在x点的G型向量成实数域或复数域下的N 雄线性空间,用T来表示。T的对偶空间用7表示,众 所周知,任一【∈存在一组数(x),使得对任一E∈r 其分量为§“(x)时有 t(5)=2t2(x)5 其中(x)称为的分量显然,经过局部坐标变换(1.1.2)

对应于x的分量E2(满足如下的关系: 2。()=∑5(x)qv(x)] 其中φ(x)表φp(*)的逆方阵。}称为G型协向量.反 之,如在V的点x有一组数(x)连续依赖于x,,对局部 坐标变换满足(1.16),则{u(x)定义→x点的G型协向量 最显然的情形是G=1.此时的G型向量称为标量.在 v的标量场即中的函数 设在x∈V有一组量T¨3(*)(吗,…a,B…,同 1,…,N),它经坐标变换(11.2)有如下的变换关系 (x)=[ detp p(x)]r如 【甲(x)]…[甲v(x)]φv(*)][影(x)],(11) 则称为x点的G型的权σ的r阶逆变,「阶协变张量这里我 们利用和号省略,即有指标相同的代表对此指标从1到N求 和.今后如非特别声明皆按此规定处理 当权a=0,Ta1-(x)简称为x点的G型的r阶逆变 阶协变张量 微分几何中最常见的群G是GL(m,R),即所有m×m 实非异方阵所成的群,而取甲()=,此时我们不必 说是GL(m,R)型张量,而简称为张量便可以了。x点的向 量所成的线性空间就简写为T。x点的向量最简单的例子 是过x点的一可微分曲线x=x()的切线: 而协变向量的最筒单例子是x点附近可微分函数中(x的偏 微分

6小(x) ar 当j一配; 0,当j÷ 很容易地证明,这是一阶逆变以及一阶协变的张量、又令 82……8 ,=|… (119 8…出 这称为 Kronecker a符号,容易证明这是r阶逆变和r阶协 变张量。此外,它有如下性质:任两逆变指标互换,或任两协 变指标互换时差一负号,并且如果j1…,j中有一指标不 同于和,时,则8“,=0 S12联络与协变微分 设G是r维N×N矩阵李群,据§1.1矩阵李群定义有 乘法函数ψ(a,r)(a=1,…,t).令 a(o,r) a3b=1, 由于φ(σ,0)=口及(0,x)=四,故有a(0)=a,b 1,,r)因此,当正数e1充分小时,方阵(4(σ)) 当σ∈W,是非异的.令(v(o)≤a,b是它的递方阵.由51.1 矩阵李群定义的条件(i)可知,当A(a),A(r)∈奶2时,有 A()9(-∑2(20(2,a=1,…,(12 取 而令

T aAO (123) 这是N×N常数方阵,它们是线性独立的,如若不然,有一 组数…2使得Sλ“7。=0,于是有 hood( ar 令A(x)=(4))1<m上式即 2° 0(x 这与51.1矩阵李群的定义()中所说A()的函数矩阵之 秩为r根矛盾令9为以T…,7为基生成的线性空间T 称为对于参数a…d的自然基.令x≈0,我们由(1 22),得出 4(oT= 0A() a() 我者 d()0-∑()rnb-1,…,(1.24) 若B∈B,便能写成B=Bo(σ),此时有 OB A 0A(a) ∑吡(),b如1,… 这证明对G中任一方阵B,B-10能够用常数方阵T的 线性组合来表示,其系数va()是σ的实解析函数 当,r∈,由

∑a("(x)T4() ( (124) adb 我们对(1.2.4微分,有 82A 18 d10=S9 把a与b交换而相减,得出 ad aA ad A 0A→A 1 6 av4 avi 6b8 取 而令常数 a()_0(a 6 便有 TT 在9中引进如下乘法: TT T,T,- tbT 如X,Y∈X=“T。Y=zT则 Xy]=∑xn[T,7l 上面已经证明 T如T小=∑c7

因此IX,Y1∈0.0称为矩阵李群G的李代数,C称为对 于基T的结构常数 4,由(.2.4)可知 ∑以(A(x)r(r)=A(r)A()() A-(r)A-1(o)A(r) 34Y(x)()( 由于[A(v]-的矩阵元素仍然是r的实解析函数,而 A(x)A()A()=d-(r)A(小(σr))∈G 因此它能够用W,的参数表示,即 A-(r)4(σ)A()=A((,r) (125) 我们得出 ∑()A-(r)2(x) 4-1(W(o, D)a4((,r220ula, +2 aqra ∑叭(町(r) (a,z) 6 令=0,于是有A((0,x))≈I,即(0,)〓0,因此 得出 4-()ToA()=> [dd(r)IET (12.6) 其中 【Ad(x)~/9-(, 设(x)是v中G型可微分向量场,于是经过坐标变换