国防科技大学：《数学建模》课程教学资源（课件讲稿）第四讲 线性规划模型

幼态划模塑 数学建模 Mathematic Modeling) 国防科技大学 教学建模

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幼态划模塑 第四讲 教学建模

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幼态划模塑 第四讲 主要内容:介绍线性规划模型和动态规划模型。 教学建模

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建立糗型 些规刻求解 0-1舰划 、建立模型 性规划问题:求多变量线性函数在线性约束条件下的最优 教学建模

‚55y. Ä5y. ïá. ‚55y¯K¦) ê5y 0-15y !ïá. ‚55y¯Kµ¦õCþ‚5¼ê3‚5å^‡e` Š" ‚55y¯K„/ªµ min z = Xn j=1 cjxj s.t. Xn j=1 aijxj 6 bi i = 1, 2, . . . , m x1, x2, . . . , xn > 0 I‰EŒÆ êÆï

建立糗型 些规刻求解 0-1舰划 、建立模型 性规划问题:求多变量线性函数在线性约束条件下的最优 线性规划问题的一般形式 mn 2= afx≤b2i=1,2,…… xn≥0 教学建模

‚55y. Ä5y. ïá. ‚55y¯K¦) ê5y 0-15y !ïá. ‚55y¯Kµ¦õCþ‚5¼ê3‚5å^‡e` Š" ‚55y¯K„/ªµ min z = Xn j=1 cjxj s.t. Xn j=1 aijxj 6 bi i = 1, 2, . . . , m x1, x2, . . . , xn > 0 I‰EŒÆ êÆï

建立糗型 些规刻求解 0-1舰划 线性规划问题的标准形式 Inn 2 Ci.j ∑叫=b2(≥0)=1,2…,m x1,x2,,xn≥0 教学建模

‚55y. Ä5y. ïá. ‚55y¯K¦) ê5y 0-15y ‚55y¯KIO/ªµ min z = Xn j=1 cjxj s.t. Xn j=1 aijxj = bi(> 0) i = 1, 2, . . . , m x1, x2, . . . , xn > 0 I‰EŒÆ êÆï

建立糗型 些规刻求解 0-1舰划 [说明]任意线性规划问题可化为标准形式。具体如下 1.目标函数标准化maxz=min(-2) 2.约束条件标准化 假设约束条件中有不等式约束 a11+a2x2+…+anxn≤b a1C1+a2x2+……+ ain e≥b 引入新变量rn+1,n+2(称为松弛变量),则以上两式等价 于以下两式: a11+a2x2+…+ ain n+xn+1=b2xn+1≥0 a11+a22+……+anxn-xn+2=bxn+2≥0

‚55y. Ä5y. ïá. ‚55y¯K¦) ê5y 0-15y [`²] ?¿‚55y¯KŒzIO/ª"äNXeµ 1. 8I¼êIOz max z = min(−z) 2. å^‡IOz bå^‡¥kتå ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn 6 bi ½ ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn > bi Ú\#Cþ xn+1, xn+2£¡tµCþ¤§K±þüªd u±eüªµ ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn + xn+1 = bi xn+1 > 0 ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn − xn+2 = bi xn+2 > 0 I‰EŒÆ êÆï

建立糗型 些规刻求解 0-1划 3.自由变量标准化 若变量x无约束,可引入两个新变量可,可, 令x=x1-x1,x1,x1≥0 故以下我们只考虑标准形式,也可以用矩阵形式表示为 mint=cx s t Ar= b ≥0 一般要求,rk(Am×n)=m,m<n 教学建模

‚55y. Ä5y. ïá. ‚55y¯K¦) ê5y 0-15y 3. gdCþIOz eCþ xj Ã姌Ú\ü‡#Cþ x 0 j , x00 j§ - xj = x 0 j − x 00 j , x0 j , x00 j > 0. ±e·‚ÄIO/ª§Œ±^Ý /ªL« min z = c 0x s.t. Ax = b x > 0 „‡¦§rk(Am×n) = m, m < n. I‰EŒÆ êÆï

建立糗型 些规刻求解 0-1舰划 例1某工厂制造A,B两种产品,制造产品A每吨需用 煤9吨,用电4千瓦,3个工作日;制造产品B每吨需用煤5 吨,用电5千瓦,10个工作日。已知制造产品A和B每吨分别 获利7000元和12000元。现该厂只有煤360吨,电200千 瓦,工作日300个可以利用,问A,B两种产品各应生产多少 吨才能获利最大? 教学建模

‚55y. Ä5y. ïá. ‚55y¯K¦) ê5y 0-15y ~ 1 ,ó‚›E A§B ü«¬§›E¬ A zëI^ u 9 ë§^> 4 Z§3 ‡óŠF¶ ›E¬ B zëI^u 5 ë§^> 5 Z§10 ‡óŠF"®›E¬ A Ú B zë©O ¼| 7000 Ú 12000 " yT‚ku 360 ë§> 200 Z §óŠF 300 ‡Œ±|^§¯ A§B ü«¬ˆA)õ ëâU¼|Œº I‰EŒÆ êÆï

建立糗型 些规刻求解 0-1划 解]x1,x2分别表示A,B两种产品的计划生产数(单 位:吨),∫表示利润(单位:千元),则 ∫=7x1+12x2 耗煤量为9x1+5x2,耗电量为4x1+5x2,耗工作日3r1+10x2, 于是得规划模型 教学建模

‚55y. Ä5y. ïá. ‚55y¯K¦) ê5y 0-15y [)] x1, x2 ©OL« A§B ü«¬Oy)ê£ü  µë¤§f L«|d£ü µZ¤§K f = 7x1 + 12x2 Ñuþ 9x1 + 5x2, Ñ>þ 4x1 + 5x2, ÑóŠF 3x1 + 10x2, u´5y.µ max f = 7x1 + 12x2 s.t.    9x1 + 5x2 6 360 4x1 + 5x2 6 200 3x1 + 10x2 6 300 x1, x2 > 0 I‰EŒÆ êÆï