《理论力学》课程教学资源（文献资料）理论力学教具DIY系列（三..._悬崖勒马玩具的原理及分析_高云峰

力学与实践第42卷第6期2020年12月理论力学教具DIY系列（三)悬崖勒马玩具的原理及分析高云峰1)（清华大学航天航空学院，北京100084)我曾经为学生设计过一个“悬崖勒马”的探究项端为a1，距离底部为b1：系绳处距离底部为h：配重目：小马身上连一根绳子，加上配重后，可以让小马质量为m2：绳长为l，不计质量且不可伸长：台面长走到悬崖边上（桌面边界当悬崖，图1）。让学生探究为L，摩擦系数为μi。装置各部分受力图见图3，这配重与小马的运动学和动力学关系，即如何让小马阶段绳子拉动小车运动，绳子与台面角度为6，边-缘A点考虑为一段微小圆弧（只影响绳子与接触面不落下悬崖但是又尽可能走得远？的张角，不影响水平位移），摩擦系数为P2，绳子与小马模型圆弧的张角为元/2－9。绳子3m1.C0配重桌子2Cbita图1探究活动后来中央电视台导演到我实验室参观，对我设图2模型示意图计的一些科学游戏（包括悬崖勒马）很感兴趣，后面T就合作变成了《加油！向未来》节目中的大型游戏。n/2-§节目中把小马改为小车，人坐在其中。把人和小车作为一个整体，配重暂不考虑尺寸大小。即使这样简化后，装置的运动也是很复杂的，原因是它的自由度在T+1~5之间变化。CT+1第一阶段建模mmigT这一阶段小车完全在台面上运动，系统有一个29N自由度：小车质心位移工。装置的模型见图2，参数如下：小车长为a，高为b，质量为m1：质心距离前图3第一阶段受力图本文于2020-02-14收到。1)E-mail:gaoyunfeng@tsinghua.edu.cn引用格式：高云峰.理论力学教具DIY系列（三）悬崖勒马玩具的原理及分析.力学与实践，2020，42(6)：783-787Gao Yunfeng.Analysis of the toy"Back from the Brink".Mechanics in Engineering, 2020, 42(6):783-787(C)1994-2023ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.All rightsreserved.http://www.cnki.net

第 42 卷 第 6 期 力 学 与 实 践 2020 年 12 月 理论力学教具 DIY 系列 (三) 悬崖勒马玩具的原理及分析 高云峰 1) (清华大学航天航空学院, 北京 100084) 我曾经为学生设计过一个 “悬崖勒马” 的探究项 目：小马身上连一根绳子，加上配重后，可以让小马 走到悬崖边上 (桌面边界当悬崖，图 1)。让学生探究 配重与小马的运动学和动力学关系，即如何让小马 不落下悬崖但是又尽可能走得远？ ሿ傜⁑ර 㔣ᆀ 䝽䟽 Ṽᆀ 图 1 探究活动 后来中央电视台导演到我实验室参观，对我设 计的一些科学游戏 (包括悬崖勒马) 很感兴趣，后面 就合作变成了《加油！向未来》节目中的大型游戏。 节目中把小马改为小车，人坐在其中。把人和小车作 为一个整体，配重暂不考虑尺寸大小。即使这样简化 后，装置的运动也是很复杂的，原因是它的自由度在 1 ∼ 5 之间变化。 1 第一阶段建模 这一阶段小车完全在台面上运动，系统有一个 自由度：小车质心位移 x。装置的模型见图 2，参数 如下：小车长为 a，高为 b，质量为 m1；质心距离前 端为 a1，距离底部为 b1；系绳处距离底部为 h；配重 质量为 m2；绳长为 l，不计质量且不可伸长；台面长 为 L，摩擦系数为 µ1。装置各部分受力图见图 3，这 一阶段绳子拉动小车运动，绳子与台面角度为 θ，边 缘 A 点考虑为一段微小圆弧 (只影响绳子与接触面 的张角，不影响水平位移)，摩擦系数为 µ2，绳子与 圆弧的张角为 π/2 − θ。 m1 m2 b1 a1 h a b x C C A y o θ 图 2 模型示意图 m2 m2g m1g m1 T1 T1 T2 T2 x A C x F N θ p/2−θ θ 图 3 第一阶段受力图 本文于 2020–02–14 收到。 1) E-mail: gaoyunfeng@tsinghua.edu.cn 引用格式: 高云峰. 理论力学教具 DIY 系列 (三) 悬崖勒马玩具的原理及分析. 力学与实践, 2020, 42(6): 783-787 Gao Yunfeng. Analysis of the toy “Back from the Brink”. Mechanics in Engineering, 2020, 42(6): 783-787

784力学与实践2020年第42卷根据各部分的受力情况，可以列出动力学方程如下方程及补充条件为miz=-F+Tsinβ0 = N- m1g - Ti cosβmi=Ticoso-Fm2l*β= -m2g sin β- (m2 + na) cos β-O=N-m1g-Tisingnl*p(3)(1)m2=m2g-T2mzl*β2=Ti+(m2+ni)sinβ-Tie(n/2-0)μ = T2m2gcosβF=μNF=μN其中tan=h/(L--a1)。其中*=1,β≥0;1*=1-h,β0，可以得(4)到小车从静止到运动的临界质量比为T(h-bi)sinβ > 0μ1e(0.5元-00)μ2该条件一旦满足（已经不安全了），进行第三阶段。(2)*=m2/m1=cosGoμisinGo3第三阶段建模其中tano=h/(L-a1)。方程(1)适用的范围是+a1≤L(即小车前缘第三阶段受力图如图5所示。当小车超出桌面没有冲出边界），一旦小车冲出边界，绳子就会摆动较多时且产生转动时，系统有三个自由度：小车质心起来，受力图和方程都要改写了，进入第二阶段。位置和y、转角α、绳子摆角β，但是由于小车与台面接触还有一个约束方程2第二阶段建模bi(L-r)sina(5)AcOSCOSQ第二阶段受力图如图4所示。当小车前缘超出了桌面平动时，系统有二个自由度：小车质心位移工、绳子摆角β。绳子摆动时可以考虑空气阻尼（如Tmi果小车停止在平台上，绳子长时间摆动)。E1Be.CtBBaxm.cm1g7Nmag319F1iBNmigmi+nimzanymTnip图5第三阶段受力图m2g这时要注意绳子端点B的加速度为图4第二阶段受力图aB=+[(h-bi)cosa-aisinaja-小车的动力学方程直接可以列出，但要注意配[ai cos aα + (h - bi) sin a]?(6)重的悬挂点在运动，可以采用非惯性系中的处理方aBy=j-[aicosα+(h-bi)sinaja-法，加上牵连惯性力后再列相对运动微分方程，得到[(h -bi) cosa - a1 sina]a?(C)1994-2023ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.All rightsreserved.http://www.cnki.net

784 力 学 与 实 践 2020 年 第 42 卷 根据各部分的受力情况，可以列出动力学方程 及补充条件为 m1x¨ = T1 cos θ − F 0 = N − m1g − T1 sin θ m2x¨ = m2g − T2 T1e (π/2−θ)µ = T2 F = µN    (1) 其中 tan θ = h/(L − x − a1)。 方程 (1) 是微分−代数方程，在数值计算中，可 以先把 x¨ 当作代数量，求出 x¨ 后再求微分方程 (在 下一篇中详细介绍)。在方程 (1) 中令 x >¨ 0，可以得 到小车从静止到运动的临界质量比为 η∗ = m2/m1 = µ1e (0.5π−θ0)µ2 cos θ0 − µ1 sin θ0 (2) 其中 tan θ0 = h/(L − a1)。 方程 (1) 适用的范围是 x + a1 6 L (即小车前缘 没有冲出边界)，一旦小车冲出边界，绳子就会摆动 起来，受力图和方程都要改写了，进入第二阶段。 2 第二阶段建模 第二阶段受力图如图 4 所示。当小车前缘超出 了桌面平动时，系统有二个自由度：小车质心位移 x、绳子摆角 β。绳子摆动时可以考虑空气阻尼 (如 果小车停止在平台上，绳子长时间摆动)。 m2 m2x+nx m2g m1g m1 T1 C T1 x x F N β β lβ 2 lβ . . . . nlβ . 图 4 第二阶段受力图 小车的动力学方程直接可以列出，但要注意配 重的悬挂点在运动，可以采用非惯性系中的处理方 法，加上牵连惯性力后再列相对运动微分方程，得到 如下方程 m1x¨ = −F + T sin β 0 = N − m1g − T1 cos β m2l ∗β¨ = −m2g sin β − (m2x¨ + nx˙) cos β− nl∗β˙ m2l ∗β˙2 = T1 + (m2x¨ + nx˙) sin β− m2g cos β F = µN    (3) 其中 l ∗ = l, β > 0; l ∗ = l − h, β 0 (4) 该条件一旦满足 (已经不安全了)，进行第三阶段。 3 第三阶段建模 第三阶段受力图如图 5 所示。当小车超出桌面 较多时且产生转动时，系统有三个自由度：小车质心 位置 x 和 y、转角 α、绳子摆角 β，但是由于小车与 台面接触还有一个约束方程 y = b1 cos α + (L − x) sin α cos α (5) m m2 2aBx m2aBy m2g m1g m1 T1 T1 A C N F B lβ 2 lβ . . β β α 图 5 第三阶段受力图 这时要注意绳子端点 B 的加速度为 aBx = ¨x + [(h − b1) cos α − a1 sin α]¨α− [a1 cos α + (h − b1) sin α] ˙α 2 aBy = ¨y − [a1 cos α + (h − b1) sin α]¨α− [(h − b1) cos α − a1 sin α] ˙α 2    (6)

785第6期高云峰：理论力学教具DIY系列（三）悬崖勒马玩具的原理及分析不考虑空气阻尼，从而得到系统的动力学方程为T2和92。不过动力学方程却很简单，有mi+Fcosa-Nsina-Tisinβ=0miz=0mig-Fsinα-Ncosα+Ticosβ=-m1gm1j=-m1gJα= f(α,β,F,N,T)(9)J&=0(7)m2lβ=m2aBrcosβ-m2(g+aBy)sinβm2i1 = 0m2lp2=m2aBr sinβ-m2(g+aBy)cosβm2j1=-m2gF-μN=06部分计算结果及结论其中f(α,B,F,N,T）是已知函数。方程(7)要与约在一定的配重下，小车前部可以冲出台面边缘束方程（5）和方程（6）联立才能求解。在求解过程而最终停住，其原理是：绳子的拉力是小车前进的动中，一旦满足N=0或小车尾部超出平台边缘，表力，而摩擦力是小车刹车的原因。关键是：绳子拉力示小车脱离台面，进入下一阶段。的水平分量随小车前进而减少，而摩擦力分量随小4第四阶段建模车前进而增加。对于载人游戏，安全是第一位的，所以首先要确第四阶段受力图如图6所示。当小车脱离桌面定配重的范围，即且绳子绷紧时，系统有自由度：小车质心位置工和y、转角α、绳子摆角β。B点的加速度仍是式(6)。L=5:a=1:b=0.5:h=b/21 =6;al =0.8; b1 =0.6Tml = 100; g = 10; mul = 0.2mmu2 = 0.2; nn=10; H = 101BeiBICB小车质量比与最终位移关系如图7所示，从图中可以看出，配重与小车的临界质量比为*=maTm2aBrmigmz/m1=27.43%（具体可由式(2）得到)，m*时小车才能运动起m2gT来。=29.60%时小车前缘已经到了台面的边界★+meaBy(但是安全)，n>35%时小车整体冲出台面边界（危险）。从表演的角度，质量比㎡~34%时最刺激：前图6第四阶段受力图缘能冲出台面，配重摆动起来，小车最终安全停留从而得到系统的动力学方程为在台面上，根据方程(3)和方程(4)，令加速度为零及mi-Tisinβ=012一方向位移mij+Ticosβ=-mig10(8)Jα= f(α,β,Ti)m2lβ=m2aBrcosβ-m2(g+aBy)sinβm2lβ2=m2aBa sinβ-m2(g+aBy)cosβ危险边界6其中f(α,β,T）是已知函数。在求解过程中，一旦满台面边界4足T≤0，就表示小车与配置之间的绳子松弛了，进入下一阶段。2m0.25第五阶段建模0.30.40.50.6配重与小车质量比当小车与配重之间绳子未绷紧时，是五自由度问题：小车质心位置和y、转角α、配重质心位置图7质量比与最终位移关系(C)1994-2023ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.All rightsreserved.http://www.cnki.net

第 6 期 高云峰：理论力学教具 DIY 系列 (三) 悬崖勒马玩具的原理及分析 785 不考虑空气阻尼，从而得到系统的动力学方程为 m1x¨ + F cos α − N sin α − T1 sin β = 0 m1y¨ − F sin α − N cos α + T1 cos β = −m1g Jα¨ = f(α, β, F, N, T1) m2lβ¨ = m2aBx cos β − m2(g + aBy) sin β m2lβ˙2 = m2aBx sin β − m2(g + aBy) cos β F − µN = 0    (7) 其中 f(α, β, F, N, T1) 是已知函数。方程 (7) 要与约 束方程 (5) 和方程 (6) 联立才能求解。在求解过程 中，一旦满足 N = 0 或小车尾部超出平台边缘，表 示小车脱离台面，进入下一阶段。 4 第四阶段建模 第四阶段受力图如图 6 所示。当小车脱离桌面 且绳子绷紧时，系统有自由度：小车质心位置 x 和 y、转角 α、绳子摆角 β。B 点的加速度仍是式 (6)。 m m2 2aBx m2aBy m2g m1g m1 T1 T1 C B lβ 2 lβ . β . β 图 6 第四阶段受力图 从而得到系统的动力学方程为 m1x¨ − T1 sin β = 0 m1y¨ + T1 cos β = −m1g Jα¨ = f(α, β, T1) m2lβ¨ = m2aBx cos β − m2(g + aBy) sin β m2lβ˙2 = m2aBx sin β − m2(g + aBy) cos β    (8) 其中 f(α, β, T1) 是已知函数。在求解过程中，一旦满 足 T1 6 0，就表示小车与配置之间的绳子松弛了，进 入下一阶段。 5 第五阶段建模 当小车与配重之间绳子未绷紧时，是五自由度 问题：小车质心位置 x 和 y、转角 α、配重质心位置 x2 和 y2。不过动力学方程却很简单，有 m1x¨ = 0 m1y¨ = −m1g Jα¨ = 0 m2x¨1 = 0 m2y¨1 = −m2g    (9) 6 部分计算结果及结论 在一定的配重下，小车前部可以冲出台面边缘 而最终停住，其原理是：绳子的拉力是小车前进的动 力，而摩擦力是小车刹车的原因。关键是：绳子拉力 的水平分量随小车前进而减少，而摩擦力分量随小 车前进而增加。 对于载人游戏，安全是第一位的，所以首先要确 定配重的范围，即 L = 5; a = 1; b = 0.5; h = b/2 l = 6; a1 = 0.8; b1 = 0.6 m1 = 100; g = 10; mu1 = 0.2 mu2 = 0.2; nn = 10; H = 10 小车质量比与最终位移关系如图 7 所示，从 图中可以看出，配重与小车的临界质量比为 η∗ = m2/m1 = 27.43% (具体可由式 (2) 得到)，η η∗ 时小车才能运动起 来。η = 29.60% 时小车前缘已经到了台面的边界 (但是安全)，η > 35% 时小车整体冲出台面边界 (危 险)。从表演的角度，质量比 η ≈ 34% 时最刺激：前 缘能冲出台面，配重摆动起来，小车最终安全停留 在台面上，根据方程 (3) 和方程 (4)，令加速度为零及 0.2 0.3 12 10 8 6 4 2 0 0.4 0.5 0.6 ሿ䖖ࡽ㕈≤ᒣս〫/m 䝽䟽оሿ䖖䍘䟿∄ xᯩੁս〫 ড䲙䗩⭼ ਠ䶒䗩⭼ η∗ 图 7 质量比与最终位移关系

786力学与实践2020年第42卷1500y=b1，β=0，该情况下小车前缘最多可以伸出边界a1m/m1+m2）~0.6m，当然实际上要保守一点。1000但是图7有一个疑问，如果㎡比*稍大一点，压力小车为什么会先运动然后停在台面上？图8是不同质/4号绳子张力量比情况下小车的速度与位移关系，可以看到：不同500质量比情况下小车均是先加速再减速，其中牵引小车摩擦力的绳子角度是关键：开始时6小，拉力T的水平分0量大，小车加速；当小车向前运动使变大后，一方水平合力面拉力T的水平分量变小，另一方面压力分量增加-5002406使摩擦力增加，导致小车减速。如果小车速度降到0水平位移/m之前就到了危险边界（L+aim1/(m1+m2）=5.6m)，图9力随位移变化关系则会冲出台面。3.51500危险台面边界m=30%边界3.0n=35%压力加速分界线1000n=40%(r-s-)/2.5CN/绳子张力2.0AF500mig1N1.5车摩擦力1.000.5水平合力500051015202500126345时间/s小车前缘位移/m图10力随时间变化关系图8不同质量比的位移与速度关系G=90%，方程(3)中β=0,β=0,有另一个问题是，图7中的曲线为什么会有两个miz=-F明显的跳跃？0=N--m1g-T第一个跳跃点是在临界质量处，这好理解：当(10a)m2i=m2g-T2n*小车就会运动，所以在n*处有一个跳跃。另F=μN-一处跳跃发生在刚好冲出台面的情况，也许第二阶段小车到达危险位置时水平速度为零，但是进入第mz=-F三阶段后，小车绕台面边缘A转动起来，又会产生0=N+-m1g-Ti水平的速度分量。m2lB=-m2z(10b)以质量比n=30%为例，看看小车在运动过程0= Ti-m29中各种力随时间（图9)或位移（图10)的关系。可以F = μN+看出水平方向的合力（绳子拉力分量减去摩擦力）开始大于0使小车加速，当小车前缘出了台面后水平分从而得到小车第一阶段最后时刻的压力为N-=量小于0使小车减速。可以看出小车前缘在到达台面mim1+m2)g/（m1m2）=1383N，而第二阶段初边界时各种力都有突变，以压力变化为例，可以从方始时刻压力为N+=（m1+m2)g=1300N，其他力的跳跃也可以类似分析。程(1)和方程(3)中解出跳变的幅度，令方程(1)中(C)1994-2023ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.All rightsreserved.http://www.cnki.net

786 力 学 与 实 践 2020 年 第 42 卷 y = b1, β = 0，该情况下小车前缘最多可以伸出边界 a1m1/(m1 + m2) ≈ 0.6 m，当然实际上要保守一点。 但是图 7 有一个疑问，如果 η 比 η∗ 稍大一点， 小车为什么会先运动然后停在台面上？图 8 是不同质 量比情况下小车的速度与位移关系，可以看到：不同 质量比情况下小车均是先加速再减速，其中牵引小车 的绳子角度是关键：开始时 θ 小，拉力 T1 的水平分 量大，小车加速；当小车向前运动使 θ 变大后，一方 面拉力 T1 的水平分量变小，另一方面压力分量增加 使摩擦力增加，导致小车减速。如果小车速度降到 0 之前就到了危险边界 (L+a1m1/(m1+m2) = 5.6 m)， 则会冲出台面。 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 ሿ䖖ࡽ㕈ս〫/m 㓯⭼࠶䙏࣐ ড䲙 䗩⭼ ਠ䶒䗩⭼ 0 1 2 3 4 5 6 7 xᯩੁ䙏ᓖ/(m.s-1 ) η=30% η=35% η=40% F m1g N C T1 θ 图 8 不同质量比的位移与速度关系 另一个问题是，图 7 中的曲线为什么会有两个 明显的跳跃？ 第一个跳跃点是在临界质量处，这好理解：当 η η∗ 小车就会运动，所以在 η∗ 处有一个跳跃。另 一处跳跃发生在刚好冲出台面的情况，也许第二阶 段小车到达危险位置时水平速度为零，但是进入第 三阶段后，小车绕台面边缘 A 转动起来，又会产生 水平的速度分量。 以质量比 η = 30% 为例，看看小车在运动过程 中各种力随时间 (图 9) 或位移 (图 10) 的关系。可以 看出水平方向的合力 (绳子拉力分量减去摩擦力) 开 始大于 0 使小车加速，当小车前缘出了台面后水平分 量小于 0 使小车减速。可以看出小车前缘在到达台面 边界时各种力都有突变，以压力变化为例，可以从方 程 (1) 和方程 (3) 中解出跳变的幅度，令方程 (1) 中 0 2 1500 1000 500 0 -500 4 6 ≤ᒣս〫/m N/࣋⿽਴ F N T1 T2 ࣋ᒣਸ≤ ࣋঻ ࣋㔣ᆀᕐ ࣋᪙ᬖ ࣋ᒣਸ≤ 图 9 力随位移变化关系 0 10 1500 1000 500 0 -500 5 15 20 25 时间/s N/࣋⿽਴ F N T1 T2 ࣋ᒣਸ≤ ࣋঻ ࣋㔣ᆀᕐ ࣋᪙ᬖ ࣋ᒣਸ≤ 图 10 力随时间变化关系 θ = 90◦，方程 (3) 中 β = 0，β˙ = 0，有 m1x¨ = −F 0 = N − − m1g − T1 m2x¨ = m2g − T2 T1 = T2 F = µN −    (10a) m1x¨ = −F 0 = N + − m1g − T1 m2lβ¨ = −m2x¨ 0 = T1 − m2g F = µN +    (10b) 从而得到小车第一阶段最后时刻的压力为 N − = m1(m1 +m2)g/(m1 −m2µ) = 1383 N，而第二阶段初 始时刻压力为 N + = (m1 + m2)g = 1300 N，其他力 的跳跃也可以类似分析

第6期787高云峰：理论力学教具DIY系列（三）悬崖勒马玩具的原理及分析400最后可以看看小车冲出台面但最终停在台面上350的各种曲线变化：图11中绳子角度开始接近与台面300平行，后来摆动起来，角度产生周期性变化，由于有250空气阻尼，最终静止。图12中摩擦力开始较小，小Z200车接近台面边缘时，绳子拉力方向接近垂直，压力增150-加导致摩擦力增加，小车冲出台面后摩擦力趋于零，100.但由于配重的摆动，导致摩擦力的方向也会变化。50.0--50-210121618068144100时间/s--小车转角Q80图12力随时间的变化关系.-·绳子与垂线夹角β607结语（）悬崖勒马问题看上去简单，但是过程中自由度40数目一直在变化，可以让学生了解到实际问题是如20何建模、分析、计算的。本文解释了悬崖勒马的原理，给出了配重与小车的临界质量比，给出了安全位置和危险位置，分析了压力突变的范围，并对小车运动的整个过程进行了数值仿真，得到了丰富的数据、-205100152025曲线和动画演示，可让学生对这一问题有全面、深入时间/s的了解。图11角度随时间的变化关系(责任编辑：胡漫)(C)1994-2023ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.All rightsreserved.http://www.cnki.net

第 6 期 高云峰：理论力学教具 DIY 系列 (三) 悬崖勒马玩具的原理及分析 787 最后可以看看小车冲出台面但最终停在台面上 的各种曲线变化：图 11 中绳子角度开始接近与台面 平行，后来摆动起来，角度产生周期性变化，由于有 空气阻尼，最终静止。图 12 中摩擦力开始较小，小 车接近台面边缘时，绳子拉力方向接近垂直，压力增 加导致摩擦力增加，小车冲出台面后摩擦力趋于零， 但由于配重的摆动，导致摩擦力的方向也会变化。 0 10 100 80 60 40 20 0 -20 5 15 20 25 时间/s 小车转角α 绳子与垂线夹角β ਴⿽䀂ᓖ/(Ο) 图 11 角度随时间的变化关系 0 2 4 6 8 12 14 400 350 300 250 200 150 100 50 0 -50 10 16 18 时间/s 摩擦力/N F Tx T 图 12 力随时间的变化关系 7 结语 悬崖勒马问题看上去简单，但是过程中自由度 数目一直在变化，可以让学生了解到实际问题是如 何建模、分析、计算的。本文解释了悬崖勒马的原 理，给出了配重与小车的临界质量比，给出了安全位 置和危险位置，分析了压力突变的范围，并对小车运 动的整个过程进行了数值仿真，得到了丰富的数据、 曲线和动画演示，可让学生对这一问题有全面、深入 的了解。 (责任编辑: 胡 漫)