《力学》课程教学资源（文献资料）Green和Stocks定理（数学）

Green定理舆鹰用林琦煜7“数學没有物理是瞎子，物理没有数學是跛子。(Gauss）等人也發現遣结果，Green的秸果1.前信：護我觉得非常之興畜，也更體會伽利略所學智数學的經驗告诉自己“数學是很容：易忘的”追其中的原因乃是因為我們所的数學是瞭解大自然的语言。数學是定羲，定理，證明，種三段式的数學。學数學若知道一些物理護妹（你）永遠没有動機，缺乏直觀，如此的数學如果你不不會感到孤罩。會打退堂鼓我遗的佩服，在逼篇文章我值Green定理是数攀分析中最重要的定将以直觀的角度綫何興物理的觀點來讨理之一，而在三更高難空周的推廣一Green定理。Stokes定理舆散度定理（DivergenceThe微分基本定理可説是微分最重要的orem）则樽成了鹰用数學的基。秸果之一，而線精分是一稚分的推广，因此我們周封線精分是否有相類似的糙果：2.微分基本定理“综积分兴雙重积分（doublein-微分舆分的關係道是微精分的主要房tegral)之關係為何鱼石，實際上這正是牛顿頭莱布尼兹封微精其答案是肯定的一Green定理：分最重要的貢献，透逼這個重要结果一微分基本定理（fundamentaltheoremofcal-沿著封阴曲線C之综积分可化culus)，我們明白微分分實際上是互万C所圈匾域R之一般雙重积一體雨面，彼此是互相可逆的(inverse)。分(面积分)。微分基本定理：f：[a,b]→R离一這個定理最早出現是由英國自我教育的数擎连绩函数且F'=f则物理攀家GeorgeGreen(1793-1841)[~ F(r)dr = /° f(r)da = F(b) - F(a)於1828年研究電擎（electricity）磁摩(magnetism）所發現的，當然俊來高斯(1)25

Green定理與應用 林琦焜 “數學沒有物理是瞎子, 物理沒有數學是跛子。” 1. 前言: 學習數學的經驗告訴自己“數學是很容 易忘的” 這其中的原因乃是因為我們所學的 數學是定義, 定理, 證明, 這種三段式的數學。 沒有動機, 缺乏直觀, 如此的數學如果你不 會打退堂鼓我還真的佩服, 在這篇文章我們 將以直觀的角度從幾何與物理的觀點來討論 Green 定理。 微積分基本定理可說是微積分最重要的 結果之一, 而線積分是一維積分的推廣, 因此 我們問對線積分是否有相類似的結果: “線積分與雙重積分 (double in￾tegral) 之關係為何?” 其答案是肯定的—Green 定理: 沿 著 封 閉 曲 線C之 線 積 分 可 化 為C所圍區域 R 之一般雙重積 分 (面積分)。 這個定理最早出現是由英國自我教育的數學 物理學家 George Green (1793- 1841) 於 1828 年研究電學 (electricity) 與磁學 (magnetism) 所發現的, 當然後來高斯 (Gauss) 等人也發現這結果, Green 的結果 讓我們覺得非常之興奮, 也更體會伽利略所 言: 數學是瞭解大自然的語言。 學數學若知道一些物理讓妳 (你) 永遠 不會感到孤單。 Green 定理是數學分析中最重要的定 理之一, 而在三維與更高維空間的推廣— Stokes 定理與散度定理 (Divergence The￾orem) 則構成了應用數學的基礎。 2. 微積分基本定理: 微分與積分的關係這是微積分的主要房 角石, 實際上這正是牛頓與萊布尼茲對微積 分最重要的貢獻, 透過這個重要結果—微積 分基本定理 (fundamental theorem of cal￾culus), 我們明白微分與積分實際上是互為 一體兩面, 彼此是互相可逆的 (inverse)。 微積分基本定理: f : [a, b] → R 為一 連續函數且 F ′ = f 則 Z b a F ′ (x)dx = Z b a f(x)dx = F(b) − F(a) (1) 25

26数學傅播21卷4期民86年12月追定理告诉我们要計算精分值因此罩位管長内水的渗入率急rof(a)da懂需求得函数f之原函数（prim-(F(r+△r)-F(r)A（水量f(r)= limAr=0體稽△rAitive，或antiderivative）F即可。另外也说F(α+ △r) - F(α)= lim.明了底下之事宝：ArAr-0(3)= F(c)“一个函数之微分的积分值等於该若是整個匾[a,b]则全部渗入管内之水量為函数之遗界值的差。"f(r)dr =F'(r)da换句话说方程式（1）把匾周的精分與作用於其“零雉”（zerodimension）遵界之上的故“分”（零維的分是點之值）連聚起來，F(r)da = F(b) - F(a)f(r)dr =遗零難的遗界是雨個端點a興b。由以上之分析可知微分基本定理之物f(r)=F'(μ)理本寶就是守恒律（conservationlaw)。VIaE+Az微分基本定理之物理意羲：3.線精分之物理意羲：公式（1）我可以比凝如下：如圖所示，一質點受一變化的力作用而沿一已知曲假設有一根直的管子其截面精等於A是固定線移動，而求其所作的功（work），就自然遵不，有水在管内流動與流速篇F（），另外致所的線精分。由於管壁非完全封阴因此管壁四周同时也有平面上任意向量F=（u,)，而水渗入（或渗出)，我們想周的是此渗入率為其沿著曲線切向量（cosT,sinT)，法向量多少？假設水的密度始整等於1）我們取其中(cosv,sinv）之分量分别為一段[，十△来看，在罩位时周内渗入到F = F. (cos T, sin T)= coS T+ sin T遣段管子的水量必须等於沿管子方向流出的F, = F (cosv, sinv)=ucos v+usin v水量與流進的水量之差(4)因為為互餘(F(r+△c)-F(α))×A(高×底面)(2)cos T =- sin V,sinT= sin(5)

26 數學傳播 21卷4期 民86年12月 這定理告訴我們要計算積分值 R b a f(x)dx 僅需求得函數 f 之原函數 (prim￾itive, 或 antiderivative) F 即可。 另外也說 明了底下之事實: “一個函數之微分的積分值等於該 函數之邊界值的差。” 換句話說方程式 (1) 把區間的積分與作用 於其“零維” (zero dimension) 邊界之上的 “積分” (零維的積分是該點之值) 連繫起來, 這零維的邊界是兩個端點 a 與 b。 f(x)=F ′ (x) a b 微積分基本定理之物理意義: 公式 (1) 我們可以比擬如下: 如圖所示, 假設有一根直的管子其截面積等於 A 是固定 不變, 有水在管內流動與流速為F(x), 另外 由於管壁非完全封閉因此管壁四周同時也有 水滲入 (或滲出), 我們想問的是此滲入率為 多少?(假設水的密度始終等於1) 我們取其中 一段 [x, x+∆x] 來看, 在單位時間內滲入到 這段管子的水量必須等於沿管子方向流出的 水量與流進的水量之差 (F(x+∆x)−F(x)) × A (高 × 底面積) (2) 因此單位管長內水的滲入率為 f(x) = lim∆x→0 (F(x+∆x)−F(x))A ∆x · A 水量 體積 = lim ∆x→0 F(x + ∆x) − F(x) ∆x = F ′ (x) (3) 若是整個區間[a, b]則全部滲入管內之水量為 Z b a f(x)dx = Z b a F ′ (x)dx 故 Z b a f(x)dx = Z b a F ′ (x)dx = F(b) − F(a) 由以上之分析可知微積分基本定理之物 理本質就是守恆律 (conservation law)。 3. 線積分之物理意義: 一質點受一變化的力作用而沿一已知曲 線移動, 而求其所作的功 (work), 就自然導 致所謂的線積分。 平面上任意向量 F = (u, v), 而 其沿著曲線切向量 (cos τ,sin τ ), 法向量 (cos ν,sin ν) 之分量分別為 Fτ = F · (cos τ,sin τ )=u cos τ +v sin τ Fν = F · (cos ν,sin ν)=u cos ν+v sin ν (4) 因為 τ, ν 為互餘 cos τ = − sin ν, sin τ = sin ν (5)

Green定理舆應用27而罩位切向量、罩位法向量Green定理：令C属平面上一分段平滑的封阴曲線而其所图匾域属R，假设函数(drdy)(cOS T, Sin T) =P(r,y),Q(,y)爲速绩且一次偏尊数也速ds'ds(dy_dr)绩则等式成立(6)(cosv, sin v) :(ds'dsQOPT.oQ Pdr+Qdy=)dAar-ayC如果将F視爲力则線分+ F,ds =(7)fudr+vdydA(9)JcPQ(力×位移一功）數學的角度：由於曲線C的攀化可大可小一般而所代表的意羲就是功（work）。其次是若將F言亚没有明题的参数式，因此無法直接求線視篇電流密度（currentdensity）或流體速分，然而我們可利用逼近（approxima-度则線稚分tion）的概念來理，正是数學尤其是分析Frds-udy - vdr(8)（analysis）的主要技巧。(電流×位移=電通量）R長方形多遵形ILI.R一長方形所代表的意羲就是電通量（flux）或流體流通C3(ai,br)曲線C之通量，我们在面遗會针封追雨個(ao,b))量作更深入之探。(u,v)CC4Ci(ai,bp)(ao,bo)R之遵界 C = C1+ C2+ C3+ C4$=Vdz+dy?Ci:do ≤≤ai,y=boC2:3=a1,bo≤y≤biC3:ao≤r≤ai,y=biC4:r=ao,bo ≤y≤bi4.Green定理因此利用微分基本定理可得Green定理基本上是線稚分與面分之b F.dr=f P(r, y)da+Q(r, y)dy關保，實際上就是微分基本定理之推廣。JC

Green 定理與應用 27 而單位切向量、 單位法向量為 (cos τ,sin τ ) =  dx ds , dy ds , (cos ν,sin ν) =  dy ds , − dx ds  (6) 如果將 F 視為力則線積分 I C Fτds = I C udx + vdy (7) (力× 位移=功) 所代表的意義就是功 (work)。 其次是若將 F 視為電流密度 (current density) 或流體速 度則線積分 I C Fνds = I C udy − vdx (8) (電流 × 位移=電通量) 所代表的意義就是電通量 (flux) 或流體流通 過曲線C之通量, 我們在後面還會針對這兩個 量作更深入之探討。 4. Green定理 Green 定理基本上是線積分與面積分之 關係, 實際上就是微積分基本定理之推廣。 Green 定理: 令C為平面上一分段平滑的 封閉曲線而其所圍區域為 R, 假設函數 P(x, y), Q(x, y) 為連續且一次偏導數也連 續則等式成立 I C P dx+Qdy = Z Z R ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dA = Z Z R       ∂ ∂x ∂ ∂y P Q       dA (9) 數學的角度: 由於曲線 C 的變化可大可小一般而 言並沒有明顯的參數式, 因此無法直接求線 積分, 然而我們可利用逼近 (approxima￾tion) 的概念來處理, 這正是數學尤其是分析 (analysis) 的主要技巧。 長方形 =⇒ 多邊形 =⇒ R I. R為一長方形 R之邊界 C = C1 + C2 + C3 + C4 C1 : a0 ≤ x ≤ a1, y = b0 C2 : x = a1, b0 ≤ y ≤ b1 C3 : a0 ≤ x ≤ a1, y = b1 C4 : x = a0, b0 ≤ y ≤ b1 因此利用微積分基本定理可得 I C F · d~r= I C P(x, y)dx+Q(x, y)dy

28数學傅播21卷4期民86年12月同理可得"P(r, bo)dc+Q(a, y)dyr9(n) aQ dy dacf Q(r, y)dy =+ / P(r,b1)da+ [Q(ao, y)dyg1(）r雨者合供[ [Q(a, g) - Q(ao, y)]dy1(%-%)asf Pdr + Qdy = /+" [P(r, bo) - P(r,bi)]da最品aAron aPdr dy-a-PQQy00-0)dardyJr-ay追就是Green定理，提供了我們於線分興面精分之關保，但遣個逼近方法有II.假設R可表為個限制就是曲線C必须是有長度曲線（recti-R={(r,y)/a≤r≤b,91(r)≤y≤g2(r)),fiablecurve)，而且遗要用到一致收敏（uni-formlyconvergent）的概念封於更一般的匾C=OR域Green定理仍然是封的，但已經超微精92(μ)分的圖，讀者有與趣可参考微分发何方面的。例题1：利用Green定理计算综积分 (2ry -r2)dr + (r + y)dyg1(r)其中曲線C是由抛物缘y=2典直综y=所图匾域之遗界。ba解：要直接計算線精分势必要将C化爲参数式，然而利用Green定理取我們分别理P(r,y),Q(r,y)P(r,y)=2ry-r2,Q(r,y) =r+y? P(r, y)dc则apQQf, P(r,y)da+d P(r,y)dr1-2rICary-d P(r,y)dr+d P(r,y)da因此CP(a, g1(r)de+ /P(r, g2(a)dc2r)dA原線精分r92(a) P1-(r, y)dy dr-2)dydr:Jgi(r)y30

28 數學傳播 21卷4期 民86年12月 = Z a1 a0 P(x, b0)dx+ Z b1 b0 Q(a, y)dy + Z a0 a1 P(x, b1)dx+ Z b0 b1 Q(a0, y)dy = Z b1 b0 [Q(a, y) − Q(a0, y)]dy + Z a1 a0 [P(x, b0) − P(x, b1)]dx = Z b1 b0 Z a1 a0 ∂Q ∂x dx dy − Z a1 a0 Z b1 b0 ∂P ∂y dx dy = Z a1 a0 Z b1 b0 ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dx dy II.假設 R 可表為 R={(x, y)|a≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x)}, C =∂R 我們分別處理 P(x, y), Q(x, y) I C P(x, y)dx = I C1 P(x, y)dx+ I C2 P(x, y)dx + I C3 P(x, y)dx+ I C4 P(x, y)dx = Z b a P(x, g1(x))dx+ Z b a P(x, g2(x))dx = − Z b a Z g2(x) g1(x) ∂P ∂y (x, y)dy dx 同理可得 I C Q(x, y)dy = Z b a Z g2(x) g1(x) ∂Q ∂x dy dx 兩者合併 I C P dx + Qdy = ZZ R ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dA = ZZ R       ∂ ∂x ∂ ∂y P Q       dA 這就是 Green 定理, 提供了我們關於 線積分與面積分之關係, 但這個逼近方法有 個限制就是曲線C必須是有長度曲線 (recti- fiable curve), 而且還要用到一致收斂 (uni￾formly convergent) 的概念對於更一般的區 域 Green 定理仍然是對的, 但已經超過微積 分的範圍, 讀者有興趣可參考微分幾何方面 的書。 例題 1: 利用 Green 定理計算線積分 I C (2xy − x 2 )dx + (x + y 2 )dy 其中曲線 C 是由拋物線 y = x 2 與直線 y = x 所圍區域之邊界。 解: 要直接計算線積分勢必要將 C 化 為參數式, 然而利用 Green 定理取 P(x, y) = 2xy − x 2 , Q(x, y) = x + y 2 則 ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 1 − 2x 因此 原線積分 = ZZ R (1 − 2x)dA = Z 1 0 Z x x2 (1 − 2x)dy dx = 1 30

Green定理舆應用29利用系之秸果得A.rdy(a cos 0)(b cos do)-ab(1 + cos 20) do = πab1,1)2Jo為著更深入探Green定理.我們再計算一个例题业衍其中得到需感。例题3：已知C篇任意封阴平滑曲線，Green定理说明一封阴曲線C之線精試求線分分興C所圜匾域之面稚分（雙重精分）之關d -yda + rdy保，因此在特殊情形之下，精分之發何意羲(0, 0) g C。r2 +y?Jc篇“面”：例如取QOP解：首先假設（0,0）亚不包含在C之=1r-oy内部，则由Green定理知a-yP(r,y) =Q：r? + y??+y?Pdr+Qdy=1dA=|RQQoP=0通常可取P，Q如下：arayP= 0,Q=r因此由Green定理知= -y,Q=0d -ydr+rdyI/ 0dA=0.P=-{y,Q=1r2+y?系：匾域R由分段平滑的封阴曲線C所其次，若(0,0)在C之内部，此時（0,0)篇圈成，其面积属：一奇翼點（singularity），克服這點的方法就是“避开它”，作一个牛径為p，以（0,0）為圆R=-y dr + r dy心的圆B。考虑匾域rdy(10)ydrOR'=C+OBpR'=R-Bo.例题2：試求椭圆%+岁=1之面。解：将檐圆表為参敷式由於R亚不包含（0.0)，因此利用前面的推;=acoso,y=bsine,-ydr + ady=00<0<2元。22 + y?JaR

Green 定理與應用 29 Green 定理說明一封閉曲線C之線積 分與C所圍區域之面積分 (雙重積分) 之關 係, 因此在特殊情形之下, 線積分之幾何意義 為“面積” : 例如取 ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 1 則由 Green 定理知 I C P dx + Qdy = ZZ R 1 dA = |R| 通常可取P, Q 如下: P = 0, Q = x P = −y, Q = 0 P = − 1 2 y, Q = 1 2 x 系: 區域R 由分段平滑的封閉曲線 C 所 圍成, 其面積為: |R| = 1 2 I C −y dx + x dy = − I C y dx = I C x dy (10) 例題2: 試求橢圓 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 之面積。 解: 將橢圓表為參數式 x = a cos θ, y = b sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π。 利用系之結果得 A = I C x dy = Z 2π 0 (a cos θ)(b cos θ dθ) = 1 2 ab Z 2π 0 (1 + cos 2θ) dθ = πab 為著更深入探討 Green 定理, 我們再計 算一個例題並從其中得到靈感。 例題3: 已知 C 為任意封閉平滑曲線, 試求線積分 I C −ydx + xdy x 2 + y 2 (0, 0) 6∈ C。 解: 首先假設 (0, 0) 並不包含在 C 之 內部, 則 P(x, y) = −y x 2 + y 2 Q = x x 2 + y 2 =⇒ ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 0 因此由 Green 定理知 I C −ydx+xdy x 2 + y 2 = ZZ R 0 dA=0。 其次, 若 (0, 0) 在 C 之內部, 此時 (0, 0) 為 一奇異點 (singularity), 克服這點的方法就 是 “避開它”, 作一個半徑為ρ, 以 (0, 0) 為圓 心的圓 Bρ 考慮區域 R′ = R − Bρ, ∂R′ = C + ∂Bρ 由於R′並不包含 (0, 0), 因此利用前面的推 論; I ∂R′ −ydx + xdy x 2 + y 2 = 0

30数攀傅播21卷4期民86年12月但OR=C+B，故分可化為簡罩的曲線之線精分（例如圆周的線精分)，道就是数攀的精神——将-ydr+rdyd -ydr+rdyr2+y?JaBpr+y?復的周题化為簡罩的周题。-psin0)(-psin odo+(p cos e)(pcos odo)3：若C1,C2為任二不相交的分段平滑(pcos 0)?+(psin 0)2封阴曲線而且都原點(0,0)，则271d=2元d =yda+ rdy= d =yde + rdyJc2+y2Jc22+y?追除了同偷理之外，直接的意羲就是該分封於形變（deformation）是一不變量。另外我們可透極座標（po-larcoordinate）来看：今1：此精分值為2元表示曲線C窥了奇翼 = tan-1 y點（0,0）一圈，而稚分值等於0则是没c有窥到（0,0)，所封應的便是復變函则被精分函数（integrand）成篇数理的髋数（windingnumber），在de = =ydr + rdy流體力學则是環流（circulation)。r2 + y?2：證明的程中我發現沿著曲線C之因此追個線精分實上就是在測量沿著線分等於沿著圆周aB。之線精分，道曲線C（逆时針针方向）角度之化量，當裡面的数攀本實就是同偷理（homo-然若是髋了一圈则其化量篇2元，若topytheory)，因此Green定理可推广是顺时针方向了一圈则其變化量為到罩連通匾域（simplyconnectedre-2元，個概念就是前面所说的窥数gion)，而道正是復變函数研究的一重要主題，同时也明復雜的曲線之線稚(winding number)。ccc(0, 0)(0, 0)(0, 0)髋数=1髋数=0髋数=-1

30 數學傳播 21卷4期 民86年12月 但 ∂R′ = C + ∂Bρ, 故 I C −ydx+xdy x 2+y 2 = I ∂Bρ −ydx+xdy x 2+y 2 = Z 2π 0 (−ρ sin θ)(−ρ sin θdθ+(ρ cos θ)(ρ cos θdθ) (ρ cos θ) 2+(ρ sin θ) 2 = Z 2π 0 1 dθ = 2π 註1: 此處積分值為2π表示曲線C 繞了奇異 點 (0, 0) 一圈, 而積分值等於0則是沒 有繞到 (0, 0), 這所對應的便是複變函 數理論的繞數 (winding number), 在 流體力學則是環流 (circulation)。 註2: 證明的過程中我們發現沿著曲線 C 之 線積分等於沿著圓周 ∂Bρ 之線積分, 這 裡面的數學本質就是同倫理論 (homo￾topy theory), 因此 Green 定理可推廣 到單連通區域 (simply connected re￾gion), 而這正是複變函數論研究的一重 要主題, 同時也說明複雜的曲線之線積 分可化為簡單的曲線之線積分 (例如圓 周的線積分), 這就是數學的精神—–將 複雜的問題化為簡單的問題。 註3: 若 C1, C2 為任二條不相交的分段平滑 封閉曲線而且都繞過原點(0, 0), 則 I C1 −ydx + xdy x 2 + y 2 = I C2 −ydx + xdy x 2 + y 2 這除了同倫理論之外, 直接的意義就是 該線積分對於形變 (deformation) 是 一不變量。 另外我們可透過極座標 (po￾lar coordinate) 來看; 令 θ = tan−1 y x 則被積分函數 (integrand) 成為 dθ = −ydx + xdy x 2 + y 2 因此這個線積分實際上就是在測量沿著 曲線C(逆時針方向) 角度之變化量, 當 然若是繞了一圈則其變化量為 2π, 若 是順時針方向繞了一圈則其變化量為 −2π, 這個概念就是前面所說的繞數 (winding number)。 繞數= 1 繞數= 0 繞數= −1

Green定理舆應用31物理的角度：P(r,y)dy-Q(r,y)dc(14)(dydr)Green定理也可透物理的角度来韶+F.vds,v=Cds.-dsJc識，令R為平面上的平滑曲線C所圖之罩連通匾域，設 C可表篇=r(t),y=y(t)之另一方面我看小矩形，由於由矩形左侧参数式，而向量垂直遵上的流速篇P(c,y),因此罩位时周内有P(r,y)△y的水流入，而同一時間则約有(11)F(r,y) = (P(r,y), Q(r,y))P(+r,y)y的水流出，所以沿r轴方表示流體的速度，我們想計算流體經邀界C向之罩位净流量之通量（flux）.仿照線精分将曲線C分篇若干小段而看其中一段.首先是分量通[P(r + △r, y) - P(r,y)]Ay△s；之通量（斜線部分之面）為ArAyr→0,得極限aP/or同理沿y轴之罩位净流量爲Q/oy因此罩位净流量篇P+而通整个匾域R之全部通量篇arQuA(P +0) drdy(15)JR（r+y）因為水是不可箱（假設的），同一時間的水量必须徙遗界C流出去（實量守伍），故P(a,y)△sicosa其中ai為朝外法向量v與轴之爽角再将各部份全部加起來利f P dy - Qdr用Riemann和知轴部分之分量篇(0P +) drdy_ P(r, y) cos(v, r) ds(12)(16)R(ar+ou）JC同理y轴之分量篇追再次説明Green定理之物理意為“守伍, Q(r,y) cos(v,y) ds律”。(13)因此全部之通量為1[P(c, y) cos(v, r)+Q(r, y) cos(v, y)]dsP(r,9) →4Ay+P(a+Ar,9)VArr+ArTf[P(g ) -(g, )ds

Green 定理與應用 31 物理的角度: Green 定理也可透過物理的角度來認 識, 令R為平面上的平滑曲線 C 所圍之單連 通區域, 設 C可表為x = x(t), y = y(t) 之 參數式, 而向量 F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) (11) 表示流體的速度, 我們想計算流體經過邊界C 之通量 (flux), 仿照線積分將曲線 C 分為 若干小段而看其中一段, 首先是 x 分量通過 △si 之通量 (斜線部分之面積) 為 Pi(x, y)△si cos αi 其中 αi 為朝外法向量 ν 與 x 軸之夾角, 再將各部份全部加起來並利 用 Riemann 和知 x 軸部分之分量為 I C P(x, y) cos(ν, x) ds (12) 同理y軸之分量為 I C Q(x, y) cos(ν, y) ds (13) 因此全部之通量為 I C [P(x, y) cos(ν, x)+Q(x, y) cos(ν, y)]ds = I C [P(x, y) dy ds −Q(x, y) dx ds ] ds = I C P(x, y) dy − Q(x, y) dx (14) = I C F · νds, ν =  dy ds , − dx ds  另一方面我們看小矩形, 由於由這矩形左側 垂直邊上的流速為 P(x, y), 因此單位時間內 有 P(x, y)△y 的水流入, 而同一時間則約有 P(x + △x, y)△y 的水流出, 所以沿x 軸方 向之單位淨流量為 [P(x + ∆x, y) − P(x, y)]∆y ∆x∆y 令 ∆x → 0, 得極限 ∂P/∂x 同理沿 y 軸 之單位淨流量為 ∂Q/∂y 因此單位淨流量 為 ∂P ∂x + ∂Q ∂y 而 通過整個區域 R 之全部通量為 ZZ R  ∂P ∂x + ∂Q ∂y  dxdy (15) 因為水是不可壓縮 (假設的), 同一時間的水 量必須從邊界C 流出去 (質量守恆), 故 I C P dy − Qdx = ZZ R  ∂P ∂x + ∂Q ∂y  dxdy (16) 這再次說明 Green 定理之物理意義為 “守恆 律”。 P(x, y) → ∆y → P(x+∆x, y) x ∆x x+∆x .

32数學傅播21卷4期民86年12月為何curlF,F會被為旋度與散度5. 向量形式之 Green定理呢？我們考虑特殊的匾域R是以（ro,o)由（9）與（16）雨式，我們自然而然引為圆心，牛径是r的圆，则由連性知進向量的概念：1bF.TdsV×F(ro, yo)-k= lim -40元r2F(r, y) = (P(r,y),Q(c, y)) = Pi+ Q-bF.vds(22)VF(ro,yo)=lim(向量场)40元r2Jc所以旋度是罩位面精内之最大流（circula(drdy)tion)而散度是罩位面内之通量（流量(17)ds'ds之變化)，追個形式最大的好不受座標的影(罩位切向量）警，如（18)，（19）雨式，而且透過（22)式yda)dyds'ds)（即利用Green定理）我們可證明旋度和散(罩位朝外法向量）度是與座標無關。1：如果F=VΦ=（中r，中u），向量（vec另外向量場F的旋度（curl）篇tor）F爲钝量（scalar）Φ之梯度（gra-kdient）则（21）式可改寫為是品景curlF=VxF=f ds =Vo.vdsPQOfcOv(aQP)公([VVodA=/[pdA (23)(18)r-dy）函数Φ篇位能函数（potentialfunc-散度（divergence）篇tion)而aPoQdivF-V.F(19)0282EJr+ayA=V.V-(24)r2 +0y2所以Green定理（(9)，(16)）可改离篇则是出名的Laplace算子，這是偏微分F.dr-F.Tds:xF.kdA方程中最重要的算子。(20)2：若取F=uVv.则由向量之計计算得F.vds=V.FdA(21)V.F=-(u)=u(.)+V.Vu分别表示切向量與法向量形式的Green定因此（21)式成篇Green第一等式理，而其物理则分别是“功”（work）與“通dou量”（flux)，（20)，(21）雨式可推广至更高維dsdOy数空間，就是通的Stokes定理與散度定理[uu+Vu.Vu] dA (25)(Divergence Theorem)

32 數學傳播 21卷4期 民86年12月 5. 向量形式之 Green 定理 由 (9) 與 (16) 兩式, 我們自然而然引 進向量的概念: F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) = P~i + Q~j (向量場) τ =  dx ds , dy ds (17) (單位切向量) ν =  dy ds, − dx ds  (單位朝外法向量) 另外向量場 F 的旋度 (curl) 為 curlF = ∇ × F =          ~i ~j ~k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z P Q 0          = ∂Q ∂x − ∂P ∂y ! ~k (18) 散度 (divergence) 則為 divF = ∇ · F = ∂P ∂x + ∂Q ∂y (19) 所以 Green 定理 ((9), (16)) 可改寫為 I C F · d~r= I C F · τ ds= ZZ R ∇ × F · ~kdA (20) I C F · ν ds = ZZ R ∇ · F dA (21) 分別表示切向量與法向量形式的 Green 定 理, 而其物理則分別是“ 功” (work) 與“ 通 量” (flux), (20), (21) 兩式可推廣至更高維 數空間, 就是通稱的 Stokes 定理與散度定理 (Divergence Theorem)。 為何 curlF, ∇F 會被稱為旋度與散度 呢? 我們考慮特殊的區域 R 是以 (x0, y0) 為圓心, 半徑是 r 的圓, 則由連續性知 ∇×F(x0, y0)· ~k = limr→0 1 πr2 I C F · τ ds ∇F(x0, y0) = limr→0 1 πr2 I C F · νds (22) 所以旋度是單位面積內之最大環流 (circula￾tion), 而散度則是單位面積內之通量 (流量 之變化), 這個形式最大的好處不受座標的影 響, 如 (18), (19) 兩式, 而且透過 (22) 式 (即利用 Green 定理) 我們可證明旋度和散 度是與座標無關。 註1: 如果 F = ∇φ = (φx, φy), 向量 (vec￾tor) F 為純量 (scalar) φ 之梯度 (gra￾dient) 則 (21) 式可改寫為 I C ∂φ ∂ν ds = I C ∇φ · ν ds = ZZ R ∇∇φ dA = ZZ R ∆φ dA (23) 函數φ稱為 位能函數 (potential func￾tion) 而 ∆ = ∇ · ∇ = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 (24) 則是出名的 Laplace 算子, 這是偏微分 方程中最重要的算子。 註2: 若取F = u∇v, 則由向量之計算得 ∇·F =∇·(u∇v)=u(∇·∇v)+∇v·∇u 因此 (21) 式成為 Green 第一等式 I C u ∂v ∂ν ds = ZZ R [u∆v + ∇u · ∇v] dA (25)

Green定理舆應用33若u.互换，俊雨式相减则可得Green是微分基本定理之推廣，當然其精神第二等式则是—分部横分（integrationbypart)。dA6.線分的微分基本定理uQuaa(26)在第五筋我們引進了位能函数（poten-追些等式在偏微分方程中扮演著非常重tialfunction)F=Vo之概念，實際上可經要的角色。由全微分（totaldifferential）来理解3：Green定理的最好理手法是利用微分(F.dr=Pda+Qdy形式（differencialforms)），我們簡罩说I do= prdr + pydy明如下：線精分=F.dr=Vo-dr=do(30) Pdr+QdyJC因此之被函数（integrand）為一微分形P=中rQ= Φy，→Py=Qr式 (first order differential form)换為微分方程的语言则是“正合（exact）”。L = P(r, y)d +Q(r,y)dy (27)分的微横分基本定理：假设属一L之全微分（totaldifferential）為可微分函数，且其梯度√Φ属连绩，下爲速接a,b 雨點之任意曲線，则dL= dPdr + dQdyr6= (Prd + Pydy)dr · dr = (6) - (a)(31)Ia+(Qrdr + Qydy)dy追定理的物理意羲（電擎的角度)：沿著=(Qr - Py)drdy(28)電場上雨點胃任一曲線電場所作的功為雨點的電位差，由Green定理可知若F=V因此Green定理可重新葛為微分形式C1,C2為連接a,6之任意雨曲線则(differentialform)f F.dr=F.dr-F.dr Pdr+QdyJcICV× (Vo).kdrdy= 0oPQQdrdyOrOy因此L=dL台(29)F.drF.dr:追個公式同时也说明在匾域R之分及即線稚分舆路径無關（path-independent）其遗界之分雨者之關係，而實際上就换句话，将一物體（或實點）由位置移

Green 定理與應用 33 若 u, v 互換, 後兩式相減則可得 Green 第二等式 I C          u v ∂u ∂ν ∂v ∂ν          ds = ZZ R       u v ∆u ∆v       dA (26) 這些等式在偏微分方程中扮演著非常重 要的角色。 註3: Green 定理的最好處理手法是利用微分 形式 (differencial forms), 我們簡單說 明如下: 線積分 I C P dx + Q dy 之被積函數 (integrand) 為一階微分形 式 (first order differential form) L = P(x, y)dx + Q(x, y)dy (27) L之全微分 (total differential) 為 dL = dP dx + dQdy = (Pxdx + Pydy)dx +(Qxdx + Qydy)dy = (Qx − Py)dxdy (28) 因此 Green 定理可重新寫為微分形式 (differential form) I C P dx + Q dy = ZZ R ∂Q ∂x − ∂P ∂y ! dxdy ⇔ I C L = ZZ R dL (29) 這個公式同時也說明在區域R之積分及 其邊界之積分兩者之關係, 而實際上就 是微積分基本定理之推廣, 當然其精神 則是 — 分部積分 (integration by part)。 6. 線積分的微積分基本定理 在第五節我們引進了位能函數 (poten￾tial function)F = ∇φ之概念, 實際上可經 由全微分 (total differential) 來理解    F · d~r = P dx + Qdy dφ = φxdx + φydy ⇒ F · d~r = ∇φ · d~r = dφ (30) 因此 P = φx Q = φy, ⇒ Py = Qx 換為微分方程的語言則是 “正合 (exact) ”。 線積分的微積分基本定理: 假設 φ 為一 可微分函數, 且其梯度 ∇φ 為連續, ~r 為連接 ~a,~b 兩點之任意曲線, 則 Z ~b ~a ∇φ · d~r = φ( ~b) − φ(~a) (31) 這定理的物理意義 (電學的角度): 沿著 電場上兩點間任一曲線電場所作的功為兩點 的電位差, 由 Green 定理可知若 F = ∇φ, C1, C2 為連接 ~a,~b 之任意兩條曲線則 I C F · d~r = Z C1 F · d~r − Z C2 F · d~r = ZZ R ∇ × (∇φ) · ~k dxdy = 0 因此 Z C1 F · d~r = Z C2 F · d~r 即線積分與路徑無關 (path-independent), 換句話說, 將一物體 (或質點) 由位置 ~a 移

34数學傅播21卷4期民86年12月则對F而言r(ti)至r(t2)所作的功篇至位置6力封物體（寶點）所作的功，懂和物體（寶點）起點位置及點位置有關，而舆其rr(t2)WF.dr運動所遵循的運動路径無關，此时我們向(tidr(t)量场F為保守的（conservative)，而则F (r(t)-dtdt為F之位能函数，定理也告我們duL2u(t)dtmdtVo.dr-F.drp() -Φ(a) =tadm/% (1(t)12) t(32)m2即位能函数可藉由保守力的線分而得。2m [0(t2)P_ 2m|[(t) (35)其中m(t)/?為動能(kineticenergy)6r因此（35）式就是“動能定理”，其物理意羲：合力物體所作的功等於動能的改愛量如果F篇一保守力場，F=-Vo,由線a分的微分基本定理知：(36)W= -0(t2) +(t)6C1则（32）式改寫篇(t1) + ml(t1)2C = C1+ C212aC2= (t2) + -ml(ta)(37)其中中為位能（potentialenergy)，因此動能定理：(37）式就是能量守恒定律（conservationofr(t)=（r(t),y(t))可视篇位置向量函energy).数，则速度舆加速度分别是：dr(drdy)散度之物理意羲：n(t):dtdtdt有了速度的概念之俊，我們觉得追是很der(dr dy)a(t)(33)好的時機來聞释散度（divergence）的物理dt2(dt2dt2意羲，我們可以道鹰想像：假正在喝咖啡物體的寶量m，其所受外力的合力F將奶精倒入杯内，最初形成的圖形為20，而则由牛定律知俊經由拌或其他因素使得20變化，其位drF=mi=m(34)置向量篇（r(t),y(t)）=(s,n)，速度则篇dt2

34 數學傳播 21卷4期 民86年12月 至位置 ~b 力對物體(質點) 所作的功, 僅和物 體(質點) 起點位置及終點位置有關, 而與其 運動所遵循的運動路徑無關, 此時我們稱向 量場 F 為保守的 (conservative), 而φ則稱 為F之位能函數, 這定理也告訴我們 φ(~x) − φ(~a) = Z ~x ~a ∇φ · d~r = Z ~x ~a F · d~r (32) 即位能函數可藉由保守力的線積分而得。 動能定理: ~r(t) = (x(t), y(t)) 可視為位置向量函 數, 則速度與加速度分別是: ~v(t) = d~r dt = dx dt , dy dt ! ~a(t) = d 2~r dt2 = d 2x dt2 , d 2 y dt2 ! (33) 設物體的質量為 m, 其所受外力的合力為 F 則由牛頓定律知 F = m~a = m d 2~r dt2 (34) 則對 F 而言從 ~r(t1) 至 ~r(t2) 所作的功為 W = Z ~r(t2) ~r(t1) F · d~r = Z t2 t1 F (~r(t)) · d~r(t) dt dt = Z t2 t1 m d~v dt · ~v(t)dt = 1 2 m Z t2 t1 d dt  |~v(t)| 2  dt = 1 2 m |~v(t2)| 2 − 1 2 m |~v(t1)| 2 (35) 其中 1 2m|~v(t)| 2 為動能 (kinetic energy), 因此 (35) 式就是“動能定理”, 其物理意義: 合力對物體所作的功等於動能的改變量 如果 F 為一保守力場, F = −∇φ, 則由線 積分的微積分基本定理知: W = −φ(t2) + φ(t1) (36) 則 (32) 式改寫為 φ(t1) + 1 2 m|~v(t1)| 2 = φ(t2) + 1 2 m|~v(t2)| 2 (37) 其中 φ 為位能 (potential energy), 因此 (37) 式就是能量守恆定律 (conservation of energy)。 散度之物理意義: 有了速度的概念之後, 我們覺得這是很 好的時機來闡釋散度 (divergence) 的物理 意義, 我們可以這麼想像: 假設正在喝咖啡 將奶精倒入杯內, 最初形成的圖形為 Ω0, 而 後經由攪拌或其他因素使得 Ω0 變化, 其位 置向量為 (x(t), y(t)) = (ξ, η), 速度則為