西安电子科技大学：《信息论与编码理论基础》课程PPT教学课件（编码部分）有限域

N State Key Laboratory of Integrated Services Networks 国家重点实验室 有限域

State Key Laboratory of Integrated Services Networks 有限域

国家重点实验室 内容 ·近世代数基本知识复习 。子环与理想 。循环群 ·有限域的乘法结构 。有限域的加法结构 。有限域的代数结构 。多项式的因式分解 ·正规基和对偶基

内容 近世代数基本知识复习 子环与理想 循环群 有限域的乘法结构 有限域的加法结构 有限域的代数结构 多项式的因式分解 正规基和对偶基

国家重点实验室 同余和剩余类 。同余 >若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则 称a、b关于模m同余，记券b(modm) >若a三b,(modm),a2≡b,(modm),则 a1±a2≡b±b2(modm),a1·a2≡b·b2(modm) 。剩余类 >给定正整数，将全体整数按余数相同进行分类，可获 得m个剩余类： 0,1,.,m-1 a+b=a+b,a·b=a·b

同余和剩余类 同余 ➢若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则 称a、b关于模m同余，记为 ➢若 则 剩余类 ➢给定正整数m，将全体整数按余数相同进行分类，可获 得m个剩余类： a  b(modm) 0,1,,m −1 a + b = a + b, a  b = a  b 1 1 2 2 a b m a b m   (mod ), (mod ), 1 2 1 2 1 2 1 2 a a b b m a a b b m       (mod ), (mod )

国家重点实验室 同态与同构 代数系统 >满足一定规律或定律的系统称为代数系统。且有： 1.有一群元素构成一个集合； 2.在元素集合中有一个等价关系； 3.在集合中定义了一个或数个运算，通过运算建立起元 素之间的关系； 4.有一组假定。 同态与同构： > 设是代数系统(4，·)到(B,的映射，如果它满足条件 fa1·a2)=fa)*fa2)a1,a2∈A,fa1),fa2)∈B 则称是A到B的同态映射，集合A与B同态。如果同 态映射又是双射，则称为同构映射，集合A与B同构。 若是A到A自身的同构映射，则称为自同构

同态与同构 代数系统 ➢ 满足一定规律或定律的系统称为代数系统。且有： 1. 有一群元素构成一个集合； 2. 在元素集合中有一个等价关系； 3. 在集合中定义了一个或数个运算，通过运算建立起元 素之间的关系； 4. 有一组假定。 同态与同构： ➢ 设f是代数系统(A, ·)到(B, *)的映射，如果它满足条件 f(a1 ·a2 ) =f(a1 ) *f(a2 ) a1 ,a2 ∈A, f(a1 ) ,f(a2 ) ∈B 则称f是A到B的同态映射，集合A与B同态。如果同 态 映射f又是双射，则称为同构映射，集合A与B同构。 若f是A 到A自身的同构映射，则称为自同构

国家垂点实验室 群 ·设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算 “。”,若满足： ”1)封闭性。对任意a,b∈G,恒有aob∈G ,2)结合律。对任意a,b,c∈G,恒有(aob)c=a(仍。c) >3)G中存在一恒等元e,对任意a∈G,使aoe=eoa=a 4)对任意a∈G,存在a的逆元a1∈G,使 aoa-=a-loa=e 。则称G构成一个群。 >若加法，恒等元用0表示， >若为乘法，恒等元称为单位元 。阿贝尔群(Abelian Group)、可换群、交换群：满足交换 律

群 设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算 “ 。”，若满足： ➢ ➢ ➢ ➢ 则称G构成一个群。 ➢ 若加法，恒等元用0表示， ➢ 若为乘法，恒等元称为单位元 阿贝尔群(Abelian Group)、可换群、交换群：满足交换 律 1) 封闭性。对任意 a,bG ，恒有 a  bG 2) 结合律。对任意 a,b,cG ，恒有 (a  b) c = a  (b  c) 3) G中存在一恒等元e,对任意 a G ，使 a  e = e  a = a 4) 对任意 a G a a = a a = e − −   1 1 ，存在a的逆元 a G −1 ，使

国家重点实验室 环 。非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘， 且满足： >)集合R在加法运算下构成阿贝尔群 >2)乘法有封闭性 >3)乘法结合律成立，且加和乘之间有分配律 。环=阿贝尔加群十乘法半群 ·相关概念 >有单位元环（乘法有单位元） >交换环（乘法满足交换率） >整环（无零因子环）

环 非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘， 且满足： ➢1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 ➢2) 乘法有封闭性 ➢3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分配律 环＝阿贝尔加群＋乘法半群 相关概念 ➢有单位元环（乘法有单位元） ➢交换环（乘法满足交换率） ➢整环（无零因子环）

国家垂点实验室 域 定义：非空集合F,若F中定义了加和乘两种运算，且满 足： >1)F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 >2)F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为1 >3)加法和乘法之间满足分配律 。域是一个可换的、有单位元、非零元素有逆元的环，且域 中一定无零因子。 ·元素个数无限的域称为无限域；元素个数有限的域称为有 限域，用GF(q)或F表示q阶有限域。有限域也称为伽逻 华域

域 定义：非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且满 足： ➢ 1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 ➢ 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元 记为1 ➢ 3) 加法和乘法之间满足分配律 域是一个可换的、有单位元、非零元素有逆元的环，且域 中一定无零因子。 元素个数无限的域称为无限域；元素个数有限的域称为有 限域，用GF(q)或Fq表示q阶有限域。有限域也称为伽逻 华域

国家重点实验室 子环 。定义 >若环R中的子集S,在环R中的定义的代数运算也构 成环，则称S为R的子环，R为S的扩环 。判定 >非空子集S是R的子环的充要条件是： ·对任何两个元素a,b∈S,恒有a-b∈S; ·对任何两个元素a,b∈S,恒有ab∈S; 。例子 >全体整数集合构成一个可换环。以某一整数m的倍 数全体构成其中的一个子环。如3，集合{，-3， 0,3,…}构成一个子环

定义 ➢若环R中的子集S，在环R中的定义的代数运算也构 成环，则称S为R的子环，R为S的扩环 判定 ➢非空子集S是R的子环的充要条件是： • 对任何两个元素a, b∈S ， 恒有a-b∈S； • 对任何两个元素a, b∈S， 恒有ab ∈S； 例子 ➢全体整数集合构成一个可换环。以某一整数m的倍 数全体构成其中的一个子环。如m=3, 集合{…, -3, 0, 3, …}构成一个子环 子环

国家重点实验室 理想 。理想 >非空子集是交换环R的理想的充要条件是： ·对任何两个元素a,b∈I,恒有a-b∈；→Abel加群 ·对任何两个元素a∈l,r∈R,恒有ar=ra∈l;→若包含了a, 则包含了a的一切倍元 >构成一个Abe加群，所以可用它作为一个正规子群， 把R中的元素进行分类划分陪集 。主理想 >若理想中的元素由一个元素的所有倍数及其线性组合 生成，则称这个理想为主理想。 >在可换环R中，由一个元素a∈R所生成的理想a)={ra +nar∈R,n∈☑称为环R的一个主理想，称元素a为 该主理想的生成元

理想 理想 ➢非空子集I是交换环R的理想的充要条件是： • 对任何两个元素a, b∈I ， 恒有a-b ∈I；→Abel加群 • 对任何两个元素a ∈I, r∈R， 恒有ar=ra ∈I；→若I包含了a， 则包含了a的一切倍元 ➢I构成一个Abel加群，所以可用它作为一个正规子群， 把R中的元素进行分类划分陪集 主理想 ➢若理想中的元素由一个元素的所有倍数及其线性组合 生成，则称这个理想为主理想。 ➢在可换环R中，由一个元素a ∈R所生成的理想I(a)={ra + na|r ∈R, n ∈Z}称为环R的一个主理想，称元素a为 该主理想的生成元

国家重点实验室 剩余类环 。定义 >设R是可换环，为R的一个理想，于是R模构成一 个可换环，称它为环R以理想为模的剩余类环 ·例 >R=Z,13={,3,0,+3,…},R以划分陪集为 0=…,-3,0,3,… 1=…,-2,1,4,… 2=…,-1,2,5,… >集合 {0,1,2} 构成一个可换环

剩余类环 定义 ➢设R是可换环，I为R的一个理想，于是R模I构成一 个可换环，称它为环R以理想I为模的剩余类环 例 ➢R=Z，I3={…, -3, 0, +3, …}，R以I划分陪集为 ➢集合 构成一个可换环 0 , 3,0,3, ; = − 1 , 2,1,4, ; = − 2 , 1,2,5, = − 0, 1, 2 