清华大学：《计量经济学》课程PPT教学课件（经济计量学 Econometrics）第九章 时间序列计量经济学模型的理论与方法 9.3 协整与误差修正模型

§93协整与误差修正模型 长期均衡关系与协整 二、协整检验 三、误差修正模型

§9.3 协整与误差修正模型 一、长期均衡关系与协整 二、协整检验 三、误差修正模型

长期均衡关系与协整

一、长期均衡关系与协整

0、问题的提出 经典回归模型( classical regression model)是建立在稳定 数据变量基础上的,对于非稳定变量,不能使用经典回归 模型,否则会出现虛假回归等诸多问题。 由于许多经济变量是非稳定的,这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。 但是,如果变量之间有着长期的稳定关系,即它们之间是 协整的( cointegration,则是可以使用经典回归模型方法 建立回归模型的。 例如,中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中: 因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能, 其原因在于,从经济理论上说,人均GDP决定着居民人均 消费水平,而且它们之间有着长期的稳定关系,即它们之 间是协整的( cointegration)

0、问题的提出 • 经典回归模型（classical regression model）是建立在稳定 数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归 模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。 • 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。 • 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是 协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法 建立回归模型的。 • 例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中： 因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能， 其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均 消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之 间是协整的（cointegration）

1、长期均衡 经济理论指出,某些经济变量间确实存在着长期 均衡关系,这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏 均衡的内在机制,如果变量在某时期受到干扰后偏离 其长期均衡点,则均衡机制将会在下一期进行调整以 使其重新回到均衡状态 假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述 ,=a0+a1X1+ 式中:μt是随机扰动项。 该均衡关系意味着:给定Ⅹ的一个值,Y相应的 均衡值也随之确定为α。+∞1X

经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期 均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏 均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离 其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以 使其重新回到均衡状态。 假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述 1、长期均衡 Yt =0 +1 Xt + t 式中:t是随机扰动项。 该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的 均衡值也随之确定为 0+1X

在t-期末,存在下述三种情形之一: (1)Y等于它的均衡值:Y11=∞+x1X1; (2)Y小于它的均衡值:Y10+a1X1; (3)Y大于它的均衡值:Y1>0+a1X1; 在时期t,假设X有一个变化量ΔX,如果变量Ⅹ与Y在 时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系,则Y的相应 变化量由式给出 △Y=c,△X.+1 式中,v=-11

在t-1期末，存在下述三种情形之一： （1）Y等于它的均衡值：Yt-1 = 0+1Xt ； （2）Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt ； 在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在 时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应 变化量由式给出: t t t Y = X + v 1 式中，vt =t-t-1

实际情况往往并非如此 如果t-1期末,发生了上述第二种情况,即Y的值小于其 均衡值,则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化ΔYt 大一些; 反之,如果Y的值大于其均衡值,则Y的变化往往会小 于第一种情形下的ΔY1。 可见,如果Y=a+01X1+4正确地提示了X与Y间的长 期稳定的“均衡关系”,则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。 因此,一个重要的假设就是:随机扰动项μ必须是平稳 序列。 显然,如果μ有随机性趋势(上升或下降),则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除

实际情况往往并非如此 如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其 均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt 大一些； 反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小 于第一种情形下的Yt 。 可见，如果Yt =0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长 期稳定的“均衡关系” ，则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。 因此，一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平稳 序列。 显然，如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除

式Y=O+a1Xt+μ址中的随机扰动项也被称为非均衡误差 ( disequilibrium error),它是变量X与Y的一个线性组合: =Y1-a0-01X1 因此,如果Y=∞0+1X+μ1式所示的X与Y间的长期均 衡关系正确的话,(*)式表述的非均衡误差应是一平稳时 间序列,并且具有零期望值,即是具有0均值的(0)序列。 从这里已看到,非稳定的时间序列,它们的线性组合也可 能成为平稳的。 例如:假设Y=0+01X+式中的X与Y是I(1)序列,如果 该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话,则意味着由 非均衡误差(*)式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称 变量X与Y是协整的( cointegrated)

式Yt =0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差 （disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合： t = Yt −0 −1 Xt (*) 因此，如果Yt =0+1Xt+t式所示的X与Y间的长期均 衡关系正确的话，（*）式表述的非均衡误差应是一平稳时 间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。 从这里已看到，非稳定的时间序列，它们的线性组合也可 能成为平稳的。 例如：假设Yt =0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序列，如果 该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由 非均衡误差（*）式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称 变量X与Y是协整的（cointegrated）

2协整 如果序列{X1,X2t,…,X都是G阶单整,存在向量 C=(1, ),使得 Z axI(d-b) 其中,b>0,X=(X1,X2t,…,X1),则认为序列X1tX2 是(d,b阶协整,记为XCI(d,b),a为协整向量( cointegrated vector)。 在中国居民人均消费与人均GDP的例中,该两序列都是2 阶单整序列,而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列 为0阶单整序列,于是认为该两序列是(2,2阶协整。 由此可见:如果两个变量都是单整变量,只有当它们的单整 阶数相同时,才可能协整;如果它们的单整阶数不相同,就不 可能协整

如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量 =(1,2,…,k)，使得 Zt= XT ~ I(d-b) 其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt) T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt} 是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，为协整向量（cointegrated vector）。 ⒉协整 在中国居民人均消费与人均GDP的例中，该两序列都是2 阶单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列 为0阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。 由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整 阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不 可能协整

三个以上的变量,如果具有不同的单整阶数,有可 能经过线性组合构成低阶单整变量。 例如,如果存在: W1~(1),V7~(2,U1~/(2) 并且 P=aV1+bU,~/() 2=cW +eP1(0) 那么认为: CI(2,1) t t

三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可 能经过线性组合构成低阶单整变量。 例如，如果存在： W ~ I(1),V ~ I(2),U ~ I(2) t t t 并且 ~ (0) ~ (1) Q cW eP I P aV bU I t t t t t t = + = + 那么认为： , ~ (1,1) , ~ (2,1) W P CI V U CI t t t t

从协整的定义可以看出: (dd)阶协整是一类非常重要的协整关系,它的经济意义 在于:两个变量,虽然它们具有各自的长期波动规律,但 是如果它们是(d,d)阶协整的,则它们之间存在着一个长 期稳定的比例关系 例如:前面提到的中国CPC和 GDPPC,它们各自都是2阶 单整,并且将会看到,它们是(2,2)阶协整,说明它们之间 存在着一个长期稳定的比例关系,从计量经济学模型的意 义上讲,建立如下居民人均消费函数模型 CPC=ao +a,GDPPC+u 变量选择是合理的,随机误差项一定是“白噪声”(即均 值为0,方差不变的稳定随机序列),模型参数有合理的经 济解释。 这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的,但却可以用 经典的回归分析方法建立回归模型的原因

（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义 在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但 是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长 期稳定的比例关系。 例如：前面提到的中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶 单整，并且将会看到，它们是(2,2)阶协整，说明它们之间 存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意 义上讲，建立如下居民人均消费函数模型 从协整的定义可以看出: CPCt =0 +1 GDPPCt + t 变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均 值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经 济解释。 这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用 经典的回归分析方法建立回归模型的原因