中国科学技术大学：《数学实验》课程教学资源（实验讲稿PPT）迭代（分形的概论与应用）

数学实验之十 迭代(2)--分形 中国科学技术大学数学系 陈发来

数学实验之十二 迭代（2）---分形 中国科学技术大学数学系 陈发来

实验内容 什么是分形? 图形迭代 函数迭代 IFS迭代 分形的应用

实验内容 • 什么是分形？ • 图形迭代 • 函数迭代 • IFS迭代 • 分形的应用

1、什么是分形 凶无法显示该图片 分形发展简史 欧氏几何、解析几何、微分几何正则 微积分,复变函数-光滑 反例1, Cantor集合

1、什么是分形 • 分形发展简史 欧氏几何、解析几何、微分几何—正则 微积分，复变函数---光滑 反例 1，Cantor集合 F0 F1 F2

Cantor集合Fo中点数不可数(比有理数 还多!),但其区间长度为零! 反例2, Weierstrass函数 W(x)=∑2sm(xx) 其中11,W(x)是处处连续、 处处不可微的函数。对应s=1.4,=2 的图象是

Cantor 集合 中点数不可数（比有理数 还多！），但其区间长度为零！ 反例 2，Weierstrass函数 其中 1<s<2 且 ，W(x) 是处处连续、 处处不可微的函数。对应s=1.4, 的图象是 F   = − = 0 ( 2) ( ) sin( ) n s n n W x   x  1  = 2

0.5 反例3, Van Koch雪花曲线 n=1 n=3 图16 von Koch曲线

反例 3，Van Koch 雪花曲线

大自然的不规则性 树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不 规则的。晶体的生长,分子的运动轨迹等 也是不规则的。如何用几何来描述它? B. Mandelbrot观察到英国海岸线与Van Koch曲线的关系,提出了一门描述大自 然的几何形态的学科-分形( Fractal) 英国的海岸线有多长?

大自然的不规则性： 树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不 规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等 也是不规则的。如何用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自 然的几何形态的学科---分形(Fractal) 英国的海岸线有多长？

B.B. Mandelbrot

• B. B. Mandelbrot

分形的特性 具有无限精细的结构 2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数,并且它大于对应的 拓扑维数 4、具有随机性 5、在大多数情况下,分形可以用非常 简单的方法确定,可能由迭代产生

• 分形的特性 1、具有无限精细的结构 2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的 拓扑维数 4、具有随机性 5、在大多数情况下，分形可以用非常 简单的方法确定，可能由迭代产生

分形的维数 1、相似维数:设分形F是自相似的 即F由m个子集构成,每个子集放大c 倍后同F一样,则定义F的维数为 d (F)=log(m)/log(c) 例如,对于 Cantor集,d(F)=log2/lg3 对于 Van Koch雪花曲线,(F)=log4/0g3

• 分形的维数 1、相似维数：设分形F 是自相似的， 即 F 由 m 个子集构成，每个子集放大c 倍后同 F一样，则定义 F 的维数为 例如，对于Cantor集， 对于Van Koch 雪花曲线， d(F) = log( m)/ log( c) d(F) = log 2 / log 3 d(F) = log 4 / log 3

对于一条直线段,将它等分,每段长度 为原来的1N,共分为N段。 将一个正方形每边等分成N段,共有N^2 个小正方形 将一个立方体每边等分成N段,共有N^3 个小立方体。 般地,设一图形可分解为m个与之相似 的子图形,每个子图形是原来的1.则图 形的维数D满足:c^D=m

• 对于一条直线段，将它等分，每段长度 为原来的1/N，共分为N段。 • 将一个正方形每边等分成N段，共有N^2 个小正方形。 • 将一个立方体每边等分成N段，共有N^3 个小立方体。 • 一般地，设一图形可分解为m个与之相似 的子图形，每个子图形是原来的1/c. 则图 形的维数D满足：c^D=m