西安交通大学：《自动控制原理》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 控制系统的校正 第五节 根轨迹法设计校正网络

EE'AN西安交通大学ILROTONGNIYEEST用根轨迹法设计相位超前校正网络当品质指标以时域指标提出时，用根轨迹设计系统较方便。当期望闭环主导极点位于未校正系统根轨迹的左边时，就可使用超前校正。在不考虑稳态指标时设计步骤如下：1.根据所需要的动态品质指标要求，确定闭环主导极点A的位置：2.画出未校正系统的根轨迹，求出使根轨迹通过A点所需要的补偿角Φ,可这样去计算：校正后系统的开环传函为：1 1+aTsKG(s)K.是附加增益K,G.(s)·G(s)==1+ Tsa

1 用根轨迹法设计相位超前校正网络 当品质指标以时域指标提出时，用根轨迹设计系统较方便。当 期望闭环主导极点位于未校正系统根轨迹的左边时，就可使用超前 校正。 在不考虑稳态指标时设计步骤如下： 1.根据所需要的动态品质指标要求，确定闭环主导极点A的位置； 2.画出未校正系统的根轨迹，求出使根轨迹通过A点所需要的补偿 角 ，  可这样去计算：校正后系统的开环传函为：  1 1 ( ) ( ) ( ) 1 c c c aTs K G s G s K G s a Ts +  =   + K c 是附加增益

西安交通大学EEANRNRRS则: ZG·G= ZG,+ZGA点应满足根轨迹的辐角条件ZGG=(2k+1)元即: Φ=ZG =(2k+1)π-ZG(A)3.决定G(s)的零极点，按下列步骤得到的G(s)可使它的附加增益值最小。ImBA（1）过A点作水平线AB；(2）做ZBAO的角平分线AC；(3）在AC两边做ZDAC=ZEAC2AE，AD与负实轴的交点则为ReE0-1D/cTaT$+ y.T及-aT，于是有G,(s)=ala+ VT2

2 3.决定 的零极点，按下列步骤得到的 可使它的附加增益 值最小。 （1）过A点作水平线 AB； （2）做 的角平分线AC； （3）在 AC两边做 ； AE，AD与负实轴的交点则为 及 ， 于是有 ( ) G s c ( ) G s c BAO 2 DAC EAC   =  =1 T − 1 aT − 1 ( ) 1 c s aT G s a T + = + A点应满足根轨迹的辐角条件 则：   =  +  G G G G c c (2 1)   = + G G k c  即： (2 1) ( )   =  = + −  G k G A c Im Re 2  2  B A D C E T 1 − 1 aT − O

西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY4.画出校正系统根轨迹，并由幅值条件求出校正系统的根轨迹增益及稳态误差的系数。例.一控制系统如图所示，现要求满足下列性能指标。（1）阶跃响应的最大超调量α，≤20%；(2）阶跃响应的调整时间t.(5%)≤1s;C(s)K,Rs(s + 2)4

3 4.画出校正系统根轨迹，并由幅值条件求出校正系统的根轨迹增益 及稳态误差的系数。  p  20% (5%) 1 s t s  ( 2) K r s s + R s( ) C s( ) + − 一控制系统如图所示，现要求满足下列性能指标。 （1）阶跃响应的最大超调量 ； （2）阶跃响应的调整时间 ； 例

西安交通大学EEANIAOTONGUNIVEESTY解：(1)由,≤20% ，由式,=e-/可求得三≥0.46，取=0.5由t,=三得 o,=6rad/s ;：：得闭环主导极点A2=-5,±jQ,V1-2=-3±j3V3(2）.画出未校正根轨迹。期望主导极点A，在原系统根轨迹的左边，×A原系统开环极点对于A点产生相位为ZG(A)= -ZA - Z(A + 2)0=-121°-101° =-222要使A点位于根轨迹上，校正装置要提+供的相位角为Φ=-180°-(-222°)= 42

4 （1）.由 ，由式 可求得 ，取 由 得 ； 得闭环主导极点  p  20% 2 1 p e    − − =   0.46  = 0.5 3 s n t  = 6 n  = rad s  2 1,2 1 3 3 3 A j j n n = −  − = −     解： （2）.画出未校正根轨迹。 期望主导极点 在原系统根轨迹的左边， 原系统开环极点对于 点产生相位为 A1,2 A1 O 1 1 1 ( ) ( 2) 121 101 222  = − −  + G A A A = − − = − 要使 点位于根轨迹上，校正装置要提 供的相位角为 A1  = − − − = 180 ( 222 ) 42 A1

西安交通大学IE'ANJLAOTONAENIVEESTY3.画水平线AB，作角平分线AC，再作ZCAD=ZEAC=%=21°，ADS+4与负实轴交于-9.6，A,E与负实轴交于-4：G(s)=S +9.6ImB2DRe-9-8-3-10--50-2-4-64

5 3.画水平线 ，作角平分线 ，再作 ， 与负实轴交于-9.6， 与负实轴交于-4 AB1 AC1 1 1 21 2 CA D EAC   =  = = AE1 AD1  4 ( ) 9.6 c s G s s + = + Im Re B D C E -10 -9 -8 -7 -6 - 5 -4 -3 -2 -1 O -6 -4 -2 2 4 6 A1

西安交通大学EEANJLAROTONAENIVEESTY4.画出校正以后系统根轨迹，求出A点根轨迹增益[A]:|A + 2]:|4 +9.6K== 50.4[A + 4]4速度误差系数K.=K=K102×9.650.4(s + 4)校正系统的开环传函为： K,G(s)G(s)=s(s + 2)(s + 9.6)

6 4.画出校正以后系统根轨迹，求出 点根轨迹增益 速度误差系数 校正系统的开环传函为： A1 1 1 1 1 2 9.6 50.4 4 r A A A K A  +  + = = + 4 10.51( ) 1 2 9.6 K K K v r s = =  =  50.4( 4) ( ) ( ) ( 2)( 9.6) c c s K G s G s s s s + = + +

西安交通大学EEANIAOTONGUNIVEESTY用根轨迹法设计相位滞后校正网路1.设计思路：当滞后网络的零极点相对于主导极点A为一对偶极子K时，校正后的开环增益K，K为校正前的开环增益，K增大到h倍，b<1这样改善了稳态性能。下面具体推校正前开环增益的b导一下:K,II(s+z,)-G(s)H(s) =原系统的开环传函为：s II(s+p)j=y+1[s"1s+ p,根轨迹增益为：j=V+IKI1Is + z.i=lI1z,开环增益为：三K=K.II p,j=v+1

7 1.设计思路：当滞后网络的零极点相对于主导极点A为一对偶极子 时，校正后的开环增益 ， 为校正前的开环增益， 增大到 校正前开环增益的 倍， 这样改善了稳态性能。下面具体推 导一下： 原系统的开环传函为： 用根轨迹法设计相位滞后校正网路 c K K b = K K c 1 b b 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m r i i n v j j v K s z G s H s s s p = = + + = +   1 1 n v j j v r m i i s s p K s z = + = + = +   开环增益为： 1 1 m i i r n j j v z K K p = = + =   根轨迹增益为：

西安交通大学EEANIAOTONGUNIVEESTYK.(s+z)(s +校正后系统的开环传函为：hi=lG.(s)G(s)H(s) :=sII(s+p)(s +-校正后在A点的根轨迹增益j=v+11[A"A+ ,][A"A+ p,A.T1+=V+Kb1I14 + 2,11|4+ z,|bA-bTi=1i=lK,A为期望的闭环主导极点，前一项就是K，KbmI11z,IIz,校正系统的开环增益KKi=i=lK.=KbbII p,Il p,j=v+1j=v+11即校正后系统的开环增益增大到原系统的开环增益的万倍

8 校正后系统的开环传函为： 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) m rc i i c n v j j v K s z s b bT G s G s H s s s p s T = = + + +  =  + +   校正后在A点的根轨迹增益 1 1 1 1 1 1 1 n n v v j j j v j v rc m m i i i i A A p A A p A T K b A z A z A b bT = + = + = = + + + =  =  + + +      A为期望的闭环主导极点，前一项就是 K r r rc K K b  = 校正系统的开环增益 1 1 1 1 m m i i i i r c rc n n j j j v j v z z K K K K b b p p = = = + = + =  =  =     即校正后系统的开环增益增大到原系统的开环增益的 倍。 1 b

EE'AN西安交通大学LROEONAENTYEEST2.设计步骤：（1）画出未校正系统的根轨迹，根据动态性能指标，在根轨迹上确定期望闭环主导极点A；(2）确定未校正系统在A点的根轨迹增益和开环增益K；(3)根据稳态指标求出系统所需要的误差系数K。（即开环增益K。）（4）求出系统为了满足稳态性能指标，误差系数需要增加的倍数一会，这个需要增加的倍数由港后问染的这一对偶被子提供;9

9 2.设计步骤： （1）画出未校正系统的根轨迹，根据动态性能指标，在根轨迹上 确定期望闭环主导极点A； （2）确定未校正系统在A点的根轨迹增益和开环增益 ； （3）根据稳态指标求出系统所需要的误差系数 （即开环增益 ）； （4）求出系统为了满足稳态性能指标，误差系数需要增加的倍数 ，这 个需要增加的倍数由滞后网络的这一对偶极子提 供； K K0 K0 1 K0 b K =

西安交通大学EE'ANRRRS(5）选择滞后校正网络的零点-Z.及极点-P，使满足Z./P。=并要求-Z和-P离开原点越近越好，但它们离原点越近就意味着要求T越大，物理实现困难，一般取Z(A+P)-Z(A+Z)≤3° ;(6)画出校正系统的根轨迹；(7)调整根轨迹增益（放大器增益），使闭环极点位于期望位置；(8)校验指标；(9）求出网络参数R,C ;10

10 （5）选择滞后校正网络的零点 及极点 ，使满足 ， 并要求 和 离开原点越近越好，但它们离原点越近就意 味着要求 越大，物理实现困难，一般取 ； （6）画出校正系统的根轨迹； （7）调整根轨迹增益（放大器增益），使闭环极点位于期望位置； （8）校验指标； （9）求出网络参数 ； −Z c −P c 1 Z P c c b = −Z c −P c T ( ) ( ) 3  + −  +  A P A Z c c R C