西北农林科技大学：《食品试验设计优化》课程教学资源（PPT课件）第五章 方差分析

第五章 方差分析 t检验法适用于样本平均数与总体平均数以及 两个样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和 科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题， 即需进行多个平均数间的差异显著性检验。 上一张 下一张 主 页 退 出 多个样本平均数间的差异显著性检验， t检验法是不适宜的，原因有三：

第五章 方差分析 t检验法适用于样本平均数与总体平均数以及 两个样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和 科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题， 即需进行多个平均数间的差异显著性检验。 上一张 下一张 主 页 退 出 多个样本平均数间的差异显著性检验， t检验法是不适宜的，原因有三：

例如，一试验包含5个处理，如采用t检验法进行检验，需作 =10次两两平均数的差异显著性检验；若有k个处理， 则要作 k(k-1)/2次类似的检验。 2 C5 上一张 下一张 主 页 退 出 1、检验过程烦琐 2、无统一的试验误差，试验误差估计的精确 性和检验的灵敏性低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试 验误差的估计值。若用 t 检验法作两两比较，由于每次比 较需估计一个 ，故使得各次比较误差的估计不统一， 同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确 性降低，从而降低检验的灵敏性。 x xj i S −

例如，一试验包含5个处理，如采用t检验法进行检验，需作 =10次两两平均数的差异显著性检验；若有k个处理， 则要作 k(k-1)/2次类似的检验。 2 C5 上一张 下一张 主 页 退 出 1、检验过程烦琐 2、无统一的试验误差，试验误差估计的精确 性和检验的灵敏性低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试 验误差的估计值。若用 t 检验法作两两比较，由于每次比 较需估计一个 ，故使得各次比较误差的估计不统一， 同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确 性降低，从而降低检验的灵敏性。 x xj i S −

例如，试验有5个处理 ，每个处理 重复 6次，共有30个 观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观 测值估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利 用整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。可见，在用t检 法进行检验时 ，由 于估计误差的精确性低，误差自由度 小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。 上一张 下一张 主 页 退 出 3、推断的可靠性低，犯 I 型错误的概率增大 即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用t 检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没 有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯 I型错误的概率，降低推断的可靠性。 所以，多个平均数的差异显著性检验不宜 用 t 检验，须采用方差分析法

例如，试验有5个处理 ，每个处理 重复 6次，共有30个 观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观 测值估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利 用整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。可见，在用t检 法进行检验时 ，由 于估计误差的精确性低，误差自由度 小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。 上一张 下一张 主 页 退 出 3、推断的可靠性低，犯 I 型错误的概率增大 即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用t 检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没 有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯 I型错误的概率，降低推断的可靠性。 所以，多个平均数的差异显著性检验不宜 用 t 检验，须采用方差分析法

方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解 为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进 而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方 差估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属 总体平均数是否相等。 上一张 下一张 主 页 退 出 方差分析 (analysis of variance) 是由英国统计学家 R.A.Fisher于1923年提出的。 方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析

方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解 为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进 而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方 差估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属 总体平均数是否相等。 上一张 下一张 主 页 退 出 方差分析 (analysis of variance) 是由英国统计学家 R.A.Fisher于1923年提出的。 方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析

1 方差分析的基本原理与步骤 1.1 线性模型与基本假定 假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n 次重复，共有nk个观测值。试验资料的数据模式 如表5-1所示。 上一张 下一张 主 页 退 出

1 方差分析的基本原理与步骤 1.1 线性模型与基本假定 假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n 次重复，共有nk个观测值。试验资料的数据模式 如表5-1所示。 上一张 下一张 主 页 退 出

上一张 下一张 主 页 退 出 表5-1 k个处理每个处理有n个观测值的数据模式 表中 表示第i个处理的第j个观测值 i=1,2,.,k； j=1,2,.,n）； ij x

上一张 下一张 主 页 退 出 表5-1 k个处理每个处理有n个观测值的数据模式 表中 表示第i个处理的第j个观测值 i=1,2,.,k； j=1,2,.,n）； ij x

 = = n j xi xij 1 .   = = = = = k i i k i n j ij x x x 1 1 1 . . x x n xi n n j i ij . / ./ 1 =  = = x x k n x k n k i n j i j . / . / 1 1 = = = = xij 上一张 下一张 主 页 退 出 表示第i个处理n个观测值之和； 表示全部观测值的总和； 表示第i个处理的平均数； 表示全部观测值的总平均数； 可以分解为： ij i ij x =  +  i 表示第i个处理n个观测值的总体平均数。 （5-1）

 = = n j xi xij 1 .   = = = = = k i i k i n j ij x x x 1 1 1 . . x x n xi n n j i ij . / ./ 1 =  = = x x k n x k n k i n j i j . / . / 1 1 = = = = xij 上一张 下一张 主 页 退 出 表示第i个处理n个观测值之和； 表示全部观测值的总和； 表示第i个处理的平均数； 表示全部观测值的总平均数； 可以分解为： ij i ij x =  +  i 表示第i个处理n个观测值的总体平均数。 （5-1）

为了比较各处理的影响大小，将 再进行 分解，令 （5-2） （5-3） 则 （5-4） 其中μ表示所有试验观测值（nk个）总体的平均数；  = = k i i k 1 1    i =  i −  ij i ij x =  + + 上一张 下一张 主 页 退 出  i

为了比较各处理的影响大小，将 再进行 分解，令 （5-2） （5-3） 则 （5-4） 其中μ表示所有试验观测值（nk个）总体的平均数；  = = k i i k 1 1    i =  i −  ij i ij x =  + + 上一张 下一张 主 页 退 出  i

ai 是 第 i 个 处理的效应 （treatment effects）表示处理i对试验结果产生的影响。 显然有 （5-5） εij是试验误差，相互独立，且服从 正态分 布N（0，σ2）。 叫做单因素试验的线性模型 （linear model）亦称数学模型。 观察值xij表示为总平均数μ、处理效应αi、 试验误差εij之和。 0 1  = = k i  i 上一张 下一张 主 页 退 出 ij i ij x =  + +

ai 是 第 i 个 处理的效应 （treatment effects）表示处理i对试验结果产生的影响。 显然有 （5-5） εij是试验误差，相互独立，且服从 正态分 布N（0，σ2）。 叫做单因素试验的线性模型 （linear model）亦称数学模型。 观察值xij表示为总平均数μ、处理效应αi、 试验误差εij之和。 0 1  = = k i  i 上一张 下一张 主 页 退 出 ij i ij x =  + +

由εij 相互独立且服从正态分布N（0， σ2），可知各处理Ai（i=1，2，.，k）所属 总体亦应具正态性，即服从正态分布N(μi， σ2)。尽管各总体的均数 可以不等或相等， σ2则必须是相等的（外界试验条件尽可能保持一致，处 理效应才可比）。 所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效应的可加性（additivity）、分布的 正态性（normality）、方差的同质性 （homogeneity）。这是方差分析的前提条 件或基本假定。 上一张 下一张 主 页 退 出  i

由εij 相互独立且服从正态分布N（0， σ2），可知各处理Ai（i=1，2，.，k）所属 总体亦应具正态性，即服从正态分布N(μi， σ2)。尽管各总体的均数 可以不等或相等， σ2则必须是相等的（外界试验条件尽可能保持一致，处 理效应才可比）。 所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效应的可加性（additivity）、分布的 正态性（normality）、方差的同质性 （homogeneity）。这是方差分析的前提条 件或基本假定。 上一张 下一张 主 页 退 出  i