《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第5章 流形上的微积分 5.3 流形上的积分

5.3流形上的积分5.3流形上的积分本节旨在建立流形上的积分理论。当然，在谈论流形上的积分之前，需要先明确一件事情：被积分的对象是什么？答案是：最高次微分形式。从表象上看，之所以积最高次微分形式，是因为它们“在坐标变换下满足正确的变换规则”，使得其积分的定义具有合理性。但更加深层次的原因在于对“积分”本身的理解。似乎在微积分中，我们所学习的一直是“函数的积分”，但这其实是一个误解：在Rm的一个区域里积分一个函数时，事实上是通过Rm的整体坐标，给出了Rm中“微小矩形区域的体积”（即体积微元)，然后“对函数与体积微元的乘积求和(并求极限)”，注意体积微元dal..·dam并不是指一个特定的微小矩形区域，而是给出了求微小矩形区域体积的规则即给定一个由向量aiei,，amem张成的矩形，在体积微元da"..dr"规则下其体积为a1am），是定义积分时不可忽略的一部分(在实分析中，它被解释成Lebesgue测度，从而有了进一步拓广的天空)．对于流形而言，一般不再有整体坐标，从而没有天然给定的“微小矩形”，然而，我们可以通过逼近的想法，用流形上“一点处切空间中的由一组向量生成的平行多面体”逼近流形中“该点附近的微小曲边平行多面体”，所以为了在流形上积分，只需要给出计算“切空间中由一组向量生成的平行多面体”的体积计算规则即可。流形上每一点的切空间都不一样，有什么规则在各点处计算由一组向量生成的平行多面体体积呢？答案是：用最高次微分形式（命题5.1.15说明m次微分形式作用在m个向量上所得的结果是行列式，而从线性代数可知行列式就是由列向量张成的平行多面体的有向体积)，当然，这里还有一个小的问题：行列式给出的只是有向体积，因此还需要对流形加上定向才能给出合理的积分定义(见下文)。5.3.1最高次形式与定向流形上的最高形式设M是一个m维光滑流形，则当k>m时2k（M）=0.于是M上次数最高的非零光滑微分形式为m-形式，它们自然被称为最高次形式.现在设pEM，且（,U,V)是p附近的一个坐标卡.那么da-^^dam是U上的一个最高次形式.注意到对任意的qEU都有(dal^*^drm)g+0,因为在点q处，(dal^..darm)(0i,..",Om)=det(da(a,))i<ij<m=1.此外，由于dimAmT,M=1，所以对U上的任意最高次形式w以及任意的qEU,都存在实数入。使得Wq=g(da"A...^da")q而由w的光滑性，系数入作为U上的函数也是光滑的.故在相差一个光滑函数作为乘积因子的意义下，上述由局部坐标定义的最高次形式是该坐标卡中“本质上唯一的”最高次形式.（不过，该结论在整个流形M一般而言是不成立的：给定两个最高次形式w,nEQ"(M)，有可能出现wp=0wg≠0且np≠0,ng=0的情况，从而也就不存在函数fC(M)使得w=fn或n=fw.)特别地,如果在U上将局部坐标从(a，，rm)变换为(B，,)，那么所得的两个140

‵‮″ 流形上的积分 5.3 流形上的积分 本节旨在建立流形上的积分理论。当然，在谈论流形上的积分之前，需要先明确一 件事情：被积分的对象是什么？答案是：最高次微分形式。从表象上看，之所以积最 高次微分形式，是因为它们“在坐标变换下满足正确的变换规则”，使得其积分的定义 具有合理性。但更加深层次的原因在于对“积分”本身的理解。似乎在微积分中，我 们所学习的一直是“函数的积分”，但这其实是一个误解：在R m的一个区域里积分一 个函数时，事实上是通过R m的整体坐标，给出了R m中“微小矩形区域的体积”(即体积 微元)‬ 然后“对函数与体积微元的乘积求和
并求极限
”‮ 注意体积微元dx‱ · · · dxm并 不是指一个特定的微小矩形区域，而是给出了求微小矩形区域体积的规则(即给定一个由 向量a1⃗e1, · · · , am⃗em张成的矩形，在体积微元dx1 · · · dxm规则下其体积为a1 · · · am)，是定义积分时不 可忽略的一部分(在实分析中，它被解释成Lebesgue测度，从而有了进一步拓广的天空)‮ 对于流形 而言，一般不再有整体坐标，从而没有天然给定的“微小矩形”‮ 然而，我们可以通过 逼近的想法，用流形上“一点处切空间中的由一组向量生成的平行多面体”逼近流形中 “该点附近的微小曲边平行多面体”，所以为了在流形上积分，只需要给出计算“切空间 中由一组向量生成的平行多面体”的体积计算规则即可。流形上每一点的切空间都不一 样，有什么规则在各点处计算由一组向量生成的平行多面体体积呢？答案是：用最高次 微分形式(命题5.1.15说明m次微分形式作用在m个向量上所得的结果是行列式，而从线性代数可知行列 式就是由列向量张成的平行多面体的有向体积)‮ 当然，这里还有一个小的问题：行列式给出的 只是有向体积，因此还需要对流形加上定向才能给出合理的积分定义(见下文)。 5.3.1 最高次形式与定向 ¶ 流形上的最高形式 设M是一个m维光滑流形，则当k > m时  k 
M
 ‽ ‰‮ 于是M上次数最高的非零光 滑微分形式为m‭形式，它们自然被称为最高次形式‮ 现在设p ∈ M，且
φ, U, V 
是p附近 的一个坐标卡‮ 那么dx‱ ∧ · · · ∧dxm是U上的一个最高次形式‮ 注意到对任意的q ∈ U都有 
dx‱ ∧ · · · ∧ dxm
q ̸‽ ‰‬ 因为在点 q处‬ 
dx‱ ∧ · · · ∧ dxm
q
∂‱, · · · , ∂m
 ‽ ⁤⁥⁴
dxi 
∂j 

‱≤i,j≤m ‽ ‱. 此外‬ 由于⁤⁩  mTpM ‽ ‱‬ 所以对U上的任意最高次形式 ω以及任意的q ∈ U‬ 都存在实 数λq使得 ωq ‽ λq
dx‱ ∧ · · · ∧ dxm
q. 而由ω的光滑性‬ 系数λ作为 U上的函数也是光滑的‮ 故在相差一个光滑函数作为乘积因 子的意义下‬ 上述由局部坐标定义的最高次形式是该坐标卡中“本质上唯一的”最高次 形式‮ (不过, 该结论在整个流形M一般而言是不成立的: 给定两个最高次形式 ω, η ∈ Ω m(M), 有可能出 现ωp = 0, ωq ̸= 0且ηp ̸= 0, ηq = 0的情况, 从而也就不存在函数f ∈ C ∞(M)使得ω = f η或 η = fω.) 特别地‬如果在U上将局部坐标从
x ‱ α, · · · , xm α 
变换为
x ‱ β , · · · , xm β 
‬ 那么所得的两个 ‱‴‰

5.3流形上的积分坐标最高次形式daa.drm与dr...drm应当相差一个U上的光滑函数，下面找出这个坐标变换下的乘积因子：引理5.3.1.（坐标变换因子）设：Rm→Rm是微分同胚，且记y=p(a)，那么*(dy ^... ^ dym) = det(dpr)drl ^..- ^ dar"mA证明记p=（pl,...，pm），则y=yop=p于是*(dyA..dym)=dpl..dpm由于dpl ^... dpm(of,...,om) = det(dpr),故dpl..Adpm =det(dpr)dr' A...dam口设（Pa,U,Va,）与(U,V)为U上两个坐标系，坐标变换映射是Paβ=1,它将 Pa(r)映为y=β(r). 于是(PaB)*(pBl)*drg...Adrm =det(dpap)(pα")*drA...Adrm由于（)*()*=()*=,故drg A...drm = det(dpab)dr A...Adam对可定向性的需求设M为m维光滑流形，we2m(M)为M上的光滑m-形式。下面讨论如何定义积分JMw)为简单起见，先假设w支在坐标卡(e,U,V)中,其中点的坐标记为rl,.,aml.记w = f(o(r))da ^...Λdrm其中f是V上的一个光滑函数.利用V上的欧氏坐标微分形式f(a)dal^..^dam，很自然的方式是定义f(r)drl...dem(5.3.1)当然，跟通常一样，需要验证等式右边的值是与坐标卡选取无关的.为此，设（βα，U,V）与(ββ,U,Vp)为U上的两个坐标系，而转移映射Paβ= PB0P-l : Va-→ VB将=()映为=().那么w=f(ap)dag...dam=fe(pap(a))det(dpap)da...drm141

‵‮″ 流形上的积分 坐标最高次形式 dx‱ α ∧ · · · ∧ dxm α 与 dx‱ β ∧ · · · ∧ dxm β , 应当相差一个U上的光滑函数‮ 下面找出这个坐标变换下的乘积因子： 引理 5.3.1. (坐标变换因子) ♢ 设φ › R m → R m是微分同胚，且记y ‽ φ
x
‬ 那么 φ ∗ 
dy‱ ∧ · · · ∧ dym
 ‽ ⁤⁥⁴
dφx
dx‱ ∧ · · · ∧ dxm 证明 记φ ‽ 
φ ‱ , · · · , φm
‬ 则 φ ∗y i ‽ y i ◦ φ ‽ φ i ‮ 于是 φ ∗ 
dy‱ ∧ · · · ∧ dym
 ‽ dφ‱ ∧ · · · ∧ dφm. 由于 dφ‱ ∧ · · · ∧ dφm
∂ x ‱ , · · · , ∂x m
 ‽ ⁤⁥⁴
dφx
, 故 dφ‱ ∧ · · · ∧ dφm ‽ ⁤⁥⁴
dφx
dx‱ ∧ · · · ∧ dxm. □ 设 
φα, U, Vα,
 与
φβ, U, Vβ
为U上两个坐标系‬ 坐标变换映射是 φαβ ‽ φβ ◦ φ −‱ α ‬它 将 φα
x
映为y ‽ φβ
x
‮ 于是 
φαβ
 ∗ 
φ −‱ β 
 ∗ dx‱ β ∧ · · · ∧ dxm β ‽ ⁤⁥⁴
dφαβ

φ −‱ α 
 ∗ dx‱ α ∧ · · · ∧ dxm α . 由于 
φαβ
 ∗ 
φ −‱ β 
 ∗ ‽ 
φ −‱ β ◦ φαβ
 ∗ ‽ φ −‱ α ‬ 故 dx‱ β ∧ · · · dxm β ‽ ⁤⁥⁴
dφαβ
dx‱ α ∧ · · · ∧ dxm α . ¶ 对可定向性的需求 设M为m维光滑流形‬ ω ∈   m
M
为M上的光滑m‭形式‮ 下面讨论如何定义积分 ´ M ω‮ 为简单起见，先假设ω支在坐标卡
φ, U, V 
中‬其中点的坐标记为{x ‱ , · · · , xm}‮ 记 ω ‽ f
φ
x

dx‱ ∧ · · · ∧ dxm, 其中f是V 上的一个光滑函数‮ 利用 V 上的欧氏坐标微分形式f
x
dx‱ ∧ · · · ∧dxm‬ 很自然 的方式是定义 ˆ U ω ›‽ ˆ V f
x
dx‱ · · · dxm. 
‵‮″‮‱
 当然，跟通常一样，需要验证等式右边的值是与坐标卡选取无关的‮ 为此，设
φα, U, Vα
 与
φβ, U, Vβ
为U上的两个坐标系‬ 而转移映射 φαβ ‽ φβ ◦ φ −‱ α › Vα → Vβ 将xα ‽ φα
x
 映为xβ ‽ φβ
x
‮ 那么 ω ‽ fβ
xβ
dx‱ β ∧ · · · ∧ dxm β ‽ fβ
φαβ
xα

 ⁤⁥⁴
dφαβ
dx‱ α ∧ · · · ∧ dxm α ‱‴‱

5.3流形上的积分故为了使得（5.3.1)是良定的，需要fo(pap(ra)det(dpap(ra)dcl...dcmfe(ap)deg...dam =然而，上式并不总成立：对于多元函数的积分f(r)drl...drm,如果β：V1→V2是一个微分同胚，那么如下的变量替换公式：f(y) dyl ..- dym =f((r))/det(do)(r)| da/... drm(5.3.2)从而只能得到f(ap)dag...drm =/fo(pap(ra)/det(dpap(aa)|da...dam换句话说，为了使得定义(5.3.1)与坐标卡选取无关，需要假定det(dpaβ) > 0对所有坐标卡成立.这个必要条件就是在习题一中出现过的定向性条件：定义5.3.2.（流形的定向）设M是一个m维的光滑流形.(1）设(pa,Ua,Va)与(B,Uβ,Vp)是M上的两个坐标卡。若如果转移映射aB=Bp1满足det(dpaβ)p >0对所有的pEα(UnUs)成立，则称这两个坐标卡是定向相容的(2)若M上的图册 A=[(Pα,Uα,Va)[αEA)中，任意两个坐标卡之间都是定向相容的，则称该图册是M上的一个定向(3）若M上存在一个定向，则称M是可定向流形；若M上已指定一个定向，则称M是定向流形品设U是一个坐标卡，其坐标函数为，.，m：为了区别起见，将用记注5.3.3.号-U来表示在同一个集合U上具有“翻转”坐标函数-l，a?..·rm的坐标卡那么-U与U不是定向兼容的设U为另一个坐标卡，使得UnU≠0是连通的.那么，要么。U与U是定向兼容的，要么。U与-U是定向兼容的作为推论，立刻得到推论5.3.4.（可定向则恰有两个定向）如果M是连通可定向流形，那么M恰有两个不同的定向0例5.3.5.并非所有流形均可定向。例如，对于实射影空间RIPn，当n是奇数时它是可定向的，当n是偶数时它是不可定向的。142

‵‮″ 流形上的积分 故为了使得
‵‮″‮‱
是良定的，需要 ˆ Vβ fβ
xβ
dx‱ β · · · dxm β ‽ ˆ Vα fβ
φαβ
xα

 ⁤⁥⁴
dφαβ
xα

dx‱ α · · · dxm α . 然而，上式并不总成立› 对于多元函数的积分 ˆ f
x
dx‱ · · · dxm, 如果φ › V‱ → V′是一个微分同胚‬ 那么如下的✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 变量替换公式› ˆ V2 f
y
 dy‱ · · · dym ‽ ˆ V1 f
φ
x

| ⁤⁥⁴
dφ

x
| dx‱ · · · dxm. 
‵‮″‮′
 从而只能得到 ˆ Vβ fβ
xβ
dx‱ β · · · dxm β ‽ ˆ Vα fβ
φαβ
xα

|⁤⁥⁴
dφαβ
xα

| dx‱ α · · · dxm α . 换句话说‬ 为了使得定义
‵‮″‮‱
与坐标卡选取无关‬ 需要假定 ⁤⁥⁴
dφαβ
 > ‰ 对所有坐标卡成立‮ 这个必要条件就是在习题一中出现过的定向性条件： 定义 5.3.2. (流形的定向) ♣ 设M是一个m维的光滑流形‮ 
‱
 设
φα, Uα, Vα
与 
φβ, Uβ, Vβ
是M上的两个坐标卡‮ 若如果转移映射φαβ ‽ φβ ◦ φ −‱ α 满足 ⁤⁥⁴
dφαβ
p > ‰ 对所有的p ∈ φα
Uα ∩ Uβ
成立，则称这两个坐标卡是定向相容的‮ 
′
 若M上的图册 A ‽ {
φα, Uα, Vα
 | α ∈  }中，任意两个坐标卡之间都是定 向相容的，则称该图册是M上的一个 定向‮ 
″
 若M上存在一个定向，则称M是可定向流形；若M上已指定一个定向，则 称M是定向流形‮ 注 5.3.3. 设U是一个坐标卡‬ 其坐标函数为{x ‱ , · · · , xm}‮ 为了区别起见，将用记 号−U来表示在同一个集合U上具有“翻转”坐标函数{−x ‱ , x′ , · · · , xm}的坐标卡‮ 那 么−U与U不是定向兼容的‮ 设U ‹为另一个坐标卡，使得 U ‹ ∩ U ̸‽ ∅是 连✿✿✿✿✿✿ 通的‮ 那么‬ 要么 U ‹与U是定向兼容的‬ 要么 U ‹与−U是定向兼容的‮ 作为推论‬ 立刻得到 推论 5.3.4. (可定向则恰有两个定向) ♡ 如果M是连通可定向流形‬ 那么M恰有两个不同的定向‮ 例 5.3.5. 并非所有流形均可定向。例如，对于实射影空间RPn ‬ 当n是奇数时它是可定 向的，当n是偶数时它是不可定向的‮ ‱‴′

5.3流形上的积分5.3.2光滑流形上的积分光滑流形上最高阶形式的积分下面假设M是一个光滑可定向m维流形，并在M上固定一个定向A.设w为任意M上的光滑m-形式M.为了定义.w，先设w是支在一个与A定向兼容的坐标卡(,U.V)中在这种情况下，存在一个支在U中的函数使得w=f(o(r))da^-^dam,从而可以定义f(r)dr...drm,(5.3.3)w=其中上式右边是在VCRm上的Lebesgue积分．为简单起见，总假设f是绝对可积的.事实上，在接下来将要遇到的函数基本上都是紧支的。为了定义更一般的m-形式wE2m(M)的积分，取M的一个局部有限的坐标开覆盖[U，且在每个坐标卡都取与定向A相容的坐标系.令p为一个从属于[U}的单位分解.因为pa支在U。中，所以paw也是支在U中。于是可以定义w=(5.3.4)wPaw若上式右边对任意的局部有限坐标覆盖以及从属于该覆盖的任意单位分解，都是绝对可积的，则称最高阶微分形式w是可积的当然，首先需要验证上面的定义(5.3.4)跟“与定向兼容坐标卡的选取”无关，同时也跟“从属于该坐标卡的单位分解的选取”无关定理5.3.6.（积分的良定性）假设w是紧支的，那么表达式（5.3.4)的值与[U|的选取以及[p|的选取都无关3证明首先证明(5.3.3)不依赖于U中坐标系的选取，证明过程本质上就是本节前面所做的计算：设w是支在U中的光滑m形式，而[ca]与【α]为U上的两个与给定定向相容的坐标系.记w=fadrlAAdam-fgdag^-Adrm则由dagA..Adam=det(dpaB)daa..Adam可知fa=det(dpap)fg.由于det(dpap)>0，利用Rn上积分的变量替换公式就能得到fadra...dam =feda....drm下面证明(5.3.4)是良定的.为此，假设[Ua]与[UB)是M的两个“由与定向相容的坐标卡组成的局部有限覆盖”，而(pa]与p]分别是从属于[Ua]和[U]的单位分解.那么[UnUB)是M上的另一个局部有限覆盖，并且(PαPB)是一个从属于这个新覆盖的单位分解.对每个固定的α，均有(pp)Paw= /Paw=PpPawJU.JUJUanUgO143

‵‮″ 流形上的积分 5.3.2 光滑流形上的积分 ¶ 光滑流形上最高阶形式的积分 下面假设M是一个光滑可定向m维流形，并在M上固定一个定向A‮ 设ω为任意M上 的光滑m‭形式M‮ 为了定义 ´ M ω‬ 先设ω是支在一个与A定向兼容的坐标卡
φ, U, V 
中‮ 在这种情况下，存在一个支在U中的函数f使得 ω ‽ f
φ
x

dx‱ ∧ · · · ∧ dxm, 从而可以定义 ˆ U ω ›‽ ˆ V f
x
dx‱ · · · dxm, 
‵‮″‮″
 其中上式右边是在V ⊂ R m上的⁌⁥⁢⁥⁳⁧⁵⁥积分‮ 为简单起见，总假设f是绝对可积的‮ 事 实上‬ 在接下来将要遇到的函数f基本上都是紧支的‮ 为了定义更一般的m‭形式ω ∈   m
M
的积分‬ 取M的一个局部有限的坐标开覆盖 {Uα}，且在每个坐标卡都取与定向A相容的坐标系‮ 令{ρα}为一个从属于{Uα}的单位分 解‮ 因为ρα支在Uα中‬ 所以ραω 也是支在Uα中‮ 于是可以定义 ˆ M ω ›‽ X α ˆ Uα ραω. 
‵‮″‮‴
 若上式右边对任意的局部有限坐标覆盖以及从属于该覆盖的任意单位分解，都是绝 对可积的，则称最高阶微分形式ω是可积的‮ 当然，首先需要验证上面的定义
‵‮″‮‴
跟“与定向兼容坐标卡的选取”无关‬ 同时 也跟“从属于该坐标卡的单位分解的选取”无关‮ 定理 5.3.6. (积分的良定性) ♡ 假设ω是紧支的‬ 那么表达式
‵‮″‮‴
的值与{Uα}的选取以及{ρα}的选取都无关‮ 证明 首先证明
‵‮″‮″
不依赖于U中坐标系的选取，证明过程本质上就是本节前面所做 的计算：设ω 是支在U中的光滑m形式‬ 而{x i α}与 {x i β }为U上的两个与给定定向相容的 坐标系‮ 记 ω ‽ fαdx‱ α ∧ · · · ∧ dxm α ‽ fβdx‱ β ∧ · · · ∧ dxm β , 则由dx‱ β∧· · ·∧dxm β ‽ ⁤⁥⁴
dφαβ
dx‱ α∧· · ·∧dxm α 可知fα ‽ ⁤⁥⁴
dφαβ
fβ‮ 由于⁤⁥⁴
dφαβ
 > ‰‬ 利用R n上积分的变量替换公式就能得到 ˆ Vα fαdx‱ α · · · dxm α ‽ ˆ Vβ fβdx‱ β · · · dxm β . 下面证明
‵‮″‮‴
是良定的‮ 为此，假设{Uα}与{Uβ}是M的两个“由与定向相容的坐 标卡组成的局部有限覆盖”‬ 而{ρα}与{ρβ}分别是从属于 {Uα}和{Uβ}的单位分解‮ 那 么{Uα ∩ Uβ}是M上的另一个局部有限覆盖‬ 并且{ραρβ}是一个从属于这个新覆盖的单位 分解‮ 对每个固定的α‬ 均有 ˆ Uα ραω ‽ ˆ Uα 
 X β ρβ
ραω ‽ X β ˆ Uα∩Uβ ρβραω. ‱‴″

5.3流形上的积分于是Paw=PaPgwa.pJuanUe口同理βJuPw也等于该式，从而二者相等。注5.3.7．如果M不是可定向的流形，则不能像上面那样定义微分形式的积分.不过，依然能通过引入密度的概念去建立积分理论，参见5]，第427-432页变量替换公式接下来把Rm上积分的变量替换公式推广到流形上，定义5.3.8.（微分同胚：保定向与反转定向）设M,N为定向光滑m维流形，其定向分别为A与B，而：M→N是微分同胚(1)若对每个(β,Xβ,YB)EB, M上的坐标卡(β 0,-1(Xβ),YB)与A是定向相容的，则称微分同胚是保定向微分同胚(2)若对每个(p,Xβ,Yp) B, M上的坐标卡(β0 P, -1(Xp),Yp)与A是定向不相容的，则称微分同胚是反转定向微分同胚，品假设M,N都是连通流形.容易看出微分同胚：M→N保定向当且仅当存在一个坐标卡（βX,Yp)EB，使得M上的坐标卡(B0,-1(X),Y)与A定向相容；反转定向当且仅当存在一个坐标卡（β,X,Yp)EB,使得M上的坐标卡(g0,-1(X)Y)与A定向不相容，因此连通流形之间的微分同胚要么是保定向，要么是反转定向。对于不连通流形，情况可以略微复杂一点：必然把连通分支映为连通分支，而在每个连通分支上要么保定向，要么反转定向.下面证明定理5.3.9.（流形上积分的变量替换公式）假设M,N都是m维定向光滑流形，而p：M→N是一个微分同胚(1)如果p是保定向微分同胚，那么JMf*w=Jnw.(2）如果β是反转定向微分同胚，那么JMf*w=-Jnw8证明只需在局部坐标卡中证明，此时欲证的结论可化归为R"中积分变量代换公式：注5.3.10.如果w是M上的紧支光滑k形式，其中k<m，那么不能在M上积分w.不过，对任意k维定向子流形XM,可以定义Jxw为Jx*w，其中：X→M是包含映射。通过这种方式，可以得到M上的k-形式与M中的k维可定向子流形之间的一个“配对”工体积形式与体积测度接下来给出流形可定向性的一个简单刻画：定理5.3.11（可定向性与体积形式）m维光滑流形M是可定向的当且仅当M上存在处处非零的光滑m形式u.7144

‵‮″ 流形上的积分 于是 X α ˆ Uα ραω ‽ X α,β ˆ Uα∩Uβ ραρβω. 同理 P β ´ Uβ ρβω也等于该式，从而二者相等‮ □ 注 5.3.7. 如果M不是可定向的流形‬ 则不能像上面那样定义微分形式的积分‮ 不过‬ 依 然能通过引入密度的概念去建立积分理论，参见⁛‵⁝，第 ‴′‷‭‴″′页‮ ¶ 变量替换公式 接下来把R m上积分的变量替换公式推广到流形上‮ 定义 5.3.8. (微分同胚: 保定向与反转定向) ♣ 设M, N为定向光滑m维流形‬ 其定向分别为A与B，而φ › M → N是微分同胚‮ 
‱
 若对每个
ψβ, Xβ, Yβ
 ∈ B‬ M上的坐标卡
ψβ ◦ φ, φ−‱ 
Xβ
, Yβ
与A是定向相 容的，则称微分同胚φ是保定向微分同胚‮ 
′
 若对每个
ψβ, Xβ, Yβ
 ∈ B‬ M上的坐标卡
ψβ ◦ φ, φ−‱ 
Xβ
, Yβ
与A是定向不 相容的，则称微分同胚φ是反转定向微分同胚‮ 假设M, N都是连通流形‮ 容易看出微分同胚φ › M → N保定向当且仅当存在✿✿✿✿ 一个坐 标卡 
ψβ, Xβ, Yβ
 ∈ B‬ 使得M上的坐标卡
ψβ ◦ φ, φ−‱ 
Xβ
, Yβ
与A定向相容； φ反转定 向当且仅当存在✿✿✿✿✿ 一个坐标卡 
ψβ, Xβ, Yβ
 ∈ B‬ 使得M上的坐标卡
ψβ ◦φ, φ−‱ 
Xβ
, Yβ
与 A定向不相容‮ 因此连通流形之间的微分同胚要么是保定向，要么是反转定向。对于不 连通流形，情况可以略微复杂一点：φ必然把连通分支映为连通分支，而在每个连通分 支上φ要么保定向，要么反转定向‮ 下面证明 定理 5.3.9. (流形上积分的变量替换公式) ♡ 假设M, N都是 m维定向光滑流形‬ 而 φ › M → N是一个微分同胚‮ 
‱
 如果φ是保定向微分同胚‬ 那么 ´ M f ∗ω ‽ ´ N ω. 
′
 如果φ是反转定向微分同胚‬ 那么 ´ M f ∗ω ‽ − ´ N ω. 证明 只需在局部坐标卡中证明‬ 此时欲证的结论可化归为R m中积分变量代换公式‮ □ 注 5.3.10. 如果ω是M上的紧支光滑k形式‬ 其中k < m‬那么不能在M上积分ω‮ 不过‬ 对任意k维定向子流形X ⊂ M‬可以定义 ´ X ω为 ´ X ι ∗ω‬ 其中ι › X ,→ M是包含映射‮ 通 过这种方式，可以得到M上的k‭形式与M中的k维可定向子流形之间的一个“配对”‮ ¶ 体积形式与体积测度 接下来给出流形可定向性的一个简单刻画： 定理 5.3.11. (可定向性与体积形式) ♡ m维光滑流形M是可定向的当且仅当M上存在处处非零的光滑m形式 µ‮ ‱‴‴

5.3流形上的积分证明首先设μ是M上的一个处处非零的光滑m形式.那么在每个连通的局部坐标卡U上，存在处处非零的光滑函数f，使得μ=fdal^.^dam.于是μ(01,*,om)=f+0注意总可以在每个这样的坐标卡里选取坐标，使得f>0：如果于0.现在假设(Ua,aa，,am)与（Ug,cB，,am)为这样的两个坐标卡，则在交集U&nUB上有fdaA.-Adam=μ=gdrgA.Adam=gdet(dpap)daaA..Adam其中f.g>0.于是det(dpaβ)>0.故这样构造的图册是M的一个定向.其次，假设A是M的一个定向.对A中每个局部坐标卡Uα，令Ha=deA...dam选取一个从属于开覆盖[Ua]的单位分解[pa]：下面断言μ:=pale是M上的一个无处消失的光滑m形式.事实上，对每个pEM，根据局部有限性，总存在p的一个邻域U，使得αPaα是一个有限和i=1Pii于是在p附近，μ(ol,.,om) =(det dp1i)pi> 0.=1口所以在p的附近μ≠0,即μ是一个处处非零的光滑m形式。定义5.3.12.（体积形式）称m维光滑流形M上的处处非零的光滑m形式为M上的体积形式品如果M是连通可定向流形，而是M上的一个体积形式，那么M上的两个定向就分别跟μ和一μ“正相关”：后面将用[和[一叫表示M上的这两个定向注5.3.13.设μ为M上的一个体积形式，并且选取M上的定向为叫l.那么可以在“M的紧支连续函数空间Cc(M)”上定义一个线性泛函I :Cc(M) -→R, f HT(注意在定义积分时，函数不需要是光滑函数）由于M上的定向被选取为[川]，不难看出来泛函I是正的，即对于≥0，总有I(f）≥0.由于任何流形都同时是局部紧的和紧的，根据Riesz表示定理，存在一个唯一的Radon测度2mμ，使得I(f) =fdmyA利用这个测度dmμ，可以定义诸如LP(M,μ)之类的函数空间注5.3.14．特别地，在任意Lie群上，可以定义诸如“左不变微分形式”这样的概念.由于任意Lie群G是可定向的，在G上一定存在“左不变体积形式”，对应于Lie群上的左不变体积形式的测度被称为Lie群上的Haar测度，在Lie理论以及分析、数论、遍历理论等数学分支中都起到了极其重要的作用，2即局部有限的，且在所有Borel集上有定义的正则测度.145

‵‮″ 流形上的积分 证明 首先设µ是M上的一个处处非零的光滑m形式‮ 那么在每个连通的局部坐标卡U上‬ 存在处处非零的光滑函数f‬ 使得 µ ‽ f dx‱ ∧ · · · ∧ dxm‮ 于是 µ
∂‱, · · · , ∂m
 ‽ f ̸‽ ‰. 注意总可以在每个这样的坐标卡里选取坐标，使得f > ‰› 如果f ‰‮ 现在假设
Uα, x‱ α, · · · , xm α 
与 
Uβ, x‱ β , · · · , xm β 
为这样的两个坐标卡‬ 则 在交集Uα ∩ Uβ上有 f dx‱ α ∧ · · · ∧ dxm α ‽ µ ‽ gdx‱ β ∧ · · · ∧ dxm β ‽ g ⁤⁥⁴
dφαβ
dx‱ α ∧ · · · ∧ dxm α , 其中f, g > ‰. 于是 ⁤⁥⁴ 
dφαβ
 > ‰‮ 故这样构造的图册是M的一个定向‮ 其次‬ 假设A是M的一个定向‮ 对A中每个局部坐标卡 Uα‬ 令 µα ‽ dx‱ α ∧ · · · ∧ dxm α . 选取一个从属于开覆盖{Uα}的单位分解{ρα} ‮ 下面断言 µ ›‽ X α ραµα 是M上的一个无处消失的光滑m形式‮ 事实上‬ 对每个p ∈ M‬ 根据局部有限性，总存 在p的一个邻域U‬ 使得 P α ραµα是一个有限和 Pk i‽‱ ρiµi ‮ 于是在p附近‬ µ
∂ ‱ ‱ , · · · , ∂‱ m
 ‽ X k i‽‱ 
⁤⁥⁴ dφ‱i
ρi > ‰. 所以在p的附近µ ̸‽ ‰‬ 即µ是一个处处非零的光滑m形式‮ □ 定义 5.3.12. (体积形式) 称 ♣ m维光滑流形M上的处处非零的光滑m形式为M上的体积形式‮ 如果 M是连通可定向流形‬ 而 µ是M上的一个体积形式 ‬ 那么M上的两个定向就分 别跟 µ和 −µ“正相关”‮ 后面将用⁛µ⁝和 ⁛−µ⁝表示M上的这两个定向‮ 注 5.3.13. 设µ为M上的一个体积形式‬ 并且选取M上的定向为⁛µ⁝‮ 那么可以在“M的 紧支连续函数空间 Cc
M
”上定义一个线性泛函 I › Cc
M
 → R, f 7→ ˆ M fµ. (注意在定义积分时，函数f不需要是光滑函数) 由于M上的定向被选取为⁛µ⁝‬ 不难看出来泛函 I是✿✿✿ 正的‬ 即对于f ≥ ‰，总有I
f
 ≥ ‰‮ 由于任何流形都同时是局部紧的和σ紧的‬ 根 据⁒⁩⁥⁳⁺表示定理，存在一个唯一的⁒⁡⁤测度 ′ mµ，使得 I
f
 ‽ ˆ M f dmµ. 利用这个测度dmµ‬ 可以定义诸如L p 
M, µ
之类的函数空间‮ 注 5.3.14. 特别地‬ 在任意⁌⁩⁥群上‬ 可以定义诸如“左不变微分形式”这样的概念‮ 由 于任意⁌⁩⁥群G是可定向的‬ 在G上一定存在“左不变体积形式”‮ 对应于⁌⁩⁥群上的左不 变体积形式的测度被称为 ⁌⁩⁥群上的⁈⁡⁡⁲ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 测度，在⁌⁩⁥理论以及分析、数论、遍历理论等 数学分支中都起到了极其重要的作用‮ 2即局部有限的, 且在所有Borel集上有定义的正则测度. ‱‴‵