《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第5章 流形上的微积分 5.4 Stokes公式

5.4Stokes公式5.4Stokes公式在多元微积分中学过三个重要的积分公式，分别是平面区域D上的格林公式I (00 - P)drdy = d)Pdr+QdyaroyJaD三维空间区域2上的高斯公式OPOQORTTPdydz+Qdrdz+Rdrdy,)drdydz+yzJan和三维空间的曲面S上的Stokes公式apaRaQOPaRQQ中Pdr+Qdy+ Rdz,y-)dydz+()dzdr + ()drdy=-rQyJas其中出现的各个曲线、曲面积分都赋予合适的定向.如果分别记α=Pda+Qdy，β=PdyΛdz+Qdz^dr+Rdr^dy以及=Pda+Qdy+Rdz，则上述公式均可被写成完全一样的有关微分形式的积分，_ dα=/α，dp=/β,/ dy=本节的目的是把它们推广到光滑流形上，5.4.1带边光滑流形工带边拓扑流形首先需要引入一些有关带边流形的知识.记Rm =[(rl,...,rm) /rm ≥0)下面的定义是自然的：定义5.4.1.（带边流形）如果拓扑空间M是Hausdorf的,第二可数的，并且对任意的pEM，存在p的邻域U同胚于Rm或Rm，则称M是一个m维带边拓扑流形品令M为一个带边拓扑流形.定义M的边界为aM=(pEMIp在M中没有同胚于Rm的邻域},并称int(M)=MIM为M的内部下述引理给出了带边流形边界的另一个刻画，其证明留作习题：引理5.4.2.（流形边界的刻画）点pEoM当且仅当存在p附近的坐标卡（o,U,Rm）使得p(p) EoRn =[(rl,-**,am) Iam = 0).146

‵‮‴ ⁓⁴⁥⁳公式 5.4 Stokes公式 在多元微积分中学过三个重要的积分公式，分别是平面区域D上的格林公式 ¨ D 
 ∂Q ∂x − ∂P ∂y 
dxdy ‽ ˛ ∂D P dx ‫ Qdy, 三维空间区域 上的高斯公式 ˚   
 ∂P ∂x ‫ ∂Q ∂y ‫ ∂R ∂z 
dxdydz ‽ ‹ ∂  P dydz ‫ Qdxdz ‫ Rdxdy, 和三维空间的曲面S上的⁓⁴⁥⁳公式 ¨ S 
 ∂R ∂y − ∂Q ∂z 
dydz ‫ 
∂P ∂z − ∂R ∂x 
dzdx ‫ 
∂Q ∂x − ∂P ∂y 
dxdy ‽ ˛ ∂S P dx ‫ Qdy ‫ Rdz, 其中出现的各个曲线、曲面积分都赋予合适的定向‮ 如果分别记α ‽ P dx ‫ Qdy，β ‽ P dy ∧ dz ‫ Qdz ∧ dx ‫ Rdx ∧ dy以及γ ‽ P dx ‫ Qdy ‫ Rdz，则上述公式均可被写成完 全一样的有关微分形式的积分， ¨ D dα ‽ ˆ ∂D α, ˚   dβ ‽ ¨ ∂  β, ¨ S dγ ‽ ˆ ∂S γ. 本节的目的是把它们推广到光滑流形上‮ 5.4.1 带边光滑流形 ¶ 带边拓扑流形 首先需要引入一些有关带边流形的知识‮ 记 R m ‫ ‽ {
x ‱ , · · · , xm
 | x m ≥ ‰}. 下面的定义是自然的： 定义 5.4.1. (带边流形) ♣ 如果拓扑空间M是⁈⁡⁵⁳⁤⁲​的‬第二可数的‬ 并且对任意的p ∈ M‬ 存在p的邻 域U同胚于R m 或R m ‫，则称M是一个m维 带边拓扑流形‮ 令M为一个带边拓扑流形‬ 定义M的边界为 ∂M ‽ {p ∈ M | p 在 M 中没有同胚于 R m 的邻域 }, 并称 ⁩⁴
M
 ‽ M \ ∂M 为M的内部‮ 下述引理给出了带边流形边界的另一个刻画，其证明留作习题： 引理 5.4.2. （流形边界的刻画） ♢ 点p ∈ ∂M当且仅当存在 p附近的坐标卡
φ, U, R m ‫ 
使得 φ
p
 ∈ ∂R m ‫ ‽ {
x ‱ , · · · , xm
 | x m ‽ ‰}. ‱‴‶

5.4Stokes公式I带边光滑流形跟第一章一样，带边拓扑流形上的光滑结构指的是“一个图册，使得其中坐标卡之间的转移映射都是光滑映射”：注意对于RmCRm中的一个子集A，“定义在A上的映射f是光滑映射”是指“f可被扩张成Rm中A的某个开邻域上的光滑函数”.例5.4.3.闭球Bm(1)=(rERm/r/≤1)是一个带边光滑流形，它的边界是aBm(1)=Sm-1.例5.4.4.设M为任意光滑流形，并且fECo°(M).若a是f的正则值，则次水平集的闭包Ma = f-1(-00,al)是一个带边光滑流形,并且aMa=f-1(a)本书前半部分有关光滑流形的大部分结果都可以推广到带边光滑流形上，例如。对于m维带边光滑流形M以及任意pEM，同样可以定义切空间T,M.注意无论p是M的内部点还是边界点，T，M都是m维线性空间：在局部坐标系（内部或边界)中，T,M都是以a1，..，Om为基生成的向量空间.。带边光滑流形之间依然可以定义光滑映射f，以及定义其微分dfp。m维带边光滑流形都可以嵌入到2m维欧氏空间。Sard定理、管状邻域定理、Thom横截性定理都有某种“带边变体”成立。光滑向量场、张量场、微分形式等概念均可推广到光滑带边流形（不过在边界点处向量场的流未必存在，需要额外处理)，。同样可以定义带边光滑流形上的定向A为“使得对任意两个坐标卡Ua，UβEA，均有det(dpαB）>0的图册”，并且可以证明“带边光滑流形是可定向的当且仅当它上面有一个处处非零的最高次微分形式”注5.4.5.因为两个欧氏空间的乘积依然是欧氏空间，所以若M与N都是常义下的（非带边)光滑流形，那么在乘积坐标卡下，M×N依然是光滑流形.但是，R与R的乘积不再是R+，所以对于光滑带边流形，光滑带边坐标卡的乘积不再是光滑带边坐标卡：此时M×N是带角的光滑流形(考虑例子[0,1]×[0,1]就能明白其含义).当然，如果M是一个无边光滑流形而N是一个带边光滑流形，那么在乘积结构下，M×N依然是一个带边光滑流形，其边界是M×(ON).一个常用的例子是M×[0,1]带边光滑流形的边界对于m维带边光滑流形M，显然int(M)是m维无边光滑流形。事实上，aM也是无边光滑流形：引理5.4.6.（带边光滑流形的边界是无边光滑流形）假设M是一个具有非空边界的m维带边光滑流形，那么aM是一个嵌入M中的m一1)维无边光滑流形V147

‵‮‴ ⁓⁴⁥⁳公式 ¶ 带边光滑流形 跟第一章一样‬ 带边拓扑流形上的光滑结构指的是“一个图册，使得其中坐标卡之 间的转移映射都是光滑映射”‮ 注意对于R m ‫ ⊂ R m中的一个子集A，“定义在A上的映 射f是光滑映射”是指“f可被扩张成R m中A的某个开邻域上的光滑函数”‮ 例 5.4.3. 闭球 B m
‱
 ‽ {x ∈ R m | |x| ≤ ‱} 是一个带边光滑流形‬ 它的边界是∂Bm
‱
 ‽ S m−‱ ‮ 例 5.4.4. 设M为任意光滑流形‬并且f ∈ C∞
M
‮ 若a是f的正则值‬ 则次水平集的闭包 Ma ‽ f −‱ 

−∞, a⁝
 是一个带边光滑流形‬并且∂Ma ‽ f −‱ 
a
‮ 本书前半部分有关光滑流形的大部分结果都可以推广到带边光滑流形上，例如 对于m维带边光滑流形M以及任意p ∈ M，同样可以定义切空间TpM‮ 注意无 论p是M的内部点还是边界点，TpM都是m维线性空间：在局部坐标系(内部或边界)中， TpM都是以∂‱, · · · , ∂m为基生成的向量空间‮ 带边光滑流形之间依然可以定义光滑映射f，以及定义其微分dfp‮ m维带边光滑流形都可以嵌入到′m维欧氏空间‮ ⁓⁡⁲⁤定理、管状邻域定理、⁔⁨横截性定理都有某种“带边变体”成立‮ 光滑向量场、张量场、微分形式等概念均可推广到光滑带边流形(不过在边界点处向量 场的流未必存在，需要额外处理)‮ 同样可以定义带边光滑流形上的定向A为“使得对任意两个坐标卡Uα, Uβ ∈ A，均 有⁤⁥⁴
dφαβ
 > ‰的图册”，并且可以证明“带边光滑流形是可定向的当且仅当它 上面有一个处处非零的最高次微分形式”‮ 注 5.4.5. 因为两个欧氏空间的乘积依然是欧氏空间，所以若M与N都是常义下的(非带 边)光滑流形，那么在✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 乘积坐标卡下，M × N依然是光滑流形‮ 但是，R k ‫与R l ‫的乘积不 再是R k‫l ‫ ，所以对于光滑带边流形，光滑带边坐标卡的乘积不再是光滑带边坐标卡：此 时 M × N是✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 带角的光滑流形(考虑例子[0, 1] × [0, 1]就能明白其含义)‮ 当然，如果M是一个无边光滑流形而N是一个带边光滑流形‬ 那么在乘积结构下， M × N依然是一个带边光滑流形，其边界是M × 
∂N
‮ 一个常用的例子是M × ⁛‰, ‱⁝‮ ¶ 带边光滑流形的边界 对于m维带边光滑流形M，显然⁩⁴
M
是m维无边光滑流形。事实上，∂M也是无 边光滑流形： 引理 5.4.6. (带边光滑流形的边界是无边光滑流形) ♢ 假设M是一个具有非空边界的m维带边光滑流形‬ 那么∂M是一个嵌入M中的
m − ‱
维无边光滑流形‮ ‱‴‷

5.4Stokes公式证明概要设(U,al..，m)是pEoM附近的同胚于R的坐标卡.那么UnaM =((al,*-,am) [am =0).从而(UnoM,al，…·，am-1)是aM上的一个坐标卡.可以验证这些坐标卡的相容性对于pEaM，要注意区分T,M和T,OM：后者上前者的余维数为1的线性子空间下面证明可定向带边光滑流形的边界自动是可定向流形：定理5.4.7.（可定向带边光滑流形的边界可定向）如果M是m维的可定向带边光滑流形,那么其边界 OM是M的 (m一1)维可定向子流形3证明设(Ua,a,，am）与(Us,cB,am）为M在pEaM附近的两个定向相容的坐标卡，使得MnU.由m≥0给出，而MnU：由rm≥0给出：下面证明aM的坐标卡（U。naM,aa…，am-1）与(UgnaM,a，，am-1)是定向相容的.事实上，如果记Ua与Ug之间的转移映射pa为（l,*，m），那么在aMnUnU上，有m=m=0，于是在UanUnaM上有om(rl,...,am-1,0) = 0,而在UnUgnint(M)上(即当">0时）有pm(al,...,am-1,am)>0.故aom(- .1,) - , . -1并且am(l.,2m-1,0)≥0.rm因为(Ua,，,am)与(U,…·，rm)是定向相容的，在UanUg中处处成立dpidet)>0.特别地，(o(rl,.am-l, 0j 0.0rI<ij<m-1所以aM的坐标卡(UnaM,，,m-1)与(UnaM,,am-1)是定向相容的。口注5.4.8.一个不可定向带边流形的边界可能是可定向的（例如Mobiis带)，也可能是不可定向的(例如[0,1]×M,其中M是不可定向无边流形)。148

‵‮‴ ⁓⁴⁥⁳公式 证明概要 设
U, x‱ , · · · , xm
是p ∈ ∂M附近的同胚于R m ‫的坐标卡‮ 那么 U ∩ ∂M ‽ {
x ‱ , · · · , xm
 | x m ‽ ‰}. 从而
U ∩ ∂M, x‱ , · · · , xm−‱ 
是∂M上的一个坐标卡‮ 可以验证这些坐标卡的相容性‮ □ 对于p ∈ ∂M，要注意区分TpM和Tp∂M：后者上前者的余维数为‱的线性子空间‮ 下面证明可定向带边光滑流形的边界自动是可定向流形： 定理 5.4.7. (可定向带边光滑流形的边界可定向) ♡ 如果M是m维的可定向带边光滑流形‬那么其边界 ∂M是M的 
m − ‱
维可定向子 流形‮ 证明 设
Uα, x‱ α, · · · , xm α 
与
Uβ, x‱ β , · · · , xm β 
为M在p ∈ ∂M附近的两个定向相容的坐标 卡，使得M ∩ Uα由x m α ≥ ‰给出‬ 而M ∩ Uβ由x m β ≥ ‰给出‮ 下面证明∂M的坐标卡
Uα ∩ ∂M, x‱ α, · · · , xm−‱ α 
 与
Uβ ∩ ∂M, x‱ β , · · · , xm−‱ β 
是定向相容的‮ 事实上‬ 如果记Uα与Uβ之 间的转移映射 φαβ为
φ ‱ , · · · , φm
‬ 那么在∂M ∩ Uα ∩ Uβ上‬ 有x m α ‽ x m β ‽ ‰，于是 在Uα ∩ Uβ ∩ ∂M上有 φ m
x ‱ , · · · , xm−‱ , ‰
 ‽ ‰, 而在Uα ∩ Uβ ∩ ⁩⁴
M
上(即当x m > 0时)有 φ m
x ‱ , · · · , xm−‱ , xm
 > ‰. 故 ∂φm ∂xi 
x ‱ , · · · , xm−‱ , ‰
 ‽ ‰, i ‽ ‱, · · · , m − ‱ 并且 ∂φm ∂xm 
x ‱ , · · · , xm−‱ , ‰
 ≥ ‰. 因为
Uα, x‱ α, · · ·, xm α 
与
Uβ, x‱ β , · · · , xm β 
是定向相容的‬ 在Uα ∩ Uβ中处处成立 ⁤⁥⁴
∂φi ∂xj 
 > ‰. 特别地‬ ⁤⁥⁴Ç ∂φi ∂xj 
x ‱ ,· · ·,xm−‱ , ‰
å ‽ ⁤⁥⁴ÑÄ ∂φi ∂xj 
x ‱ ,· · ·,xm−‱ , ‰
ä ‱≤i,j≤m−‱ ∗ ‰ ∂φm ∂xm 
x ‱ ,· · ·,xm−‱ , ‰
é >‰. 由此可得 ⁤⁥⁴ Ç ∂φi ∂xj 
x ‱ , · · · , xm−‱ , ‰
å ‱≤i,j≤m−‱ > ‰. 所以∂M的坐标卡
Uα ∩ ∂M, x‱ α,· · ·, xm−‱ α 
与
Uβ ∩ ∂M, x‱ β ,· · ·, xm−‱ β 
是定向相容的‮ □ 注 5.4.8. 一个不可定向带边流形的边界可能是可定向的 (例如Mobi¨us带)，也可能是不可 定向的(例如[0, 1] × M,其中M是不可定向无边流形)‮ ‱‴‸

5.4Stokes公式边界上的诱导定向现在设M是一个定向带边光滑流形，并且取μ为该定向相容的一个体积形式，从而该定向可被表示为[M].在边界aM上定义一个定向如下：设在给定边界点附近的一个坐标卡U.中，M由am≥0给出，且在U.中，μ=fdraA..dam其中f>0.那么局部地可以在UnaM上取定微分形式na=(-1)mdc^...^dam-1通过选取SM的从属于这些坐标卡的单位分解，可以将这些2M上局部定义的(m-1)形式n粘合成M上的一个全局(m-1)形式n.类似于定理5.3.11的证明，可以验证n是处处非零的，因此是?M上的一个体积形式，从而定义了OM上的一个定向定向[]被称为aM上由M上的定向[μ]所诱导的诱导定向注意在边界附近的定向坐标卡中，M由am≥0给出：故在边界处-am对应了M上“指向外侧的方向”，而上面定义的边界诱导定向满足d(-rm) ^n = d(-rm) ^(-1)"darl A..-Adam-1 = dal A**darm读者可以验证这里的诱导定向跟多元微积分中Green公式、Gauss公式和Stokes公式里边界积分定向的选取是一致的。特别地，如果要在M上用诱导定向定向积分一个微分形式wE2m-1(M)，局部地需要在aM的坐标卡(,U,V)中写出w的坐标表达w=f(al,.,rm-1)(-1)mdrl^...^dam-1然后计算f(arl,..,am-1)dal...dam-1.w=5.4.2流形上的Stokes公式及其应用IStokes公式现在可以陈述并证明本章的主要定理：定理5.4.9.（Stokes公式）设M是一个m维带边光滑定向流形，其边界M赋有如上所述的诱导定向则对任意紧支光滑形式wEQm-1(M)，有dwtaMwJaMN其中uaM：oM→M是包含映射.a注5.4.10(1）Stokes公式对无边流形成立，此时aM=0，从而等式左边是零.(2）Stokes公式对带角流形也成立，细节可参见[5]第415-421页149

‵‮‴ ⁓⁴⁥⁳公式 ¶ 边界上的诱导定向 现在设M是一个定向带边光滑流形‬ 并且取µ为该定向相容的一个体积形式，从而该 定向可被表示为⁛µ⁝‮ 在边界∂M上定义一个定向如下› 设在给定边界点附近的一个坐标卡Uα中‬ M由x m α ≥ ‰给出，且在Uα中， µ ‽ f dx‱ α ∧ · · · ∧ dxm α , 其中f > ‰‮ 那么局部地可以在Uα ∩ ∂M上取定微分形式 ηα ‽ 
−‱
mdx‱ α ∧ · · · ∧ dxm−‱ α . 通过选取∂M的从属于这些坐标卡的单位分解‬ 可以将这些∂M上局部定义 的
m − ‱
形式ηα粘合成∂M上的一个全局
m − ‱
形式η‮ 类似于定理‵‮″‮‱‱的 证明，可以验证η是处处非零的，因此是∂M上的一个体积形式，从而定义 了∂M上的一个定向‮ 定向⁛η⁝被称为∂M上由M上的定向⁛µ⁝所诱导的诱导定向‮ 注意在边界附近的定向坐标卡中‬ M由x m α ≥ ‰给出‮ 故在边界处−x m对应了M上 “指向外侧的方向”‬ 而上面定义的边界诱导定向满足 d
−x m
 ∧ η ‽ d
−x m
 ∧ 
−‱
mdx‱ ∧ · · · ∧ dxm−‱ ‽ dx‱ ∧ · · · ∧ dxm. 读者可以验证这里的诱导定向跟多元微积分中⁇⁲⁥⁥公式、⁇⁡⁵⁳⁳公式和⁓⁴⁥⁳公式里边 界积分定向的选取是一致的。特别地，如果要在∂M上用诱导定向定向积分一个微分形 式ω ∈   m−‱ c 
∂M
‬ 局部地需要在∂M的坐标卡
φ, U, V 
中写出ω的坐标表达 ω ‽ f
x ‱ , · · · , xm−‱ 
 · 
−‱
mdx‱ ∧ · · · ∧ dxm−‱ 然后计算 ˆ U ω ›‽ ˆ V f
x ‱ , · · · , xm−‱ 
dx‱ · · · dxm−‱ . 5.4.2 流形上的Stokes公式及其应用 ¶ Stokes公式 现在可以陈述并证明本章的主要定理› 定理 5.4.9. (Stokes公式) ♡ 设M是一个m维带边光滑定向流形，其边界 ∂M赋有如上所述的诱导定向‮ 则对 任意紧支光滑形式ω ∈   m−‱ 
M
‬ 有 ˆ ∂M ι ∗ ∂M ω ‽ ˆ M dω, 其中ι∂M › ∂M ,→ M是包含映射‮ 注 5.4.10. 
‱
 ⁓⁴⁥⁳公式对无边流形成立‬ 此时∂M ‽ ∅，从而等式左边是零‮ 
′
 ⁓⁴⁥⁳公式对带角流形也成立，细节可参见⁛‵⁝ 第‴‱‵‭‴′‱页‮ ‱‴‹

5.4Stokes公式证明分下面三种情况分别论证：(a）w支在微分同胚于Rm的坐标卡U中，(b）w支在微分同胚于Rm的坐标卡U中(c)一般情形.情形(a)：因为在aM上w=0，所以等式左边JaMtamw=0为了计算JMdw，记=(-1)i-1fidrlA..AdriA.dam其中f都是紧支光滑函数.那么ofida A..Adamdw=1Or从而由积分的定义以及f的紧支性，fida... drmdw:Or(~ ofida.)da...d...drm11a= 0.情形(b)：依然记w=(-1)i-1fdal^^dri^Λdam用来计算JMdw的公式跟情形(a)是相同的，只是算出来的结果会有一项有差别，那就是最后一项(即i=m那项)：该项算出来的结果不是0，而是afm(rl,...,rm-1,0)drl...dam-1另一方面，由于在aM上am=0，所以mdam=0，故tomw =(-1)m-1 fm(al,...,am-1,0) drl A...Adam-1=-fm(rl,.,am-1,0) -(-1)m dal ^...Adam-1于是(-fm(r,..,am-1,0)dal...darm-1taMw=OMfm(al,., rm-1,0)dal...dam-1从而欲证的结论成立.情形(c)：对于一般情形，用有限多个坐标卡覆盖紧集supp(w)，并取从属于该覆盖的单位分解(pi).那么可以对每个piw应用情形(a)或者情形(b)，从而得到LoMw=/tom(piw)=E /. d(piw)=E / dpi Aw +diuJamJaM另一方面，Z /, dpi Aw = / d(Zp) Aw= 0.口故欲证的结论成立，150

‵‮‴ ⁓⁴⁥⁳公式 证明 分下面三种情况分别论证› 
⁡
 ω支在微分同胚于R m的坐标卡U中‮ 
⁢
 ω支在微分同胚于R m ‫的坐标卡U中‮ 
⁣
 一般情形‮ 情形
⁡
› 因为在∂M上ω ‽ ‰‬ 所以等式左边 ´ ∂M ι ∗ ∂M ω ‽ ‰‮ 为了计算 ´ M dω‬ 记 ω ‽ X i 
−‱
i−‱ fidx‱ ∧ · · · ∧ dx”i ∧ · · · ∧ dxm, 其中fi都是紧支光滑函数‮ 那么 dω ‽ X i ∂fi ∂xi dx‱ ∧ · · · ∧ dxm. 从而由积分的定义以及fi的紧支性‬ ˆ M dω ‽ ˆ Rm Xm i‽‱ ∂fi ∂xi dx‱ · · · dxm ‽ Xm i‽‱ ˆ Rm−1 ň ∞ −∞ ∂fi ∂xi dxi ã dx‱ · · · dx”i · · · dxm ‽ ‰. 情形
⁢
› 依然记ω ‽ P i 
−‱
i−‱fidx‱ ∧ · · · ∧ dx”i ∧ · · · ∧ dxm‮ 用来计算 ´ M dω的公式跟情 形
⁡
是相同的‬ 只是算出来的结果会有一项有差别，那就是最后一项(即i = m那项)：该项 算出来的结果不是 ‰‬ 而是 ˆ Rm−1 ň ∞ ‰ ∂fm ∂xm dxm ã dx‱ · · ·dxm−‱ ‽ − ˆ Rm−1 fm
x ‱ , · · · , xm−‱ , ‰
dx‱ · · ·dxm−‱ . 另一方面‬ 由于在∂M上x m ‽ ‰‬ 所以ι ∗ ∂M dxm ‽ ‰，故 ι ∗ ∂M ω ‽ 
−‱
m−‱ fm
x ‱ , · · · , xm−‱ , ‰
 dx‱ ∧ · · · ∧ dxm−‱ ‽ −fm
x ‱ , · · · , xm−‱ , ‰
 · 
−‱
m dx‱ ∧ · · · ∧ dxm−‱ . 于是 ˆ ∂M ι ∗ ∂M ω ‽ ˆ Rm−1 
−fm
x ‱ , · · ·, xm−‱ , ‰

dx‱ · · · dxm−‱ ‽− ˆ Rm−1 fm
x ‱ , · · ·, xm−‱ , ‰
dx‱ · · · dxm−‱ , 从而欲证的结论成立‮ 情形
⁣
› 对于一般情形，用有限多个坐标卡覆盖紧集 ⁳⁵⁰⁰
ω
，并取从属于该覆盖的单 位分解{ρi}‮ 那么可以对每个ρiω应用情形
⁡
或者情形
⁢
，从而得到 ˆ ∂M ι ∗ ∂M ω ‽ X i ˆ ∂M ι ∗ ∂M 
ρiω
 ‽ X i ˆ M d
ρiω
 ‽ X i ˆ M dρi ∧ ω ‫ ˆ M dω. 另一方面， X i ˆ M dρi ∧ ω ‽ ˆ M d
 Xρi
 ∧ ω ‽ ‰. 故欲证的结论成立‮ □ ‱‵‰

5.4Stokes公式工应用：体积的变分设M是一个（无边)光滑流形，2CM为一个预紧区域(即闭包豆是紧的）.设μ是M上的一个体积形式.那么自然可以定义2相对于μ的体积为Volμ(2) =现在假设边界32是M的光滑子流形，从而是一个紧致带边光滑流形设X是M上的一个完备向量场，则由的紧性可知存在to>0使得当t0下述命题给出了在流t下区域2体积的变化规律：命题5.4.11：（体积关于流的变分）设X是M上的一个光滑向量场，CM为一个具有光滑边界的预紧区域，则d Vol(2t) =ixudtltCS证明根据定义和流形上积分的变量替换公式(即定理5.3.9)，ddCddVol(2t) =uotuCxuLdtlt=0dtlt=0dtt=0JnlodttJ0另一方面，因为dμ=0，应用Cartan神奇公式（见命题5.2.11)可得Cxμ=dixμ+ixdμ=dixμ.于是由Stokes公式，dVol(2t) =dixμLXdtlt=-口下面是它的一个特殊情形：令M=Rm．设f为一个光滑函数，并且0是f的正则值.设2为次水平集= [p : f(p) ≤0).取向量场X为f的梯度向量场Vf(参见定理3.3.6的证明).注意由0是f的正则值可知X在92上处处非零，从而xu是92上的一个体积形式，被称为体积形式μ在边界82(它是f的水平集)上的诱导体积形式.不难验证xμ满足fx=在此设定之下，命题5.4.11中的体积变分公式可以被解读为光滑函数次水平集体积的变化率为水平集（在诱导体积形式下的低一维）体积该结论对于一般的Riemann流形同样成立.151

‵‮‴ ⁓⁴⁥⁳公式 ¶ 应用:体积的变分. 设M是一个(无边)光滑流形‬   ⊂ M为一个预紧区域(即闭包 Ω是紧的)‮ 设µ是M上的一 个体积形式‮ 那么自然可以定义 相对于 µ的✿✿✿✿✿ 体积为 ⁖µ
 
 ‽ ˆ   µ. 现在假设边界∂ 是M的光滑子流形，从而 是一个紧致带边光滑流形‮ 设X是 M上 的一个完备向量场，则由 的紧性可知存在t‰ > ‰使得当|t| ‰‮ 下述命题给出了在流ϕt下区域 体积的变化规律： 命题 5.4.11. (体积关于流的变分) ♠ 设X是 M上的一个光滑向量场，  ⊂ M为一个具有光滑边界的预紧区域，则 d dt     t‽‰ ⁖
 t
 ‽ ˆ ∂  ιXµ. 证明 根据定义和流形上积分的变量替换公式(即定理5.3.9)， d dt     t‽‰ ⁖
 t
 ‽ d dt     t‽‰ ˆ  t µ ‽ d dt     t‽‰ ˆ   ϕ ∗ t µ ‽ ˆ   d dt     t‽‰ ϕ ∗ t µ ‽ ˆ   LXµ. 另一方面，因为dµ ‽ ‰，应用⁃⁡⁲⁴⁡神奇公式(见命题5.2.11)可得 LXµ ‽ dιXµ ‫ ιXdµ ‽ dιXµ. 于是由⁓⁴⁥⁳公式‬ d dt     t‽‰ ⁖
 t
 ‽ ˆ   dιXµ ‽ ˆ ∂  ιXµ. □ 下面是它的一个特殊情形› 令M ‽ R m‮ 设f为一个光滑函数‬ 并且‰是f的正则值‮ 设 为次水平集   ‽ {p › f
p
 ≤ ‰}. 取向量场X为f的梯度向量场∇f(参见定理3.3.6的证明)‮ 注意由‰是f的正则值可知X在∂ 上 处处非零，从而ιXµ是∂ 上的一个体积形式‬ 被称为体积形式µ在边界∂ (它是f的水平集)上 的✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 诱导体积形式‮ 不难验证ιXµ满足 df ∧ ιXµ ‽ |∇f| ′µ. 在此设定之下‬ 命题‵‮‴‮‱‱中的体积变分公式可以被解读为 光滑函数次水平集体积的变化率为水平集(在诱导体积形式下的低一维)体积‮ 该结论对于一般的⁒⁩⁥⁡流形同样成立‮ ‱‵‱