哈尔滨建筑大学：《计算结构力学基础》第三章 分支稳定与极限

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■三、分支稳定和增量变 刚度极限分析及程序 结构稳定性分析基本概念 分支稳定分析程序 结构极限分析基本概念 增量变刚度极限分析程序

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31结构稳定性分析基本概念 311一些基本概念 薄壁、高强、受压结构,设计不当容易产生部件 或整个结构丧失稳定。因此,结构设计除关心强度、 刚度外,对易失稳的结构还要进行稳定验算 结构稳定分静力和动力稳定两大类,本章只讨论 静力稳定。 些问题可以抽象为受压杆都是“理想中心受压 直杆”计算模型,这称为完善体系。如果结构杆件不 满足上述“理想中心受压直杆”假定(不直或有偏心), 此系统称非完善体系。 完善体系从稳定到不稳定,其受力、变形状态将 变化,也即随荷载变大有分叉点,称分支点稳定

3.1 结构稳定性分析基本概念 3.1.1 一些基本概念 薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产生部件 或整个结构丧失稳定。因此，结构设计除关心强度、 刚度外，对易失稳的结构还要进行稳定验算。 结构稳定分静力和动力稳定两大类，本章只讨论 静力稳定。 一些问题可以抽象为受压杆都是“理想中心受压 直杆”计算模型，这称为完善体系。如果结构杆件不 满足上述“理想中心受压直杆”假定(不直或有偏心)， 此系统称非完善体系。 完善体系从稳定到不稳定，其受力、变形状态将 变化，也即随荷载变大有分叉点，称分支点稳定

3.1结构稳定性分析基本概念 非完善体系,一般受力、变形性质不发生改变。 但随着荷载增大存在一极值荷载(此后变形增大荷载 反而减少),这类稳定现象称极值点稳定 些扁平拱式结构还可能产生从受压跳转到受拉 的“急跳”现象,当然实际结构不允许出现这情况。 本章以讨论分支点稳定问题临界荷载为主,也介 绍一点其他内容。 由于实际结构刚度都很大,变形和杆件尺寸相比 十分微小,因此作受力分析列平衡方程时都忽略变形 影响。因此线弹性材料力位移成正比,叠加原理适 用。 在作稳定分析时,必须考虑变形的影响,这时叠 加原理不再适用。 SMCA

3.1 结构稳定性分析基本概念 非完善体系，一般受力、变形性质不发生改变。 但随着荷载增大存在一极值荷载（此后变形增大荷载 反而减少），这类稳定现象称极值点稳定。 一些扁平拱式结构还可能产生从受压跳转到受拉 的“急跳”现象，当然实际结构不允许出现这情况。 本章以讨论分支点稳定问题临界荷载为主，也介 绍一点其他内容。 由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比 十分微小，因此作受力分析列平衡方程时都忽略变形 影响。因此线弹性材料力-位移成正比，叠加原理适 用。 在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时叠 加原理不再适用。 SMCAI

3.1结构稳定性分析基本概念 312稳定问题分析基本方法-:静力法 通过考虑失稳状态下的平衡关系,利用两类稳定 问题的特征,确定临界荷载的方法静力法。 1)分支点稳定问题 1-1)分析步骤 设定约束所允许的可能失稳状态 建立平衡方程 用分支点稳定的平衡两重性(可在两状态平衡) 建立特征方程 求特征方程的非零解,从而得到临界荷载。 1-2)按大、小境挠度分析及结论 待切换到 SMCal。 SCAI

3.1 结构稳定性分析基本概念 3.1.2 稳定问题分析基本方法一：静力法 通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类稳定 问题的特征，确定临界荷载的方法——静力法。 1) 分支点稳定问题 1-1) 分析步骤 设定约束所允许的可能失稳状态 建立平衡方程 用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平衡） 建立特征方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。 1-2) 按大、小挠度分析及结论 待切换到SMCAI 。 SMCAI

31结构稳定性分析基本概念 3.13稳定问题分析基本方法二:能量法 通过考虑失稳状态下的应变能、外力时能,利用 稳定问题的能量特征(总势能取驻值),确定临界荷 载的方法—能量法(只讨论分支点问题)。 1)分析步骤 设定约束所允许的可劊 通过求应变能、外力时《结构力学教程》和 用分支点稳定的能量消SMCA上还有许多内容 特征方程 限于授课学时希望学有 求特征方程的非零解余力的同学能自学 2)举例 待切换到 SMCAl。 SMCA

3.1 结构稳定性分析基本概念 3.1.3 稳定问题分析基本方法二：能量法 通过考虑失稳状态下的应变能、外力时能，利用 稳定问题的能量特征（总势能取驻值），确定临界荷 载的方法——能量法（只讨论分支点问题）。 1) 分析步骤 设定约束所允许的可能失稳状态 通过求应变能、外力时能确定总势能 用分支点稳定的能量准则（总势能取驻值）建立 特征方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。 2) 举例 待切换到SMCAI 。 SMCAI 《结构力学教程》和 SMCAI 上还有许多内容 限于授课学时希望学有 余力的同学能自学

32分支稳定分析程序 用有限单元法可以解决两类稳定问题,还可以考 虑弹性后的屈曲问题。但这些有待大家今后继续学习 本节只介绍弹性分支点稳定问题。这等于假定结构直 到临界状态材料是处于弹性阶段,荷载达临界值以前 结构处于无弯矩状态、可忽略轴向变形影响。 321基本原理 1)刚度方程的建立 在第二章建立单元刚度方程时,不计杆内压力对 弯曲变形的影响,如前所述这里要考虑这一影响。 1-1)单元位移场 仍然取223不计轴向变形平面弯曲杆单元形函数 因此单元挠曲线仍可表为:v=de

3.2 分支稳定分析程序 用有限单元法可以解决两类稳定问题，还可以考 虑弹性后的屈曲问题。但这些有待大家今后继续学习， 本节只介绍弹性分支点稳定问题。这等于假定结构直 到临界状态材料是处于弹性阶段，荷载达临界值以前 结构处于无弯矩状态、可忽略轴向变形影响。 3.2.1 基本原理 1) 刚度方程的建立 在第二章建立单元刚度方程时，不计杆内压力对 弯曲变形的影响，如前所述这里要考虑这一影响。 1-1) 单元位移场 仍然取2.2.3不计轴向变形平面弯曲杆单元形函数 因此单元挠曲线仍可表为： v=[N][d]e

32分支定分析程序 形函数=;N1=23-352+1 N2=l(1-4)2 N3=22(3-2) 4=-l(1-5) 12)单元应变为 d U EI(:2)2dx; 若记2N]=[B d U=Ll=时网团 13)到外力璃能 外力势司滑两部分;一端力的外力势; 轴向压力的外力势筢

3.2 分支稳定分析程序 形函数为 1-2）单元应变能为 则 2 3 1 3 2  = ; N1 =  −  + l x N B v U EI l = = 0 2 2 2 2 2 dx d ) dx; dx d ( 2 1 若 记 1-3）单元外力势能 外力势能包括两部分：一、杆端力的外力势能； 二、轴向压力的外力势能。 2 2 N = l(1− ) (1- ) 2 (3 2 ) N4 = −l  2 N3 =  −                e e e e l U d e B EI B d d k d T 0 T T 2 1 dx 2 1 = = 

32分支定分析程序 力力势为Pn=Fp 为了说明轴向压力的外力动直先看 d 组目由此可得外力总势能为 P=P,+p f2 园-F区园 P式 2=)四yY哑四y=,四N区 几何刚度矩阵

由图可见 3.2 分支稳定分析程序 杆端力外力势为     Pf F e d e T 1 = − 2 2 de dx dx dx dx dv ' = − = − −               e e N g e l ' e N f d N N d d F k d F P ' T 0 T T 2 2 1 dx 2 − = − =  dx dx dv dx’ 为了说明轴向压力的外力势，首先看 示意图。 因此        e ' ' d e N N d v e T T 2 2 1 dx d 2 1 d  =       由此可得轴向压力的外力势为 式中     dx d N N ' = 由此可得外力总势能为           e e e N g e f f f F d d F k d P P P T T 1 2 2 1 = − − = + 几何刚度矩阵

32分支稳定分析程序 1-4)单元列式 有了上述结果,利用势能原理可得单元刚度方程, 经坐标转换后为 (kle-kgldle=fle 1-5)整体分析 根据有关编码信息,由单元对号入座后可得 ([K-Ⅺg)∠]=01 请大家考虑为什麽式中右端项为零? 由上述结果可见,根据平衡的两重性,为使位移 不等于零(能在弯曲状态平衡),必须K对应 的行列式等于零。这就是分支点稳定的特征方程

3.2 分支稳定分析程序 1-4) 单元列式 有了上述结果，利用势能原理可得单元刚度方程， 经坐标转换后为 ([k]e -[k]g )[d]e =[F]e 1-5) 整体分析 根据有关编码信息，由单元对号入座后可得 ([K] -[K]g )[] =[0] 请大家考虑为什麽式中右端项为零？ 由上述结果可见，根据平衡的两重性，为使位移 不等于零（能在弯曲状态平衡），必须[K] -[K]g对应 的行列式等于零。这就是分支点稳定的特征方程