同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 IIR数字滤波器的设计方法（6/9）

七、双线性交换法 1、变换原理 使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应相似 冲激响应不变法、阶跃响应不变法:时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

七、双线性变换法 1、变换原理 使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应相似。 冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

j32 jIm[z 7/T s平面 S1平面 平面 图6-11双线性变换的映射关系 丌 C2:[-∞,∞] TT QT 2三已

 :[,] 1 : , T T          12T tg    1s T z  e

Q,T T QT SIn Q2=tg QT cOS e S=2 jQ2 ×e2 QT e 2 +e 2 e2+e e Si 1+e-571+z 1+S z

1 1 sin 2 cos 2 T T    1 1 1 1 s T s T e e      1 1 1 1 z s z       1 1 s z s    1 2 T tg    1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 T T j j T T j j e e j e e          1 1 1 1 2 2 2 2 T T j j T T j j e e s j e e            1 1 1 1 2 2 2 2 s T s T s T s T e e e e      1 1 1 1 z z      1s T z  e s  j 1 1 s  j 1 2 s T e  

◆为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任 频率有对应关系,引入系数c C·g C+s 1+z

¨ 为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一 频率有对应关系，引入系数 c 1 2 T c tg     1 1 1 1 z s c z      c s z c s   

2、变换常数c的选择 1)低频处有较确切的对应关系:Ω≈ Q,≈Ω=C C217 QT ≈C T 2)某一特定频率严格相对应:Ω<>O Q=c·tg C·eg c=Q2 ctg 2 2 特定频率处频率响应严格相等,可以较准确地 控制截止频率位置

2、变换常数c的选择 1 2 T c tg           2 c T  2）某一特定频率严格相对应： c  c 1 2 2 c c c T c tg c tg        2 c c c ctg      1 1）低频处有较确切的对应关系： 特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地 控制截止频率位置 1  1 2 T c   

3、逼近情况 1-z e Jc·lg 1+z 1+ s平面虚轴 z平面单位圆 C+Sc+σ+s (c+a)2+92 C-s C-o-jQ2 (c-o)2+92 s平面 z平面 d0|2|>1右半平面 单位圆外 =0 虚轴 单位圆上

3、逼近情况 2 2 2 2 ( ) ( ) c z c            0 z  1 1 1 1 1 1 1 2 j j z e s c c jc tg j z e                  1） s平面虚轴 z平面单位圆 c s c j z c s c j             2）   0 z  1   0 z  1 左半平面 单位圆内 s平面 z平面 右半平面 单位圆外 虚轴 单位圆上

4、优缺 ◆优点:避免了频率响应的混迭现象 O Q=c·tg s平面与z平面为单值变换 Q>0>0 =tan ( Q<0a<0 Q→00=丌

4、优缺点 ¨ 优点： 2 c tg       0   0 避免了频率响应的混迭现象 s 平面与 z 平面为单值变换   0   0      

缺点:除了零频率附近,Ω与ω之间严重非线性 线性相位模拟滤波器一非线性相位数字滤波器 2)要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型,不 然会产生畸变 分段常数型模拟滤波器 =2am( 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器,但临界 频率点产生畸变 H2)42g Q,=0,/T 0Ω12 O=2·g 1≌a1≠O1 图6-13理想微分器经双线性变换后幅频 响应产生畸变

¨ 缺点：除了零频率附近， 与  之间严重非线性 1 1    /T 1 1 1 2 tg c              2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变 1）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器 分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界 频率点产生畸变

◆预畸变 给定数字滤波器的截止频率O1,则 tg 按Ω设计模拟滤 波器,经双线性 变换后,即可得 到O1为截止频率s H(elo) 的数字滤波器 (12 (03(04 图6-14双线性变换的频率非线性预畸

¨ 预畸变 给定数字滤波器的截止频率 1，则 1 1 2 c tg     按 设计模拟滤 波器，经双线性 变换后，即可得 到 为截止频率 的数字滤波器 1 1

6、模拟滤波器的数字化方法 H(z)=H2(s) H 1+

6、模拟滤波器的数字化方法 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 a z a s c z z H z H s H c z                 