《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 周期信号的傅里叶级数表示

第三章周期信号的傅里叶级数表示 Jean Baptiste Joseph Fourier,1768出生于法 国 1807,实现周期正弦信号 用正弦级数表示； 1829,Dirichlet在增加若 干精确条件的基础上给 出了证明. 1960s,Cooley和ukey 提出了快速傅立叶算 法.傅立叶算法才得到 真正意义上的广泛应 用

第三章周期信号的傅里叶级数表示 Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768出生于法 国. 1807,实现周期正弦信号 用正弦级数表示； 1829,Dirichlet 在增加若 干精确条件的基础上给 出了证明. 1960s,Cooley 和 Tukey 提出了快速傅立叶算 法．傅立叶算法才得到 真正意义上的广泛应 用．

第三章周期信号的傅里叶级数表示 3.2LTI系统对复指数信号的响应 (1)连续时间LT系统 x《)=est y(t)=H(s)est h(t) y(t)=x(t)*h(t)=x(t-t)h(z)dr [eu-h(r)dr e"["h(t)e-dr =e"H(s) H(s)=[h(r)e-*dr (系统函数)

第三章周期信号的傅里叶级数表示 3.2 LTI 系统对复指数信号的响应 (1) 连续时间 LTI系统 h(t) x(t)=est y(t)=H(s)est ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) e H s e h d e h e d y t x t h t x t h d s t s t s t s = = = = = −    + − − + − − + −           + − − =    H s h e d s ( ) ( ) ( 系统函数 )

第三章周期信号的傅里叶级数表示 (2)离散LT1系统 x[n]=zn y(n]=H(Z)z" hin] 十00 n=xn*n=∑x[n-k]ha[k] =:-M]=之Mk] -00 =z”H(z) H(a)=∑k4 (系统函数)》 k=-∞

第三章周期信号的傅里叶级数表示 (2) 离散 LTI 系统 h[n] x[n]=zn y[n]=H(z)zn ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]* [ ] [ ] [ ] ( ) z H z z h k z z h k y n x n h n x n k h k n k n k k n k k = = = = = −    + =− − + =− − + =− k k H z h k z − + =− ( ) =  [ ] ( 系统函数 )

第三章周期信号的傅里叶级数表示 例列3.1P130

第三章周期信号的傅里叶级数表示 例3.1 P130

第三章周期信号的傅里叶级数表示 3.3连续时间周期信号的傅立叶级数表示 3.3.1成谐波关系的复指数信号的线性组合 (1)一般形式 成谐波关系的复指数信号集 Φ(t)=eoo=e2rTr, k=0,士1，±2… T为基本周期

第三章周期信号的傅里叶级数表示 3.3 连续时间周期信号的傅立叶级数表示 (1) 一般形式 k (t) = e j k0 t = e j k(2 /T )t , k = 0,1,2 3.3.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合 成谐波关系的复指数信号集: T 为基本周期

第三章周期信号的傅里叶级数表示 0o ,eJ0oz:基波 eJ2ow,e2ow:二次谐波 eNow,eow:N次谐波 因此任意周期信号都可以表示为 x(t)= ∑aek (傅立叶级数)》 例3.2

第三章周期信号的傅里叶级数表示 因此任意周期信号都可以表示为 j t j t e e 0 0 ,  −  : 基波 j t j t e e 0 0 2 2 ,  −  : 二次谐波 jN t jN t e e 0 0 ,  −  : N次谐波  + =− = k j k t x t ak e 0 ( )  ( 傅立叶级数 ) 例 3.2

第三章周期信号的傅里叶级数表示 (2)实周期信号傅立叶级数表示： 实周期信号：x)=x*() x(t)= a*ke-k a -k x()=a。+∑[aeko'+ake] 所以a*k=ak =a+∑2ReLa,eo] 令(A) ax =Afel,apekm=Aenko 有x()=a+之24：cos(k知1+8，)

第三章周期信号的傅里叶级数表示 (2) 实周期信号傅立叶级数表示: 实周期信号: x(t)=x*(t) 所以 a*k=a-k   + =− + =− − = = − k j k t k k j k t x t a k e a e * 0 * 0 ( )     + = − − + = = + = + + 1 0 1 0 2Re[ ] ( ) [ ] 0 0 0 k j k t k j k t k k j k t k a a e x t a a e a e    令 (A) ( ) 0 0 , k k j k t k j k t k j k k a A e a e A e    + = =  + = = + + 1 0 0 ( ) 2 cos( ) k k k 有x t a A k t 

第三章周期信号的傅里叶级数表示 (B) ak=Bk+jCk 十0 .x(t)=4+2∑[B cos k可，t-Ck sin koot] k=1

第三章周期信号的傅里叶级数表示 (B) k k k a = B + jC ( ) 2 [ cos sin ] 0 1 0 0 x t a B k t C k t k  k  k  + =  = + −

第三章周期信号的傅里叶级数表示 3.3.2连续时间周期信号傅立叶表示的确定 x(t)=! (傅立叶级数) X()两边乘于 x(t)e-inoo! akek-no k=一 T,k=n 而

第三章周期信号的傅里叶级数表示 3.3.2 连续时间周期信号傅立叶表示的确定  + =− = k j k t x t ak e 0 ( )  X(t)两边乘于  + =− − − = k j k n t k j n t x t e a e 0 0 ( ) ( )   jn t e − 0 ( 傅立叶级数 )     = =  − k n T k n e dt T j k n t 0, , 0 ( ) 而

第三章周期信号的傅里叶级数表示 所以∫x()emw'dh- 之arferk-w'dh=axT 于是an=元Jx(e)e mow dt 傅立叶级数变换对： x(t)=之ae (综合公式，正变换) k=一 a=J)ed(分析公式，反变换)

第三章周期信号的傅里叶级数表示 傅立叶级数变换对: x t e dt a e dt ak T k T j k n t k T j n t =  =   + =− − 0 − 0 ( ) ( ) 所以    − = T j n t n x t e dt T a 0 ( ) 于是 1         = =   − + =− T j k t k k j k t k x t e dt T a x t a e ( ) ( , ) 1 ( ) ( , ) 0 0 分析公式 反变换 综合公式 正变换  